유한척도

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측정 이론에서 수학의 한 분야, 유한한 측정 또는 완전히 유한한 측정은^[1] 항상 유한한 값을 떠맡는 특별한 측정이다.유한한 척도 중에는 확률 척도가 있다.유한한 척도는 더 많은 일반 척도보다 다루기 쉽고 정의한 집합에 따라 다양한 특성을 보인다.

정의

측정 가능한 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle A}$)$${\$displaystyle(X,{\mathcal{A})$에 대한 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$을(를) 만족하면 유한 측정이라고 한다$$.

$\displaystyle \mu(X)}$

단조로움으로 이것은 함축하고 있다.

${\displaystyle \mu(A)}{{{}}A\in {\mathcal {A}}.}$

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$이(가) 유한한$$ 측량인 경우 측정 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle A\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle(X,{\mathcal{A},\mu )}$을 유한 측정 공간 또는 완전 유한 측정 공간이라고 한다$$.^[1]

특성.

일반사례

모든 측정 가능한 공간의 경우, 유한 측정은 총 변동 규범으로 서명된 측정의 바나흐 공간에서 볼록한 원뿔을 형성한다.유한 측정의 중요한 부분 집합은 볼록한 부분 집합을 형성하는 하위 확률 측정과 서명된 측정과 유한 측정의 규범된 공간에서 단위 구가 교차하는 확률 측정이다.

위상학적 공간

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 하우스도르프 공간이고 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 보렐 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma \}$ -algebra를 포함하고$$ 있다면 모든 유한 측정도 국소적으로 유한한 보렐 측정값이다.

미터법 공간

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 메트릭 공간이고 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 다시$$ 보렐 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma \}$ -algebra인$$ 경우 측정값의 약한 수렴을 정의할 수 있다.해당 위상은 약한 위상이라고 하며 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 경계된 모든 연속 기능의 초기 위상이다$.$약한 위상은 기능 분석에서 약한* 위상에 해당한다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$도 분리가 가능한 경우 약한 수렴은 레비-프로호로프 메트릭에 의해 미터링된다.^[2]

폴란드어 공간

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 폴란드 공간이고 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 보렐 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma \}$ -algebra인$$ 경우 모든 유한 측정은 정기 측정이므로 라돈 측정값이다.^[3]$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 폴란드어일$$ 경우 위상이 약한 모든 유한 측정값 집합도 폴란드어일 수 있다.^[4]

참조