체르-시몬스 양식

수학에서 체르-시몬스 양식은 특정한 이차적 특성계급이다.^[1] 이 이론은 1974년 "특징 형식과 기하학적 불변론"이라는 제목의 논문의 공동저자인 시잉-센 체르노와 제임스 해리스 시몬스의 이름을 따서 명명되었다.^[2]

정의

다지관과 리 대수학(Lie 대수학)이 1-form, A ${\$를) 그 위에$$ 놓고 평가한 경우, p-forms 계열을 정의할 수 있다.^[3]

한 차원에서는 체르-시몬스 1형식이 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {Tr} [\mathbf {A}].}$

3차원에서는 체르-시몬스 3형식이 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]=\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}$

5차원에서는 체르-시몬스 5형식이 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\\[6pt]={}&\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{2}}d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{5}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\end{aligned}}}$

여기서 곡률 F는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$

일반 체르온-시몬스 형태는 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2k}}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$가 정의된다$$.

${\displaystyle d\omega _{2k-1}=\operatorname {Tr}(F^{k}),}$

쐐기 제품이 F를^k 정의하는 데 사용되는 위치. 이 방정식의 오른쪽은 연결 $A{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {A}}$의 k-th Chener 문자에 비례한다$.$

일반적으로 체르-시몬스 p 형식은 홀수 p에 대해 정의된다.^[4]

물리학에 적용

1978년 알버트 슈워츠는 체르-시몬스 형태를 이용하여 초기 위상학적 양자장 이론인 체르-시몬스 이론을 공식화했다.^[5]

게이지 이론에서 체르-시몬스 형태의 적분은 전지구적 기하학적 불변성 물질이며, 일반적으로 게이지 불변성 모듈로 정수를 더한 것이다.

참고 항목

• 체르-윌 동형성
• 치랄 변칙
• 위상 양자장 이론
• 존스 다항식

참조

추가 읽기

• Chern, S.-S.; Simons, J. (1974). "Characteristic forms and geometric invariants". Annals of Mathematics. Second Series. 99 (1): 48–69. doi:10.2307/1971013. JSTOR 1971013.
• Bertlmann, Reinhold A. (2001). "Chern–Simons form, homotopy operator and anomaly". Anomalies in Quantum Field Theory (Revised ed.). Clarendon Press. pp. 321–341. ISBN 0-19-850762-3.