가우스 측도

수학에서 가우스 측도는 유한 차원 유클리드 공간 R에ⁿ 대한 보렐 측도로, 통계에서의 정규 분포와 밀접한 관련이 있다.무한 차원 공간에 대한 일반화도 있다.가우스 측도는 독일의 수학자 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 이름을 딴 것이다.가우스 측정이 확률론에서 이처럼 어디에나 존재하는 한 가지 이유는 중심 한계 정리 때문이다.대략적으로 말하면, 임의 변수 X를 순서 1의 독립 랜덤 변수 N을 많이 합산하여 구하면, X는 $순서$가 N ${\$이고 그 법칙은 대략 가우스라고 명시되어 있다.

정의들

n ∈ N, B₀(Rⁿ)가 R에ⁿ 보렐 σ-알게브라 완성을 나타내도록 한다.Letⁿ : : B₀(Rⁿ) → [0, +∞]는 통상적인 n차원 Lebesgue 측정치를 나타낸다.그러면 표준 가우스 측정 measureⁿ : B₀(Rⁿ) → [0, 1]은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \gamma ^{n}(A)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\ x\ _{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x)}$

모든 측정 가능한 집합₀ A ( B(Rⁿ)에 대하여.라돈-니코디엠 파생상품의 관점에서 보면

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \gamma ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\ x\ _{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right).}$

보다 일반적으로 평균 μ μ R과ⁿ 분산² > 0을 가진 가우스 측도는 다음과 같다.

${\displaystyle \gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A):={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\ x-\mu \ _{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x).}$

평균 μ = 0의 가우스 측정값을 중심 가우스 측정값이라고 한다.

디락 측정 Δ는_μ ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$,${\displaystyle {{\sigma \mathrm{}}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$ ${\$의 약한 한계로, σ → 0으로$$ 퇴보된 가우스 측도로 간주되며, 이와 반대로 유한하고 0이 아닌 가우스 측도는 비게우스 측도라고 한다.

가우스 측도 특성

표준ⁿ 가우스 측정값 γⁿ on R

• 보렐 측정치(사실 위에서 언급한 바와 같이 보다 미세한 구조인 보렐 시그마 대수학의 완성에 대해 정의된다)
• Lebesgue 측정값과 동일함: ${\displaystyle {\lambda n}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{n}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{n}^{}}$ $\$ 여기서 $≪$ {\$displaystyle \ll$ \n$}$은 조치의 절대 연속성을 의미한다$$.
• 모든 유클리드 공간에서 지원됨: supp(suppⁿ) = Rⁿ;
• 확률 측정값(단위ⁿ(Rⁿ) = 1)이므로 국소적으로 유한하다.
• 엄격히 양수임: 모든 비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비
• 내측 정규 분포: 모든 보렐 집합 A에 대해,
  $${\displaystyle \gamma ^{n}(A)=\supp\{\gamma ^{n}(K)\mid K\subseteq A, K{\text{는 콤팩트하다}}}$$

  
  따라서 가우스 측정치는 라돈 측정값이다.
• 번역-불변하지만, 관계를 만족시키지는 않는다.
  $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}-{\frac {1}{2}}\ h\ _{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right),}$$

  
  여기서 왼쪽의 파생상품은 라돈-니코디엠 파생상품이고, (T_h)(_∗Tⁿ)는 번역지도 T_h : R → Rⁿⁿ, T_h(x) = x + h에 의한 표준 가우스 측도의 추진이다.
• 정규 확률 분포와 관련된 확률 측정값:
  $${\displaystyle Z\sim \operatorname {Normal}(\mu ,\sigma ^{2})\implies \mathb {P}(Z\in A)=\gamma _{\mu ,\2}}^{n}(A)}$$

  

무한 차원 공간에 대한 가우스 측도

무한 차원 벡터 공간에 레베그 측도의 아날로그가 없음을 알 수 있다.그렇더라도 무한차원 공간에 대한 가우스 측도를 정의할 수 있는데, 그 대표적인 예가 추상적인 위너 공간구축이다.분리 가능한 바나흐 공간 E에 대한 보렐 측정치 γ은 L = 0을 제외한 모든 선형 기능 L ∈ E에^∗ 대해 푸시-포워드 측정치_∗ L(γ)이 위에서 정의한 의미에서 R에 대한 비-데이지(중심) 가우스 측정치인 경우 비데이지(중심) 가우스 측정치라고 한다.

예를 들어, 연속 경로 공간에 대한 고전적인 위너 측정은 가우스 측정이다.

참조

• Bogachev, Vladimir (1998). Gaussian Measures. American Mathematical Society. ISBN 978-1470418694.
• Stroock, Daniel (2010). Probability Theory: An Analytic View. Cambridge University Press. ISBN 978-0521132503.

참고 항목

• 가우스 조치의 일반화인 베소프 조치
• 카메론-마틴 정리