푸시포워드 측정

측정 이론에서 푸시포워드 측정(push forward, push-forward 또는 영상 측정이라고도 함)은 측정 가능한 함수를 사용하여 측정 가능한 한 공간에서 다른 공간으로 측정을 이전("push forward")함으로써 얻는다.

정의

Given measurable spaces ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ and ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$, a measurable mapping ${\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}}$ and a measure ${\displaystyle \mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]$$}},$$$μ {\$displaystyle \mu }$의 푸시포워드${\displaystyle (}$push forward)는 $\mu {\displaystyle {}_{}\mu }$) : ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon \sigma _{2}\to,+\fto }$로 정의된다$$.

${\displaystyle }$${\displaystyle (}$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle }$μ${\displaystyle }$)${\displaystyle }$(${\displaystyle B{}^{})}$ = ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle ({}^{}}$f - ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle B}$ ) )${\displaystyle }$} ${\$ ${\displaystyle {}_{}}$$left(f^{-1(B)\$$rigma _{$$2}$용$)}$$}$

서명 또는 복잡한 조치에 대해서는 이 정의를 준용한다.푸시포워드 측정은 ${\displaystyle {\mathrm{또한}}^{}}$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}-}$ 1 ${\$ $f{\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$$\mu s{\displaystyle }$ ${\displaystyle f_{\sharp$\$mu$ $\},$ f${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\mu s}}$ ${\displaystystyle f$$\sharp \$$mu$$\},$ 또는 $f{\displaystyle \mathrm{}}$# ${\displaystyle \mathrm{\mu s}}$로 표시된다$.$

주 특성: 변수 변경 공식

정리:^[1]X의₂ 측정 가능한 함수 g는 구성 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \circ }$ f ${\displaystyle g\circf}$이(가) 측정 μ에 대해 통합 가능한 경우에만 푸시포워드 측정 f_∗(μ)에 대해 통합할 수 있다.그 경우, 통합은 일치한다, 즉,

${\displaystyle \int_{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int_{X_{1}g\circle f\,d\mu .}$

앞의 $공식$에서 ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( X${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ ) ${\displaystyle X_{1}=f^{-1}(X_{2})}$에 유의하십시오$.$

예제 및 응용 프로그램

• 단위 서클¹ S(여기서 복합 평면 C의 부분 집합으로 생각됨)의 자연적인 "레베그 측정"은 실제 라인 R에서 푸시-포워드 시공 및 레베그 측정 λ을 사용하여 정의할 수 있다.또한 λ은 르베그 측정의 제약을 구간[0, 2π]으로 나타내고 f : [0, 2π) → S는¹ f(t) = exp(i t)로 정의한 자연적 편향이다.S의¹ 자연적인 "Lebesgue 측정"은 푸시-포워드 측정치_∗ f(λ)이다.S에서¹ 원호의 f_∗(() 측정값이 원호의 원호 길이(또는 동등하게 원의 중심에서 소계되는 각도)이기 때문에 f_∗(λ) 측정은 "아크 길이 측정" 또는 "각도 측정"이라고도 할 수 있다.
• 앞의 예는 n-차원 토러스ⁿ T에 자연적인 "레베그 측정"을 제공하는 데 좋게 확장된다.앞의¹ 예는 S = T이기¹ 때문에 특별한 경우다.T에ⁿ 대한 이 Lebesgue 측정은 정상화에 이르기까지 소형 연결 Lieⁿ 그룹 T에 대한 Haar 측정이다.
• 무한 차원 벡터 공간에 대한 가우스 측정은 푸시-포워드 및 실제 선상에서 표준 가우스 측정을 사용하여 정의된다. 분리 가능한 바나흐 공간 X에 대한 보렐 측정 γ을 연속 이중 공간 X에 대한 어떤 비제로 선형 기능에 의한 γ의 푸시-포워드(pus-forward)가 R에 대한 가우스 측정인 경우 가우스 측정값이라고 한다.
• 측정 가능한 함수 f : X → X와 f의 구성 자체를 n번 고려한다.

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circle f\circle \circots \circl f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.}$

이 반복된 기능은 역동적인 시스템을 형성한다.지도 f가 변하지 않고 남는 측정 μ, 즉 f_∗(μ) = μ인 소위 불변 측정치를 X에서 찾는 것이 그러한 시스템의 연구에 종종 관심을 갖는다.

• One can also consider quasi-invariant measures for such a dynamical system: a measure ${\displaystyle \mu }$ on ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ is called quasi-invariant under ${\displaystyle f}$ if the push-forward of ${\displaystyle \mu }$ by ${\displaystyle f}$ is merely equivalent to the original meAsure μ, 반드시 그것과 같은 것은 아니다.A pair of measures ${\displaystyle \mu ,\nu }$ on the same space are equivalent if and only if ${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0}$, so ${\displaystyle \mu }$ is quasi-invariant under ${\displaystyle f}$ if ${\displaystyle \mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Sigma }:\mu (A)=0⟺f_{\ast }}$${\displaystyle$

• 기 분포와 같은 많은 자연 확률 분포는 이 구조를 통해 얻을 수 있다.

• 랜덤 변수는 푸시포워드 측정이다.그들은 확률 공간을 코도메인 공간에 매핑하고 푸시포워드에 의해 정의된 확률 측정으로 그 공간을 내포한다.나아가 랜덤 변수는 함수(따라서 총함수)이기 때문에 전체 코도메인의 역영상은 전체 도메인이고, 전체 도메인의 측정치는 1이므로 전체 코도메인의 측정치는 1이다.즉, 랜덤 변수는 최소값으로 구성될 수 있으며, 항상 랜덤 변수로 남아 확률 측정으로 코도메인 공간을 내포한다.

일반화

일반적으로 모든 측정 가능한 함수는 앞으로 밀고 나갈 수 있으며, 그 후 푸시 포워드(push-forward)는 전달 연산자 또는 프로베니우스-페론 연산자로 알려져 있는 선형 연산자가 된다.유한한 공간에서 이 운영자는 전형적으로 프로베니우스-페론 정리의 요건을 충족하며, 운영자의 최대 고유값은 불변측정치에 해당한다.

푸시 포워드에 대한 부호는 풀백이다. 측정 가능한 공간의 함수 공간에 대한 연산자로서 컴포지션 연산자 또는 콥만 연산자다.

참고 항목

• 측정-보존형 동력계

메모들

참조

• Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory, Berlin: Springer Verlag, ISBN 9783540345138
• Teschl, Gerald (2015), Topics in Real and Functional Analysis