수직 및 수평 번들

Vertical and horizontal bundles

수학에서 수직다발수평다발은 매끄러운 섬유다발접선다발의 2개의 서브번들로 섬유다발의 각 지점에서 보완적인 서브스페이스를 형성한다.수직 번들은 섬유에 접하는 모든 벡터로 구성되는 반면, 수평 번들은 수직 번들을 보완하는 접선 번들의 하위 번들의 특정한 선택이다.

더 정확히 말하면, : : EM매끄러운 다지관 M 위에 있는 부드러운 섬유 다발이고, e ∈(e) = xM이 있는 e수직 공간 VE는e e를 포함하는 E 섬유x 대한 접선 공간 Te(Ex)이다.즉 VEe = Te(Eπ(e))이다.그러므로 수직 공간은 TE의e 벡터 하위 공간이다.수평 공간 HE는e TE가e VE와e HE의e 직접 합이 되는 TE의e 하위 공간의 선택이다.

E에서 각 e에 대한 수직 공간 VE의e 분리 결합은 TE의 하위 분절 VE이다. 이것은 E의 수직 결합이다. 마찬가지로 수평 다발은 수평 하위 공간 HE의e 분리 결합이다.이 정의에서 "the"와 "a"라는 단어의 사용은 매우 중요하다: 수직 서브공간은 고유하며, 그것은 오직 진동으로 결정된다.이와는 대조적으로, 직접 합을 형성할 때 선택할 수 있는 수평 하위 영역의 수가 무한하다.

수평 묶음 개념은 섬유 묶음에 대한 에레스만 연결 개념을 공식화하는 한 방법이다.따라서 예를 들어, E가 주 G 번들일 경우 수평 번들은 일반적으로 G-invariant가 되어야 한다. 그러한 선택은 주 번들의 연결 정의와 동등해진다.[1]G-invariant 수평다발과 연결의 선택은 동일하다.E프레임 번들일 경우, 즉 다지관의 접선 공간에 대한 모든 프레임의 집합인 경우, 구조 그룹 G = GLn 각 섬유에 자유롭고 트랜스적으로 작용하며, 수평 번들의 선택은 프레임 번들에 연결을 제공한다.

형식 정의

π:EM매끄러운 다지관 M 에 매끄러운 섬유 묶음으로 두십시오.수직 번들은 접선 지도 dπ : TE → TM의 커널 VE := ker(dπ)이다.[2]

dπ는e 각 지점 e에서 허탈적이므로, TE의 규칙적인 하위 번들을 산출한다.더욱이 수직 묶음 VE도 통합이 가능하다.

EEhresmann 연결은 TE에서 VE에 대한 보완 하위 번들 HE의 선택이며, 연결의 수평 번들이라 불린다.E의 각 에서 두 개의 하위공간은 직접적인 을 형성하며, 예를 들어e TE = VEe hee HE이다.

매끄러운 섬유 묶음의 간단한 예는 두 개의 다지관으로 이루어진 데카르트 제품이다.번들 투영 pr1 : (M1 × N, pr1) B := (M × N → M : (x, y) → x를 고려한다. 수직 번들을 찾기 위해 위 단락의 정의를 적용하면 먼저 M × N의 점(m,n)을 고려한다.그러면 pr1 밑에 있는 이 점의 이미지는 m이다.이 같은 pr1 아래 m의 premage는 {m} × N이므로 T(m,n)({m} × N) = {m} × TN이다.그러면 수직 번들은 VB1 = M × TN으로, T(M ×N)의 하위 번들이다.다른 투영 pr2 : M × N → N : (x, y) → y를 취하여 섬유 번들 B2 := (M × N, pr2)를 정의하면 수직 번들은 VB2 = TM × N이 된다.

두 경우 모두, 제품 구조는 수평 묶음을 자연스럽게 선택할 수 있고, 따라서 Ehresmann 연결: B1 수평 묶음은 B2 수직 묶음이고, 그 반대의 경우도 마찬가지다.

특성.

차등 기하학에서 나오는 다양한 중요한 텐셔너차등 형태는 수직과 수평의 번들에 특정한 속성을 띠거나 심지어 그것들의 관점에서 정의될 수도 있다.이들 중 일부는 다음과 같다.

  • 수직 벡터장은 수직 번들에 있는 벡터 필드다.즉, E의 각 지점 E에 대해 v v {\를 선택하고 여기서 = ( E ( ){\e의 수직 벡터 공간이다.[2]
  • A differentiable r-form on E is said to be a horizontal form if whenever at least one of the vectors is vertical.
  • 연결 양식은 수평 번들에서 사라지며 수직 번들에서만 0이 아니다.이러한 방식으로 연결 양식을 사용하여 수평 번들을 정의할 수 있다.수평 번들은 연결 형태의 커널이다.
  • 땜납 형태 또는 tautological one-form은 수직 묶음에서 사라지며 수평 묶음에서만 0이 아니다.정의에 따르면, 솔더 형태는 그것의 값을 수평 묶음에서 완전히 취한다.
  • 프레임 묶음의 경우, 비틀림 형태가 수직 묶음에서 사라지며, 임의 연결에 추가해야 하는 부분을 정확히 정의하여 Levi-Civita 연결로, 즉, 비 비틀림 연결을 만들 수 있다.실제로 땜납 형태에 대해 θ을 쓴다면 = = D θ(외부 공변량 파생상품)에 의해 비틀림 텐서 θ이 주어진다.임의의 주어진 연결 Ω에 대해, 수직 번들에서 소멸되는, Contorsion tensor라고 불리는, TE에는 Ω+σ라고 하는 고유한 단일 형태 σ이 있으며, 그러한 Ω+σ은 비틀림 없는 또 다른 연결 1 형태인 것이다.그 결과 Ω+σ은 레비-시비타 연결에 지나지 않는다.One can take this as a definition: since the torsion is given by , the vanishing of the torsion is equivalent to having , and it is not hard to show that σ must vanish on 수직 번들 및 그 σ은 각 섬유에 G-invariant여야 한다(더 정확히 말하면, σ은 G부선 표현에서 변형된다).이것은 어떠한 메트릭 텐서(metric tensor)를 명시적으로 참조하지 않고 Levi-Civita 연결을 정의한다는 점에 유의하십시오(메트릭 텐서는 기본 공간의 접선 번들과 등선 번들, 즉 프레임 b의 수평 및 수직 하위 공간 사이의 매핑을 설정하므로 솔더 형태의 특별한 경우라고 이해할 수 있지만).털을 풀다
  • E가 주된 번들인 경우, 기본 벡터 장은 반드시 수직 번들 안에 살고, 어떤 수평 번들에서도 사라져야 한다.

메모들

  1. ^ 데이비드 블레커, 게이지 이론과 변동 원리(1981) 애디슨 웨슬리 출판사 ISBN0-201-10096-7(정리 1.2.4 참조)
  2. ^ a b Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural Operations in Differential Geometry (PDF), Springer-Verlag (77페이지)

참조