딘킨 시스템

유진 딘킨의 이름을 딴 Dynkin 시스템은 𝜎-알게브라보다 약한 공리 집합을 만족하는$$ 또 다른 범용 집합 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의 하위 집합 모음입니다.Dynkin 시스템을 𝜆-systems(Dynkin 자신이 이 용어를 사용함) 또는 d-system이라고 부르기도 한다.^[1]이 세트 패밀리는 측정 이론과 확률에 응용이 있다.

𝜆-systems의 주요 적용은 π-𝜆 정리(아래 참조)이다.

정의들

Ω을 비어 있지 않은 집합으로 하고, $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$을(를) $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의 하위 집합 집합으로 한다($$$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}).$그렇다면 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은(는) Dynkin 시스템이며$$,

1. ${\displaystyle \Oomega \in D,}$
2. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$은(는) 대위 집합의 하위 집합 보완 하에서 닫힌다$$. $A{\displaystyle }$ ,${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ D ${\displaystyle A,$${\displaystyle B}$$\in D}$ 및$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle$ $A$$\subseteq B,},$ $B$ ∖ $D, {\displaystystyled$,
3. ${\displaystyle D}$ is closed under countable increasing unions: if ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ is a sequence of subsets in ${\displaystyle D}$ and ${\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}$ for all ${\displaystyle n\geq 1,}$ then ${\displaystyle \bigcup _n^{}}$${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\ft }A_{n}\in$$}$

$마찬가지$로 D ${\displaystyle D}$은(는) Dynkin 시스템이며$$,

1. ${\displaystyle \Oomega \in D,}$
2. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$은(는) $\Omega$ ${\displaystyle \Oomega}$의 보완 아래 닫힘$$$:$ $A$ $\in$ D$$, ${\textstyle A\in D}$인 경우 ${\displaystyle \Omega }$ A${\displaystyle d}$ D$${\$displayStyle \setminus$A\$in$ D$\},$
3. ${\displaystyle D}$ is closed under countable unions of pairwise disjoint sets: if ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ is a sequence of subsets in ${\displaystyle D}$ such that ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$ for all ${\displaystyle$$i\neq j,}$ 그 다음$$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}{\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ A ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D}$ .${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\ft }A_{n}\in$ D$.$$}$

두 번째 정의는 일반적으로 확인하기가 더 쉽기 때문에 일반적으로 선호된다.

중요한 사실은 π 시스템(즉, 유한 교차점에 의해 폐쇄됨)이기도 한 Dynkin 시스템이 al-algebra라는 것이다.이는 조건 2와 조건 3과 유한 교차로에 따른 폐쇄가 계수 가능한 유니언에 따른 폐쇄를 의미한다는 점에 유의하여 검증할 수 있다.

Given any collection ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ of subsets of ${\displaystyle \Omega ,}$ there exists a unique Dynkin system denoted ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$ which is minimal with respect to containing ${\displaystyle {\mathcal {J}}.}$ That is, if ${\displaystyl$$e {\tilde {D}}}$ is any Dynkin system containing ${\displaystyle {\mathcal {J}},}$ then ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}\subseteq {\tilde {D}}.}$ ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$ is called the Dynkin system generated by ${\displaystyle {\mathcal {J}}.}$ For instance, ${\displaystyle D\{\varnothing \}=\{\varnothing ,\Omega \}.}$ For another example, let ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4\}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {J}}=\{1\}}$; then ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}=\{$$\varnothing,\{1\},\{2,3,4\},\Oomega$$\}.$$}$

딘킨의 π-λ 정리

If ${\displaystyle P}$ is a π-system and ${\displaystyle D}$ is a Dynkin system with ${\displaystyle P\subseteq D,}$ then ${\displaystyle \sigma \{P\}\subseteq D.}$ In other words, the 𝜎-algebra generated by ${\displaystyle P}$ is contained in ${\displaystyle D.$$}$

Dynkin의 π-𝜆 정리의 한 가지 적용은 간격의 길이를 평가하는 척도의 고유성(Lebesgue 척도로 알려져 있음)이다.

Let${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle B}$ ,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle (\Oomega ,B,\lambda )}$은(는) 보렐 집합의 Lebesgue 측정값과 함께 단위 간격 [0,1]이다.Let ${\displaystyle \mu }$ be another measure on ${\displaystyle \Omega }$ satisfying ${\displaystyle \mu [(a,b)]=b-a,}$ and let ${\displaystyle D}$ be the family of sets ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle \mu [S]=\lambda [S].$}:){(a, b),[a, b),(a, b],[a, b]:0<>;≤ b<1},{\displaystyle 나는:=\{(a,b)[의),(a,b],[a,b]:0<, a\leq b<, 1\},},{\displaystyle 1세}유한 교차로에 따라서 닫히다의 명령을 지키고, 내가,{I\subseteq D\displaystyle,}과는 B{B\displaystyle}은 𝜎-algebra D⊆ 나는자. 에 의해 생성된${\displaystyle I}$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle I.}$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) Dynkin-system에 대해 위의 조건을 만족하는$$ 것으로 나타날 수 있다.Dynkin의 π-𝜆 정리로부터 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은${\displaystyle (}$는) $사실{\displaystyle }$B , {\$displaystyle B}$의 모든 것을 포함하는 것으로, 이는$$ Lebesgue 측정이 $B{\displaystyle .}$ ${\displaystyle B$에 고유하다는 것을 보여주는 것과 같다$.$$}$

확률 분포에 적용

π-𝜆 정리는 그 누적분포함수의 관점에서$$ ${\displaystyle 임의변수\mathbb{}}$X${\displaystyle }$: (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$,${\displaystyle F\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \mathrm{P}}$) → R ${\$X\$colon$(\$Oomega ,{\mathcal {F},\operatorname {P} )\rightarrow \mathb {R}}}}$의 확률분포에 대한 공통의 정의에 동기를 부여한다.랜덤 변수의 누적 분포가 다음과 같이 정의되어 있음을 상기하십시오.

반면에 변수의 보다 일반적인 법칙은 확률 측정이다.여기서 $B{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {B}(\mathb {R}$)은$$ 보렐 𝜎-algebra이다.We say that the random variables ${\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$ and ${\displaystyle Y\colon ({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\rightarrow \mathbb {R} }$ (on two possibly different probability spaces) are equal in distribution (or law), denoted by ${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$ if they have the same cumulative distribution functions, that is, ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$ The motivation for the definition stems from the observation that if ${\displaystyle F_X}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$ then that is exactly to say that ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$ agree on the π-system ${\displaystyle \left\{(-\infty ,a]\colon a\in \mathbb {R} \right\}}$ which generates ${\displaystyle \mathcal{B}}$${\displaystyle (R\mathbb{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal {B}(\mathb {R}),}$등$$ 위의 예에 ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$: ${\displaystyle L_{}}$X = ${\displaystyle L_{}}$ Y${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal$ {$L}}}={\mathcal {L}_{Y}.$$}$

유사한 결과가 랜덤 벡터의 공동 분포를 유지한다.For example, suppose ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are two random variables defined on the same probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$ with respectively generated π-systems ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ and ${\displaystyle {\mathcal{I}}_Y.}$${\displaystyle {\mathcal{I}_{Y}}$의 합동$$ 누적 분포 함수는${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X,Y)$이다.

단, ${\displaystyle {}^{}}$= X${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle }$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$$\in {\mathcal{I}_{X}$ 및 $B$ = ${\displaystyle {\mathrm{Y}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{\infty ,}b])}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle B=Y^{-1}(-\profty,b])$$\in {\mathcal {I}_{Y}}$ 이유$$

is a π-system generated by the random pair ${\displaystyle (X,Y),}$ the π-𝜆 theorem is used to show that the joint cumulative distribution function suffices to determine the joint law of ${\displaystyle (X,Y).}$ In other words, ${\displaystyle (X,Y)}$ and ${\displaystyle (W,Z)}$ ha 동일한 합동 누적 분포 함수를 갖는 경우에만 동일한 분포를 갖는다.

In the theory of stochastic processes, two processes ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$ are known to be equal in distribution if and only if they agree on all finite-dimensional distributions; that is, for all ${\displaystyle t_{1},\ldot$$s ,t_{n}\in T,\,n\in \mathb {N}.}$

이것의 증거는 π-𝜆 정리의 또 다른 응용이다.^[2]

참고 항목

• 집합 대수 - 집합과 관련된 ID 및 관계
• Δ-링 – 계산 가능한 교차로에서 링 닫힘
• 세트장 – 측정 이론에서 대수 개념으로, 집합의 대수라고도 한다.
• 모노톤급
• π-시스템 – 교차점에서 닫힌 세트 패밀리
• 세트 링 – 유니언 및 상대적 보완 하에 패밀리 마감
• σ알게브라 – 집합대수의 알헤브릭 구조
• 𝜎 이상 – 하위 집합 및 카운트 가능한 조합에 의해 폐쇄된 가족
• 𝜎-링 – 계산 가능한 유니언에 따라 링 닫힘

메모들

참조

• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. New York: Springer. doi:10.1007/b138932. ISBN 0-387-22833-0.
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Williams, David (2007). Probability with Martingales. Cambridge University Press. p. 193. ISBN 0-521-40605-6.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Dynkin 시스템의 자료가 통합되어 있다.

제품군 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$${F}$$Ω$ 이상 세트
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 by ${\displaystyle \,\supseteq }$	$A\cap B}$	$A\컵 B}$	$B\setminus A}$	$\displaystyle \Oomega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\컵 A_{2}\컵 \cdots }$	${\displaystyle \Oomega \in {\mathcal {F}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-시스템
세미닝										결코 하지 않다
세미날게브라 (세미필드)										결코 하지 않다
모노톤급						${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\searrow }$인 경우에만 해당됨	$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${$${\$displaystyle A_{i}\nearrow }$인 경우에만 해당됨
𝜆-시스템 (Dynkin 시스템				할 때만 $A\subseteq B}$			$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$ 또는$$ 그들은 서로 단절되어 있다.			결코 하지 않다
반지(순서가론)
링(측정 이론)										결코 하지 않다
Δ-링										결코 하지 않다
𝜎-링										결코 하지 않다
대수(필드)										결코 하지 않다
𝜎알게브라 (필드-필드)										결코 하지 않다
이중 이상
필터				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
프리필터 (필터 베이스)				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
필터 서브베이스				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
위상							(임의의 조합도)			결코 하지 않다
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 아래쪽으로	유한한 교차점	유한한 조합	상대적 보완물	보완물 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$	셀 수 있는 교차점	셀 수 있는 조합	$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ 포함	포함 ${\displaystyle \varnothing }$	유한한 교차로 속성
또한 의미 부여는 모든 보완 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\setminus A$}이(가)${\displaystyle }$F .$${\$displaystyle${\$mathcal {F}$에서 집합의 유한 분리 결합과 동일한 π-시스템이다.$}$ 세미메이지브라(semialgebra)는$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ . {\$displaystyle \Oomega .}$을(를) 포함하는 기호다. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$은(는) $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 임의적인 요소이며$$$$, $≠.{\displaystystyle. {\\f}\neqvarnot.}$라고 가정한다.