부피요소

수학에서 체적 요소는 구형 좌표와 원통 좌표와 같은 다양한 좌표계의 체적과 관련하여 함수를 통합하는 수단을 제공한다. 따라서 볼륨 요소는 폼의 표현이다.

${\displaystyle dV=\rho(u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}}}$

여기서 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 좌표로서$$, 모든 $세트{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$의 볼륨을 다음과 같이 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle \operatorname {Volume}=\int _{B}\rho(u_{1}u_{2},u_{3}\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.}$

For example, in spherical coordinates ${\displaystyle dV=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}}$, and so ${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$.

볼륨 요소의 개념은 3차원으로 한정되지 않는다: 2차원에서 영역 요소라고 알려져 있으며, 이 설정에서는 표면 통합을 수행하는 데 유용하다. 좌표 변화에서 볼륨 요소는 좌표 변환의 자코비안 결정인자의 절대값(변수 공식의 변경에 의해)에 의해 변화한다. 이 사실은 체적 요소를 다지관의 측정의 한 종류로 정의할 수 있게 한다. 방향성을 달리할 수 있는 다지관에서 체적 요소는 일반적으로 체적 형태인 상등도 차동 형태에서 발생한다. 방향성이 없는 다지관에서는 일반적으로 볼륨 요소는 (로컬하게 정의된) 볼륨 형태의 절대값이다. 즉, 1-밀도를 정의한다.

유클리드 공간의 체적 요소

유클리드 공간에서 체적 요소는 데카르트 좌표의 차등 산물에 의해 주어진다.

$dV=dx\,dy\,dz.}$

In different coordinate systems of the form ${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$, ${\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}$, ${\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$, the volume element changes by the Jacobian (dete좌표 변경의 최소치):

${\displaystyle dV=\왼쪽 {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3}}}}}}}}\오른쪽 \,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.}$

예를 들어 구면 좌표(수학적 관례)에서

${\displaystyle {\pi1}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \cos \phi \ended}}}}$

제이콥의 결정인자는

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {\frac(x,y,z)}{\data,\phi )}{\data =\rho ^{2}\sin \phi }}}$

하도록

${\displaystyle dV=\rho ^{2}\sin \phi \phi \,d\rho \,d\theta \,d\\phi .}$

이는 풀백 $∗{\$를 통해$$ 차동형태가 변형되는 특수한 경우로 볼 수 있다.

${\displaystyle F^{*}{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n}=(u\circF)\det \lefrac({\partial F^{j}}{partial x^{i}}}}\rig)dx^{1}\cdcdcdcdots \cdcdcdcdcdcdots{1}{1}{1}{1}$

선형 하위 공간의 볼륨 요소

선형 독립 벡터 집합에 의해 확장되는 n차원 유클리드 공간 R의ⁿ 선형 아공간을 고려한다.

${\displaystyle X_{1},\dots,X_{k}.}$

서브 스페이스의 볼륨 요소를 찾으려면, ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 의해 확장된 병렬 처리된 볼륨이 X $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 그래미안 매트릭스 결정요인의 제곱근이라는$$ 사실을 선형대수학으로부터 아는 것이 유용하다$.$

${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}.}$

하위 공간의 임의 지점 p는 다음과 같이 좌표$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ , …${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ )${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})$를 지정할 수 있다.

${\displaystyle p=u_{1}X_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$

p 지점 d ${\displaystyle u_{}}$ u$${\$displaystyle du_{i$과(와) 약간 평행한 형태를 이룬다면, 그 평행한 부피는 그래미안 행렬의 결정 인자의 제곱근이다.

${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;du_{1}\,du_{2}\,\cdots \,du_{k}.}$

따라서 선형 하위 공간의 볼륨 형식을 정의한다.

다지관의 체적 요소

차원 n의 방향 리만 다지관에서 볼륨 요소는 단위 상수함수의 호지 듀얼과 동일한 볼륨 형태, ${\displaystyle \mathrm{f}}$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle f(x)=1$

$\displaystyle \omega =\star 1.}$

$마찬가지$로, 볼륨 요소는 정확하게 Levi-Civita 텐서 { ${\displaystyle \epsilon }.$^[1]좌표에서,

${\displaystyle \omega =\epsilon = {\sqrt {\det g}\,dx^{1}\cdots \cdots \cdx^{n}}}$

여기서 ${\displaystyle det}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \det g}$은 좌표계에 기록된 메트릭 텐서 g의 결정 요인이다.

지표면의 면적 요소

부피 원소의 간단한 예는 n차원 유클리드 공간에 내장된 2차원 표면을 고려함으로써 탐구할 수 있다. 그런 부피 원소를 영역 원소라고 부르기도 한다. 부분 집합 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}} 및$$ 매핑 함수를 고려하십시오.

${\displaystyle \varphi :U\to \mathb{R} ^{n}}}$

따라서 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 포함된 표면을 정의한다$.$ 2차원에서 부피는 단지 면적일 뿐이며, 부피 요소는 표면의 일부 영역을 결정하는 방법을 제공한다. 따라서 볼륨 요소는 폼의 표현이다.

${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,du_{1}\,du_{2}}:$

그것은 일체형을 계산하여 표면에 놓여있는 B세트의 면적을 계산할 수 있게 한다.

${\displaystyle \operatorname {Area}(B)=\int_{B}f(u_{1}u_{2}\,du_{2}.}$

여기서 우리는 일반적인 의미에서 영역을 정의하는 표면에서 부피 원소를 찾을 것이다. Jacobian 매트릭스의 지도는

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\barphi _{i}}{\proper u_{j}}}}}}}}}}}$

인덱스 i는 1에서 n으로, j는 1에서 2로 실행한다. n차원 공간의 유클리드 메트릭은 매트릭스 요소를 포함한 메트릭 g = $g{\displaystyle }$T ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle g=\lambda ^{T}\lambda }$을(를) 설정 U에 유도한다.

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\n}\{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac \varphi _{k}}{k}}}{k}}}{k}}}}}{k\frappi _{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

측정지표의 결정요인은 다음과 같다.

${\displaystyle \det g=\왼쪽 {\frac {\partial u_{1}}\partial u_{1}}\partial \varphi {}\partial u_{2}}}\right ^{2}=\lambda ^{T}\lambda )}}$

일반 표면의 경우, 이 결정 인자는 비반복적이다. 동등하게, 자코비안 행렬은 2위를 가진다.

이제 U에 대한 좌표 변화를 고려해 보십시오. 차이점형성에 의해 주어지는 것.

$U\to U.}$

so that the coordinates ${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$ are given in terms of ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ by ${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$. 이 변혁의 자코비안 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}.}$

새로운 좌표에는

${\displaystyle {\frac{\fract v_{j}}}=\sum _{k=1}{k=1}^{2}{\frac {\frac{\parphi _{i}}}{\frac {\flaffict u_{k}}}{\frc}}{\frava v_{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그래서 미터법은 다음과 같이 변환된다.

${\displaystyle {\tild}}=F^{T}gF}$

여기서 $g{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$은(는) v 좌표계의 풀백 메트릭이다$$. 결정요인은

${\displaystyle \det{g}=\det g\left(\det F\right)^{2}.$

위의 구성을 고려할 때, 이제 방향 유지 좌표 변화 하에서 볼륨 요소가 불변하는 방법을 이해하는 것이 간단해야 한다.

2차원에서는 부피가 면적일 뿐이다. 부분 집합 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B\subset U}$의 영역은 적분자에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}\;du_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left \det F\right \;dv_{1}\;dv_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}\;dv_{2}.\end{정렬}}}$

따라서 두 좌표계 중 하나에서 볼륨 요소는 동일한 식을 취한다. 즉, 볼륨 요소의 식은 좌표 변화 하에서 불변한다.

위의 프레젠테이션에서는 두 가지 차원에 대해 특별히 언급된 것이 없다는 점에 유의하십시오. 위의 내용은 사소한 경우 임의 차원에 대해 일반화된다.

예제: 구면

예를 들어, R의³ 원점을 중심으로 반지름 r이 있는 구를 고려한다. 지도와 함께 구형 좌표를 사용하여 파라메트리할 수 있음

${\displaystyle \phi(u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1},r\cos u_{2}).}$

그러면

${\displaystyle g={\pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{0\\\0&r^{2}\end{pmatrix},}$

그리고 면적 요소는

${\displaystyle \jqrt {\det g}\\du_{1}du_{1}{1}du_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,du_{1}du_{2}.}$

참고 항목

• 원통 좌표계#선 및 볼륨 요소
• 구형 좌표계#구형 좌표에서의 통합 및 분화
• 표면 적분
• 부피 적분

참조

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8