T이중성

T-duality

이론 물리학에서, T-이중성(target-space 이중성의 줄임말)은 양자장 이론이나 끈 이론 하나일 수 있는 두 가지 물리 이론의 동등성이다.이 관계의 가장 단순한 예에서는 한쪽 이론이 R의 원(\ R과 같은 시공간에서 전파되는 스트링을 기술하고다른 한쪽 이론은 1/하는 반경 의 원(\1/과 같은 시공간에서 전파되는 스트링을 기술합니다.T 이중성의 개념Bala Sathiapalan에 의해 [1]1987년 무명 논문에 처음 언급되었다.두 개의 T-이중 이론은 하나의 설명에 있는 모든 관측 가능한 양이 이중 설명에 있는 양으로 식별된다는 점에서 동일하다.예를 들어, 한 설명의 운동량은 이산 값을 사용하며 이중 설명의 원에 문자열이 감기는 횟수와 같습니다.

T-이중성의 개념은 초끈 이론을 포함한 더 복잡한 이론으로 확장될 수 있습니다.이러한 이중성의 존재는 겉으로 보기에 다른 초끈 이론들이 실제로 물리적으로 동등하다는 것을 암시한다.이것은 1990년대 중반, 5개의 일관된 슈퍼스트링 이론 모두가 M-이론이라고 불리는 단일 11차원 이론의 다른 제한 사례라는 것을 깨닫게 했다.

일반적으로 T-이중성은 서로 다른 시공간 기하학적 구조를 가진 두 이론과 관련이 있습니다.이러한 방식으로, T-이중성은 플랑크 척도 [2]물리학 이론에서 기하학의 고전적 개념이 분해되는 가능한 시나리오를 제시합니다.T-이중성에 의해 제시된 기하학적 관계 또한 순수 수학에서 중요하다.실제로 Andrew Strominger, Sing-Tung Yau, Eric ZaslowSYZ 추측에 따르면, T-이중성은 거울 대칭이라고 불리는 또 다른 이중성과 밀접하게 관련되어 있으며, 열거형 대수 기하학이라고 불리는 수학의 한 분야에서 중요한 응용 분야를 가지고 있다.

개요

문자열과 이중성

T-이중성은 물리학에서 이중성의 일반적인 개념의 특별한 예입니다.이중성이라는 용어는 겉으로 보기에 서로 다른 두 개의 물리적 시스템이 중요하지 않은 방식으로 동등하게 판명되는 상황을 말합니다.만약 두 이론이 이중성에 의해 연관되어 있다면, 그것은 하나의 이론이 어떤 식으로든 변형될 수 있다는 것을 의미한다.그리고 그 두 이론은 변환 하에서 서로 이중적이라고 한다.달리 말하면, 두 이론은 수학적으로 같은 현상을 다르게 기술한 것이다.

이론 물리학에서 연구된 많은 이중성처럼, T 이중성은 이론의 맥락에서 발견되었습니다.[3]끈 이론에서 입자는 0차원 점이 아니라 끈이라고 불리는 1차원 확장 물체로 모델링된다.현의 물리학은 다양한 차원으로 연구될 수 있다.끈 이론은 일상 경험에서 익숙한 세 가지 차원(위/아래, 왼쪽/오른쪽, 앞/뒤)에 더하여 원형으로 말려든 하나 이상의 콤팩트한 치수를 포함할 수 있습니다.

이에 대한 표준적인 유추는 정원 [4]호스와 같은 다차원 물체를 고려하는 것입니다.호스가 충분한 거리에서 보이는 경우, 호스의 치수는 1치수, 즉 길이입니다.그러나 호스에 접근할 때 호스에 두 번째 치수인 둘레가 포함되어 있음을 알게 됩니다.따라서, 개미 한 마리가 그 안으로 기어들어가면 2차원으로 움직일 것이다.이러한 추가 치수는 T-duality에서 중요합니다.T-duality에서는 스트링이 일부 R(\ R 원을 전파하는 이론과 스트링이 반지름 1/ 1/원을 전파하는 이론을 관련짓습니다.

와인딩 번호

수학에서, 주어진 점 주위의 평면에서 곡선의 권선 수는 곡선이 그 점을 중심으로 시계 반대 방향으로 이동하는 총 횟수를 나타내는 정수입니다.T-이중성의 수학적 설명에서 와인딩 번호의 개념은 콤팩트한 추가 치수를 중심으로 한 문자열의 와인딩을 측정하는 데 사용된다.

예를 들어, 아래 이미지는 빨간색으로 표시된 평면의 여러 곡선의 예를 보여 줍니다.각 곡선은 닫힌 으로 간주됩니다. 즉, 끝점이 없으며 자신을 교차할 수 있습니다.각 곡선은 그림의 화살표로 표시된 방향을 가지고 있습니다.각 상황에서 평면에는 검은색으로 표시된 구별되는 점이 있습니다. 구분점 주변의 곡선의 권선 횟수는 곡선이 이 점 주변에서 이루어지는 총 시계 반대 방향 회전 횟수와 같습니다.

Winding Number -2.svg Winding Number -1.svg Winding Number 0.svg
−2 −1 0
Winding Number 1.svg Winding Number 2.svg Winding Number 3.svg
1 2 3

총 회전 수를 셀 때 반시계 방향은 양수인 반면 시계 방향은 음수로 카운트됩니다.예를 들어, 곡선이 먼저 원점을 시계 반대 방향으로 네 바퀴 돌린 다음 원점을 시계 방향으로 한 바퀴 돌면 곡선의 총 권선 수는 3입니다.이 방식에 따르면 식별점을 전혀 돌지 않는 곡선은 권선번호 0을 가지며, 그 점을 시계방향으로 도는 곡선은 음의 권선번호를 가진다.따라서 곡선의 권선수는 임의의 정수일 수 있다.위의 그림은 -2와 3 사이의 감겨진 숫자의 곡선을 보여줍니다.

양자화 모멘타

T-이중성이 발생하는 가장 간단한 이론은 원형 표적 공간을 가진 2차원 시그마 모델, 즉 압축된 자유 보손이다.이것들은 원처럼 생긴 가상의 시공간에서 끈의 전파를 설명하는 단순한 양자장 이론이다.따라서 문자열은 원점 주위에 있는 원(: 반지름R\ R에 놓이도록 제한된 평면에서 곡선으로 모델링할 수 있습니다.다음 예제에서는 문자열이 닫힌 것으로 간주됩니다(즉, 엔드포인트 없음).

이 원을 S 로 나타냅니다. 의 배수 by R(\ 2 R이 다르면 이 원을 2개의 이 식별된 실선의 복사로 생각할 수 있습니다.따라서 문자열의 상태는 언제든지 로서 수 있습니다 ).단일 실제 파라미터의 \ 이러한 함수는 다음과 같이 푸리에 급수에서 확장할 수 있습니다

( )= + x + n 0 { display \ varphi ( \ ) = + + \ { c{ n}e { \ theta } 。

서 m{\ m 원을 둘러싼 문자열의 와인딩 번호를 나타내며, 푸리에 시리즈의 상수 x 0{\ x(가) 선택되었습니다.이 표현은 일정한 시각에 문자열 설정을 나타내기 때문에 모든 계수( x도 시간의 함수입니다.

{ displaystyle { x ) let 、 constant x \ ) 。이것은 그 이론의 모멘텀을 나타낸다.여기서 고려되는 문자열이 닫힌다는 사실을 이용하여, 이 모멘텀은 에 대해 x n / { 형식의 이산 값에만 취할 수 있다는 것을 보여줄 수 있다. 보다 물리적인 언어로 모멘텀 스펙트럼이 양자화되었다고 말할 수 있다.

이론의 등가

위에서 설명한 상황에서 현의 총 에너지, 즉 해밀토니안은 다음 식에 의해 주어진다.

( + 2 + n + n ( \ {}^{2 \ _ {} { { { c } { } + ^ { 2 } + {

이론의 모멘타가 양자화되므로 이 공식의 첫 번째 두 항은(2 + (/ {{ (이며 R 1/치환하고 권선수를 해도 이 표현은 변경되지 않습니다. m n n H 식에서의 합계는 이와 같은 변화에 영향을 받지 않으므로 총 에너지는 변경되지 않습니다.실제로 해밀턴의 등가성은 두 가지 양자역학 이론의 등가성으로 귀결됩니다.이들 이론 중 하나는 R의 원({R에서 전파되는 스트링을 기술하고, 다른 하나는 운동량과 권선 번호가 교환된 1의 원({R})에서 전파되는 스트링을 기술합니다.이론의 등가는 T-이중성의 가장 단순한 표현이다.

슈퍼스트링

끈 이론의 이중성에 대한 다이어그램입니다.파란색 가장자리는 S 이중성을 나타냅니다.빨간색 가장자리는 T-듀얼리티를 나타냅니다.

1990년대 중반까지 끈 이론을 연구하는 물리학자들은 이 이론의 다섯 가지 다른 버전이 있다고 믿었다: 타입 I, 타입 I, 타입 IIB, 그리고 이질적인 끈 이론의 두 가지 맛 (SO(32)8 E×E8).다른 이론들은 다른 종류의 끈을 허용하고, 낮은 에너지에서 발생하는 입자들은 다른 대칭을 보입니다.

1990년대 중반, 물리학자들은 이 다섯 개의 끈 이론이 실제로 매우 사소한 이중성과 관련이 있다는 것을 알아냈습니다.이 이중성 중 하나가 T 이중성입니다.예를 들어 타입 IIA 스트링 이론은 타입 IIB 스트링 이론과 T-duality에 의해 동등하며, 또한 2가지 버전의 헤테로틱 스트링 이론이 T-duality에 의해 관련되어 있는 것으로 나타났습니다.

이러한 이중성의 존재는 다섯 개의 끈 이론이 사실 모두 구별되는 이론은 아니라는 것을 보여주었다.1995년, 서던 캘리포니아 대학에서 열린 끈 이론 회의에서 에드워드 위튼은 이 다섯 가지 이론 모두가 현재 [5]M 이론으로 알려진 하나의 이론의 다른 한계일 뿐이라는 놀라운 제안을 했다.위튼의 제안은 서로 다른 초끈 이론들이 이중성에 의해 연결된다는 관찰과 IIA와8 E×E형8 이질 끈 이론이 11차원 초중력이라는 중력 이론과 밀접한 관련이 있다는 사실에 바탕을 두고 있었다.그의 발표는 현재 제2의 슈퍼스트링 혁명으로 알려진 많은 작업들로 이어졌다.

거울 대칭

이론과 대수 기하학에서, "거울 대칭"이라는 용어는 칼라비라고 불리는 복잡한 형상을 포함하는 현상을 가리킨다.야우다양체이러한 다양체는 문자열이 전파될 수 있는 흥미로운 기하학적 구조를 제공하며, 결과 이론들은 입자 [6]물리학에서 응용될 수 있습니다.1980년대 후반, 그런 칼라비가 눈에 띄었다.야우 다양체는 이론의 물리학을 유일하게 결정하지 않는다.대신 칼라비가 두 개 있다는 것을 알게 된다.같은 [7]물리학을 만들어 내는 Yau 다지관.이러한 다양체는 서로 "거울"이라고 불립니다.이 거울 이중성은 끈 이론에서 중요한 계산 도구이며, 수학자들이 열거형 [8]기하학의 어려운 문제들을 풀 수 있게 해 주었다.

토러스는 두 원의 데카르트 곱이다.

거울 대칭을 이해하기 위한 한 가지 접근법은 1996년 [9]Andrew Strominger, Sing-Tung Yau, Eric Zaslow의해 제안된 SYZ 추측이다.SYZ 추측에 따르면 거울 대칭은 복잡한 칼라비를 분할함으로써 이해할 수 있다.Yau 다지관은 보다 단순한 조각으로 분할하고 이러한 [10]조각에 대한 T-이중성의 영향을 고려합니다.

칼라비의 가장 단순한 예-야우 매니폴드는 토러스(도넛 모양의 표면)입니다.이러한 표면은 두 개의 원의 산물로 볼 수 있다.즉, Torus는 세로 원 집합(예: 이미지의 빨간색 원)의 결합으로 볼 수 있습니다.이러한 원의 구성을 나타내는 보조 공간이 있으며, 이 공간 자체가 원(분홍색 원)입니다.이 공간은 토러스 위의 세로 원을 매개 변수화한다고 합니다.이 경우 거울 대칭은 세로 원에 작용하는 T 이중성에 해당하며, 문자열 장력의 역방향인 α \ 합니다

SYZ 추측은 이 아이디어를 6차원 칼라비의 더 복잡한 경우로 일반화한다.위의 그림과 같은 Yau 다지관입니다.토러스의 경우처럼 6차원 칼라비를 나눌 수 있다.Yau 다지관은 보다 단순한 조각으로, 이 경우 3구([11]구체의 3차원 일반화)에 의해 매개변수화된 3토리(토러스 개념을 일반화하는 3차원 객체)입니다.T-이중성은 원에서 이 분해에 나타나는 3차원 토리까지 확장할 수 있으며, SYZ 추측에 따르면 이들 3차원 [12]토리에 대한 T-이중성의 동시 적용과 동등하다.이와 같이 SYZ 추측은 칼라비에서 거울 대칭이 어떻게 작용하는지에 대한 기하학적 그림을 제공한다.야우 매니폴드

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ 사티아팔란 1987년
  2. ^ 세이버그 2006년
  3. ^ 사티아팔란 1987년끈 이론에서 발생하는 다른 이중성으로는 S-이중성, U-이중성, 거울 대칭성 및 AdS/CFT 대응성이 있습니다.
  4. ^ 이 비유는 Greene 2000, 186페이지에서 사용되고 있습니다.
  5. ^ 1995년 비튼.
  6. ^ Candelas et al.
  7. ^ Dixon 1988; Lerche, Vafa, and Warner 1989.
  8. ^ Zaslow 2008.
  9. ^ 스트로밍거, 야우, 자슬로 1996년.
  10. ^ Yau and Nadis 2010, 페이지 174.
  11. ^ 좀 더 정확히 말하면, 3구상의 모든 점에는 단일한 토리에 해당하는 특정 불량점을 제외한 3토루스가 관련되어 있습니다.Yau와 Nadis 2010, 페이지 176-7을 참조한다.
  12. ^ Yau and Nadis 2010, 페이지 178

레퍼런스

  • Sathiapalan, Bala (1987). "Duality in Statistical Mechanics and String Theory". Physical Review Letters. 58 (16): 1597–9. Bibcode:1987PhRvL..58.1597P. doi:10.1103/PhysRevLett.58.1597. PMID 10034485.
  • Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward (1985). "Vacuum configurations for superstrings". Nuclear Physics B. 258: 46–74. Bibcode:1985NuPhB.258...46C. doi:10.1016/0550-3213(85)90602-9.
  • Dixon, Lance (1988). "Some world-sheet properties of superstring compactifications, on orbifolds and otherwise". ICTP Ser. Theoret. Phys. 4: 67–126.
  • Greene, Brian (2000). The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory. Random House. ISBN 978-0-9650888-0-0.
  • Lerche, Wolfgang; Vafa, Cumrun; Warner, Nicholas (1989). "Chiral rings in superconformal theories". Nuclear Physics B. 324 (2): 427–474. Bibcode:1989NuPhB.324..427L. doi:10.1016/0550-3213(89)90474-4.
  • Seiberg, Nathan (2006). "Emergent Spacetime". The Quantum Structure of Space and Time: 163–213. arXiv:hep-th/0601234. doi:10.1142/9789812706768_0005. ISBN 978-981-256-952-3. S2CID 3053018.
  • Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996). "Mirror symmetry is T-duality". Nuclear Physics B. 479 (1): 243–259. arXiv:hep-th/9606040. Bibcode:1996NuPhB.479..243S. doi:10.1016/0550-3213(96)00434-8. S2CID 14586676.
  • Witten, Edward (March 13–18, 1995). "Some problems of strong and weak coupling". Proceedings of Strings '95: Future Perspectives in String Theory. World Scientific.
  • Witten, Edward (1995). "String theory dynamics in various dimensions". Nuclear Physics B. 443 (1): 85–126. arXiv:hep-th/9503124. Bibcode:1995NuPhB.443...85W. doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O. S2CID 16790997.
  • Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2.
  • Zaslow, Eric (2008). "Mirror Symmetry". In Gowers, Timothy (ed.). The Princeton Companion to Mathematics. ISBN 978-0-691-11880-2.