전자기 응력-에너지 텐서

상대론적 물리학에서 전자기 응력-에너지 텐서는 전자기장으로 인한 응력-에너지 텐서에 대한 기여입니다.^[1] 응력-에너지 텐서는 시공간에서 에너지와 운동량의 흐름을 설명합니다. 전자기 응력-에너지 텐서는 전자기 상호작용을 지배하는 고전적인 맥스웰 응력 텐서의 음의 값을 포함합니다.

정의.

SI 단위

자유 공간과 평평한 공간-시간에서 SI 단위의 전자기 응력-에너지 텐서는^[1]

T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.

여기서 $F^{\mu \nu }$ $F^{\mu \nu }$ ν {\ $displaystyle$ F^{\mu \n $u}}$ 은 전자기 텐서이며, $\eta _{\mu \nu }$ 서 $\eta _{\mu \nu }$ $η$ μ $ν$ ${\displaystyle$ \eta _{\mu \n $u}}$ 은 $\eta_{\mu\nu}$ 미터 부호(- + + +)의 민코프스키 미터 텐서입니다. 부호가 (+) - - -인 메트릭을 사용할 경우 등호의 오른쪽에 있는 식을 반대 부호로 사용합니다.

명시적으로 행렬 형식:

T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},

어디에

\mathbf {S} = {\frac {1} {\mu _{0}}\mathbf {E} \times \mathbf {B},

포인팅 벡터입니다

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}

는 맥스웰 응력 텐서이고 c는 빛의 속도입니다. 따라서 $T^{\mu \nu }$ ν ${\displaystyle$ T^{\mu \n $u}}$ 는 $T^{\mu\nu}$ SI 압력 단위(pascal)로 표현하고 측정합니다.

CGS 유닛 규칙

cgs-Gaussian 단위의 자유 공간의 유전율 및 자유 공간의 투과율은

\epsilon_{0}={\frac {1}{4\pi}},\quad \mu_{0}=4\pi \,

그러면:

T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.

명시적 행렬 형식:

T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}

포인팅 벡터의 위치:

\mathbf {S} = {\frac {c} {4\pi}}\mathbf {E} \times \mathbf {B}.

유전체 매질의 전자기장에 대한 응력-에너지 텐서는 잘 알려져 있지 않으며 해결되지 않은 아브라함-민코프스키 논쟁의 주제입니다.^[2]

$T^{\mu \nu }\!$ $T^{\mu \nu }\!$ 는 $T^{\mu \nu }\!$ ν ${\displaystyle$ T^{\mu \n응력-에너지 텐서의 $u}\!}$ 는 초평면 $P^{\mu }\!$ $x^{\nu }$ $ν$ ${\displaystyle$ x^{\n)을 통과하는 전자기장의 4모멘트인 $P^{\mu }\!$ μ $displaystyle$ P $^{\mu}\!}$ 의 μ-성분의 플럭스를 나타냅니다. $u}}$ 은 $x^{\nu}$ (는) 일정합니다. 그것은 일반 상대성 이론에서 중력장(공간-시간의 곡률)의 근원에 대한 전자기학의 기여를 나타냅니다.

대수적 성질

전자기 응력-에너지 텐서는 다음과 같은 몇 가지 대수적 성질을 가지고 있습니다.

대칭 텐서입니다. $T^{\mu \nu}=T^{\nu \mu}$
$T^{\nu }{}_{\alpha }$ T $T^{\nu }{}_{\alpha }$ ν α {\ $displaystyle$ T^{\n $u}{}_{\alpha}}$ 은 $T^{\nu}{}_{\alpha}$ (는) 추적할 수 없습니다. $T^{\alpha}{}_{\alpha}=0.$
증명
처음부터.
$T_{\mu }^{\mu } =\eta _{\mu \nu}T^{\mu \nu}$
텐서의 명시적인 형태를 사용하면
$T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]$
지수를 낮추고 η $\eta ^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }$ ν η $\eta ^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }$ ν $μ$ = μ {\displaystyle \eta^{\mu \n라는 사실을 사용합니다. $u }\eta _{\mu \n$ $u }=\delta _{\mu }^{\mu }}$
$T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]$
그런 다음 δ μ = 4 ${\$ displaystyle \delta _{\mu}^{\mu} = 4}를 사용하여,
$T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]$
첫 번째 항에서 μ와 α 그리고 단지 더미 지수이므로 각각 α와 β로 라벨을 붙입니다.
$T_{\alpha}^{\alpha}={\frac {1}{4\pi}}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0$
에너지 밀도는 양으로 정의됩니다. $T^{00}\geq 0$

텐서의 대칭성은 일반 상대성 이론에서 일반적인 응력-에너지 텐서와 같습니다. 에너지-운동량 텐서의 흔적은 로렌츠 스칼라입니다. 전자기장(특히 전자기파)은 로렌츠 불변 에너지 척도가 없으므로 에너지-운동량 텐서는 사라지는 흔적을 가져야 합니다. 이 추적 불가능성은 결국 광자의 질량 없는 것과 관련이 있습니다.^[3]

보존법칙

전자기 응력-에너지 텐서는 전자기학에서 선형 운동량과 에너지의 보존 법칙을 작성하는 컴팩트한 방법을 가능하게 합니다. 응력-에너지 텐서의 발산은 다음과 같습니다.

\partial _{\nu}T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,

$f_{\rho }$ 서 f $f_{\rho }$ ρ {\ $displaystyle$ f_{\rho}}는 물질에 대한 단위 부피당 (4D) 로렌츠 힘입니다.

이 식은 다음과 같은 3차원 보존 법칙에 해당합니다.

{\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em}}}}{\partial t}+\mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em}}} {\partial t}-\mathbf {\nabla} \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \좌측 화살표 \epsilon_{0}\mu_0}{\frac {\partial \mathbf {S}}{\partial t}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0\end {aligned}

각각 전자기 에너지 밀도의 플럭스를 설명하는

u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,

그리고 전자기량밀도

\mathbf {p} _{\mathrm {em} = {\mathbf {S} \over {c^{2}}

여기서 J는 전류 밀도이고, ρ는 전하 $\mathbf {f}$ 이며 $,$ f ${\displaystyle \mathbf$ {f}는 로렌츠 힘 밀도입니다.

참고 항목

참고문헌

^ ^a ^b 중력, J.A. 휠러 씨. 미스너, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
^ 하지만 파이퍼 등, 모드 목사님을 참조하세요. 물리학 79,1197 (2007)
^ Garg, Anupam. Nutshell에서의 고전적 전자기학, p. 564 (Princeton University Press, 2012).

[WheelerEtAl-1] 중력, J.A. 휠러 씨. 미스너, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[2] 하지만 파이퍼 등, 모드 목사님을 참조하세요. 물리학 79,1197 (2007)

[3] Garg, Anupam. Nutshell에서의 고전적 전자기학, p. 564 (Princeton University Press, 2012).

[1]

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