T이중성
T-duality끈 이론 |
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기본 객체 |
섭동 이론 |
자극적이지 않은 결과 |
현상학 |
수학 |
이론 물리학에서, T-이중성(target-space 이중성의 줄임말)은 양자장 이론이나 끈 이론 중 하나일 수 있는 두 가지 물리 이론의 동등성이다.이 관계의 가장 단순한 예에서는 한쪽 이론이 R의 원(\ R과 같은 시공간에서 전파되는 스트링을 기술하고다른 한쪽 이론은 1/에 하는 반경 의 원(\1/과 같은 시공간에서 전파되는 스트링을 기술합니다.T 이중성의 개념Bala Sathiapalan에 의해 [1]1987년 무명 논문에 처음 언급되었다.두 개의 T-이중 이론은 하나의 설명에 있는 모든 관측 가능한 양이 이중 설명에 있는 양으로 식별된다는 점에서 동일하다.예를 들어, 한 설명의 운동량은 이산 값을 사용하며 이중 설명의 원에 문자열이 감기는 횟수와 같습니다.
T-이중성의 개념은 초끈 이론을 포함한 더 복잡한 이론으로 확장될 수 있습니다.이러한 이중성의 존재는 겉으로 보기에 다른 초끈 이론들이 실제로 물리적으로 동등하다는 것을 암시한다.이것은 1990년대 중반, 5개의 일관된 슈퍼스트링 이론 모두가 M-이론이라고 불리는 단일 11차원 이론의 다른 제한 사례라는 것을 깨닫게 했다.
일반적으로 T-이중성은 서로 다른 시공간 기하학적 구조를 가진 두 이론과 관련이 있습니다.이러한 방식으로, T-이중성은 플랑크 척도 [2]물리학 이론에서 기하학의 고전적 개념이 분해되는 가능한 시나리오를 제시합니다.T-이중성에 의해 제시된 기하학적 관계 또한 순수 수학에서 중요하다.실제로 Andrew Strominger, Sing-Tung Yau, Eric Zaslow의 SYZ 추측에 따르면, T-이중성은 거울 대칭이라고 불리는 또 다른 이중성과 밀접하게 관련되어 있으며, 열거형 대수 기하학이라고 불리는 수학의 한 분야에서 중요한 응용 분야를 가지고 있다.
개요
문자열과 이중성
T-이중성은 물리학에서 이중성의 일반적인 개념의 특별한 예입니다.이중성이라는 용어는 겉으로 보기에 서로 다른 두 개의 물리적 시스템이 중요하지 않은 방식으로 동등하게 판명되는 상황을 말합니다.만약 두 이론이 이중성에 의해 연관되어 있다면, 그것은 하나의 이론이 어떤 식으로든 변형될 수 있다는 것을 의미한다.그리고 그 두 이론은 변환 하에서 서로 이중적이라고 한다.달리 말하면, 두 이론은 수학적으로 같은 현상을 다르게 기술한 것이다.
이론 물리학에서 연구된 많은 이중성처럼, T 이중성은 끈 이론의 맥락에서 발견되었습니다.[3]끈 이론에서 입자는 0차원 점이 아니라 끈이라고 불리는 1차원 확장 물체로 모델링된다.현의 물리학은 다양한 차원으로 연구될 수 있다.끈 이론은 일상 경험에서 익숙한 세 가지 차원(위/아래, 왼쪽/오른쪽, 앞/뒤)에 더하여 원형으로 말려든 하나 이상의 콤팩트한 치수를 포함할 수 있습니다.
이에 대한 표준적인 유추는 정원 [4]호스와 같은 다차원 물체를 고려하는 것입니다.호스가 충분한 거리에서 보이는 경우, 호스의 치수는 1치수, 즉 길이입니다.그러나 호스에 접근할 때 호스에 두 번째 치수인 둘레가 포함되어 있음을 알게 됩니다.따라서, 개미 한 마리가 그 안으로 기어들어가면 2차원으로 움직일 것이다.이러한 추가 치수는 T-duality에서 중요합니다.T-duality에서는 스트링이 일부 R(\ R의 원을 전파하는 이론과 스트링이 반지름 1/ 1/의원을 전파하는 이론을 관련짓습니다.
와인딩 번호
수학에서, 주어진 점 주위의 평면에서 곡선의 권선 수는 곡선이 그 점을 중심으로 시계 반대 방향으로 이동하는 총 횟수를 나타내는 정수입니다.T-이중성의 수학적 설명에서 와인딩 번호의 개념은 콤팩트한 추가 치수를 중심으로 한 문자열의 와인딩을 측정하는 데 사용된다.
예를 들어, 아래 이미지는 빨간색으로 표시된 평면의 여러 곡선의 예를 보여 줍니다.각 곡선은 닫힌 것으로 간주됩니다. 즉, 끝점이 없으며 자신을 교차할 수 있습니다.각 곡선은 그림의 화살표로 표시된 방향을 가지고 있습니다.각 상황에서 평면에는 검은색으로 표시된 구별되는 점이 있습니다.이 구분점 주변의 곡선의 권선 횟수는 곡선이 이 점 주변에서 이루어지는 총 시계 반대 방향 회전 횟수와 같습니다.
−2 | −1 | 0 | ||
1 | 2 | 3 |
총 회전 수를 셀 때 반시계 방향은 양수인 반면 시계 방향은 음수로 카운트됩니다.예를 들어, 곡선이 먼저 원점을 시계 반대 방향으로 네 바퀴 돌린 다음 원점을 시계 방향으로 한 바퀴 돌면 곡선의 총 권선 수는 3입니다.이 방식에 따르면 식별점을 전혀 돌지 않는 곡선은 권선번호 0을 가지며, 그 점을 시계방향으로 도는 곡선은 음의 권선번호를 가진다.따라서 곡선의 권선수는 임의의 정수일 수 있다.위의 그림은 -2와 3 사이의 감겨진 숫자의 곡선을 보여줍니다.
양자화 모멘타
T-이중성이 발생하는 가장 간단한 이론은 원형 표적 공간을 가진 2차원 시그마 모델, 즉 압축된 자유 보손이다.이것들은 원처럼 생긴 가상의 시공간에서 끈의 전파를 설명하는 단순한 양자장 이론이다.따라서 문자열은 원점 주위에 있는 원(: 반지름R\ R에 놓이도록 제한된 평면에서 곡선으로 모델링할 수 있습니다.다음 예제에서는 문자열이 닫힌 것으로 간주됩니다(즉, 엔드포인트 없음).
이 원을 S 로 나타냅니다. 의 배수 by R(\ 2 R이 다르면 이 원을 2개의 점이 식별된 실선의 복사로 생각할 수 있습니다.따라서 문자열의 상태는 언제든지 로서 수 있습니다 ).단일 실제 파라미터의 \ 이러한 함수는 다음과 같이 푸리에 급수에서 확장할 수 있습니다
- ( )= + x + n 0 { display \ varphi ( \ ) = + + \ { c{ n}e { \ theta } 。
서 m{\ m은 원을 둘러싼 문자열의 와인딩 번호를 나타내며, 푸리에 시리즈의 상수 x 0{\ x이(가) 선택되었습니다.이 표현은 일정한 시각에 문자열 설정을 나타내기 때문에 모든 계수( x 및 도 시간의 함수입니다.
{ displaystyle { x ) let 、 constant x \ ) 。이것은 그 이론의 모멘텀을 나타낸다.여기서 고려되는 문자열이 닫힌다는 사실을 이용하여, 이 모멘텀은 에 대해 x n / { 형식의 이산 값에만 취할 수 있다는 것을 보여줄 수 있다. 보다 물리적인 언어로 모멘텀 스펙트럼이 양자화되었다고 말할 수 있다.
이론의 등가
위에서 설명한 상황에서 현의 총 에너지, 즉 해밀토니안은 다음 식에 의해 주어진다.
- ( + 2 + n + n ( \ {}^{2 \ _ {} { { { c } { } + ^ { 2 } + {
이론의 모멘타가 양자화되므로 이 공식의 첫 번째 두 항은(2 + (/ {{ (이며 R 을 1/에치환하고 권선수를 해도 이 표현은 변경되지 않습니다. m n n H 식에서의 합계는 이와 같은 변화에 영향을 받지 않으므로 총 에너지는 변경되지 않습니다.실제로 해밀턴의 등가성은 두 가지 양자역학 이론의 등가성으로 귀결됩니다.이들 이론 중 하나는 R의 원({R에서 전파되는 스트링을 기술하고, 다른 하나는 운동량과 권선 번호가 교환된 1의 원({R})에서 전파되는 스트링을 기술합니다.이론의 등가는 T-이중성의 가장 단순한 표현이다.
슈퍼스트링
1990년대 중반까지 끈 이론을 연구하는 물리학자들은 이 이론의 다섯 가지 다른 버전이 있다고 믿었다: 타입 I, 타입 I, 타입 IIB, 그리고 이질적인 끈 이론의 두 가지 맛 (SO(32)과8 E×E8).다른 이론들은 다른 종류의 끈을 허용하고, 낮은 에너지에서 발생하는 입자들은 다른 대칭을 보입니다.
1990년대 중반, 물리학자들은 이 다섯 개의 끈 이론이 실제로 매우 사소한 이중성과 관련이 있다는 것을 알아냈습니다.이 이중성 중 하나가 T 이중성입니다.예를 들어 타입 IIA 스트링 이론은 타입 IIB 스트링 이론과 T-duality에 의해 동등하며, 또한 2가지 버전의 헤테로틱 스트링 이론이 T-duality에 의해 관련되어 있는 것으로 나타났습니다.
이러한 이중성의 존재는 다섯 개의 끈 이론이 사실 모두 구별되는 이론은 아니라는 것을 보여주었다.1995년, 서던 캘리포니아 대학에서 열린 끈 이론 회의에서 에드워드 위튼은 이 다섯 가지 이론 모두가 현재 [5]M 이론으로 알려진 하나의 이론의 다른 한계일 뿐이라는 놀라운 제안을 했다.위튼의 제안은 서로 다른 초끈 이론들이 이중성에 의해 연결된다는 관찰과 IIA와8 E×E형8 이질 끈 이론이 11차원 초중력이라는 중력 이론과 밀접한 관련이 있다는 사실에 바탕을 두고 있었다.그의 발표는 현재 제2의 슈퍼스트링 혁명으로 알려진 많은 작업들로 이어졌다.
거울 대칭
끈 이론과 대수 기하학에서, "거울 대칭"이라는 용어는 칼라비라고 불리는 복잡한 형상을 포함하는 현상을 가리킨다.야우다양체이러한 다양체는 문자열이 전파될 수 있는 흥미로운 기하학적 구조를 제공하며, 결과 이론들은 입자 [6]물리학에서 응용될 수 있습니다.1980년대 후반, 그런 칼라비가 눈에 띄었다.야우 다양체는 이론의 물리학을 유일하게 결정하지 않는다.대신 칼라비가 두 개 있다는 것을 알게 된다.같은 [7]물리학을 만들어 내는 Yau 다지관.이러한 다양체는 서로 "거울"이라고 불립니다.이 거울 이중성은 끈 이론에서 중요한 계산 도구이며, 수학자들이 열거형 [8]기하학의 어려운 문제들을 풀 수 있게 해 주었다.
거울 대칭을 이해하기 위한 한 가지 접근법은 1996년 [9]Andrew Strominger, Sing-Tung Yau, Eric Zaslow에 의해 제안된 SYZ 추측이다.SYZ 추측에 따르면 거울 대칭은 복잡한 칼라비를 분할함으로써 이해할 수 있다.Yau 다지관은 보다 단순한 조각으로 분할하고 이러한 [10]조각에 대한 T-이중성의 영향을 고려합니다.
칼라비의 가장 단순한 예-야우 매니폴드는 토러스(도넛 모양의 표면)입니다.이러한 표면은 두 개의 원의 산물로 볼 수 있다.즉, Torus는 세로 원 집합(예: 이미지의 빨간색 원)의 결합으로 볼 수 있습니다.이러한 원의 구성을 나타내는 보조 공간이 있으며, 이 공간 자체가 원(분홍색 원)입니다.이 공간은 토러스 위의 세로 원을 매개 변수화한다고 합니다.이 경우 거울 대칭은 세로 원에 작용하는 T 이중성에 해당하며, 문자열 장력의 역방향인 α \로 을 합니다
SYZ 추측은 이 아이디어를 6차원 칼라비의 더 복잡한 경우로 일반화한다.위의 그림과 같은 Yau 다지관입니다.토러스의 경우처럼 6차원 칼라비를 나눌 수 있다.Yau 다지관은 보다 단순한 조각으로, 이 경우 3구([11]구체의 3차원 일반화)에 의해 매개변수화된 3토리(토러스 개념을 일반화하는 3차원 객체)입니다.T-이중성은 원에서 이 분해에 나타나는 3차원 토리까지 확장할 수 있으며, SYZ 추측에 따르면 이들 3차원 [12]토리에 대한 T-이중성의 동시 적용과 동등하다.이와 같이 SYZ 추측은 칼라비에서 거울 대칭이 어떻게 작용하는지에 대한 기하학적 그림을 제공한다.야우 매니폴드
「 」를 참조해 주세요.
메모들
- ^ 사티아팔란 1987년
- ^ 세이버그 2006년
- ^ 사티아팔란 1987년끈 이론에서 발생하는 다른 이중성으로는 S-이중성, U-이중성, 거울 대칭성 및 AdS/CFT 대응성이 있습니다.
- ^ 이 비유는 Greene 2000, 186페이지에서 사용되고 있습니다.
- ^ 1995년 비튼.
- ^ Candelas et al.
- ^ Dixon 1988; Lerche, Vafa, and Warner 1989.
- ^ Zaslow 2008.
- ^ 스트로밍거, 야우, 자슬로 1996년.
- ^ Yau and Nadis 2010, 페이지 174.
- ^ 좀 더 정확히 말하면, 3구상의 모든 점에는 단일한 토리에 해당하는 특정 불량점을 제외한 3토루스가 관련되어 있습니다.Yau와 Nadis 2010, 페이지 176-7을 참조한다.
- ^ Yau and Nadis 2010, 페이지 178
레퍼런스
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