꼬인 K이론

수학에서 꼬인 K-이론(국소계수를^[1] 가진 K-이론이라고도 함)은 K-이론에 대한 변화로, 대수 위상, 추상 대수학, 연산자 이론에 걸쳐 있는 1950년대 수학 이론이다.

구체적으로는 트위스트 H가 있는 트위스트 K 이론은 K 이론의 특별한 변형으로, 트위스트는 일체형 3차원 코호몰로지 클래스에 의해 주어진다. 케이이론이 인정하는 여러 가지 우여곡절 가운데 특별한 이유는 두 가지다. 첫째, 기하학적 제형을 인정한다. 이것은 두 단계로 제공되었다; 첫 번째 것은 1970년에 이루어졌다. 수학. de l'IHES)의 피터 도노반과 막스 카루비, 1988년 조나단 로젠버그가 '다발 이론적 관점'에서 '연속 추적 알제브라스'의 두 번째 작품.

물리학에서는 D-branes, Ramond-Ramond의 장력을 분류하는 것이 추측되어 왔으며, 어떤 경우에는 제2종 끈 이론에서 스피너까지 분류하였다. 문자열 이론의 꼬인 K 이론에 대한 자세한 내용은 K 이론(물리학)을 참조하십시오.

K-이론의 보다 넓은 맥락에서 각 과목에서 그것은 수많은 이형성 제형을 가지고 있으며, 많은 경우 다양한 과목의 정의와 관련된 이형성들이 입증되었다. 그것은 또한 수많은 변형을 가지고 있는데, 예를 들어 추상 대수학에서 K 이론은 어떤 일체형 코호몰로지 등급에 의해서도 뒤틀릴 수 있다.

정의

로젠버그의 왜곡된 K 이론의 기하학적 제형에 동기를 부여하기 위해, 아티야-에서 출발한다.라고 말하는 예니히 정리.

${\displaystyle Fred({\mathcal{H}),}$

힐버트 공간 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 있는 프레드홀름 연산자는 일반적이고 비지속적인 K-이론을 위한 분류 공간이다$.$ 이는 공간 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 K-이론이 지도 호모토피 클래스로 구성됨을$$ 의미한다.

${\displaystyle [M\오른쪽 화살표 Fred({\mathcal{H}})]}$

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle d(H}$)까지${\displaystyle .}$ ${\displaystyle Fred({\mathcal {H})$까지.$}$

같은 말을 조금 더 복잡하게 하는 방법은 다음과 같다. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$ 위에$$ 있는 $F{\displaystyle }$ r ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle d(H}$) ${\displaystyle Fred({\mathcal {H})$의 사소한 번들, 즉 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 및$$ $){\displaystysty Fred({\mathcal {H})$를 고려하십시오$.$ 그러면 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 K-이론은 이 번들 섹션의 호모토피 클래스로 구성된다$$.

우리는 사소한 것을 도입함으로써 이것을 더 복잡하게 만들 수 있다.

${\displaystyle PU({\mathcal{H}})}$

${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ M${\displaystyle \}}$ 위에$$P $\{\backslash$${\displaystyle displaystyle\mathcal{}}$ PU} $번들$ P ${\$$displaystyle PU({\$mathcal {H})는$$Hilbert 공간 H ${\$에 대한 투영적 단일 연산자 그룹이다$.$ 그런 다음 지도$$ 그룹

${\displaystyle [P\오른쪽 화살표 Fred({\mathcal{H}})]_{PU({\mathcal{H}})}}}}$

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$( $){\displaystyle$ P$}$에서 F $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle d}$ ($){\displaystyle Fred({\mathcal {H})$까지 동작에 따라 등가성이 되는$$ P ${\$displaystyle $PU({\mathcal {H})}$는 원래 맵 그룹과 동일하다$$.

${\displaystyle [M\오른쪽 화살표 Fred({\mathcal{H})].}$

이렇게 더 복잡한 일반 K 이론의 시공은 꼬인 경우로 자연스럽게 일반화된다. To see this, note that ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$ bundles on ${\displaystyle M}$ are classified by elements ${\displaystyle H}$ of the third integral cohomology group of ${\displaystyle M}$. This is a consequence of the fact that ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$ topologically는 대표적인 Eilenberg-MacLane 공간이다.

${\displaystyle K}$( ${\displaystyle Z\mathbf{}}$, ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle K(\mathbf {Z},3)}$.

그렇다면 일반화는 간단하다. 로젠버그는 정의했다.

${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle K_{H}(M$

the twisted K-theory of ${\displaystyle M}$ with twist given by the 3-class ${\displaystyle H}$, to be the space of homotopy classes of sections of the trivial ${\displaystyle Fred({\mathcal {H}})}$ bundle over ${\displaystyle M}$ that are covariant with respect to a ${\displaystyle$$PU({\mathcal{H})}$다발$$ ${\displaystyle P_{}}$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 3등급 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H$와 $함께{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$ 위로 섬유$$ 처리된 PU({\mathcal {H}).

${\displaystyle K_{H}(M)=[P_{H}\오른쪽 화살표 Fred({\mathcal {H})]_{{{}}}}{{{}}}}}PU({\mathcal {H}}).}$

동등하게, $클래스{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$가$$${\displaystyle 있는\mathcal{}}$ P ${\displaystyle U}$( H ) {\$displaystyle$ Fred $({\$$mathcal{H})}$ 번들에$$ 연결된 $Fr$${\displaystyle H\mathcal{}}$$$) {\$displaystyle PU({\mathcal {H})}$ 번들의$$ 섹션 호모토피 클래스 공간이다$.$

그것은 무엇일까요?

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 하찮은 계급일$$ 때 꼬인 K이론은 그저 미개척 K이론일 뿐인데, 이것은 고리인 것이다. 그러나 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 비교가$$ 되지 않을 때 이 이론은 더 이상 링이 아니다. 덧셈이 있지만 더 이상 곱셈으로 닫히지 않는다.

그러나 $가능$한 모든 반전이 있는$$ M ${\displaystyle M}$의 꼬인 K-이론을 직접 합한 것은 고리다. 특히 트위스트 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $H$$}$이(가) 있는 K-이론 원소의 제품은 $H{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이$($가) 꼬인 K-이론의 원소다$$. 이 요소는 프레드홀름 연산자의 부호를 사용하여 위의 정의에서 직접 구성할 수 있으며, 그 중에서 특정한 2 x 2 행렬을 구성할 수 있다(참고문헌 1 참조, 여기서 보다 자연스럽고 일반적인 Z/2-grad 버전이 제시된다). 특히 꼬인 K 이론은 고전 K 이론보다 모듈이다.

계산방법

물리학자는 일반적으로 아티야-히르제브루흐 스펙트럼 시퀀스를 사용하여 꼬인 K 이론을 계산하고자 한다.^[2] 꼬인 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 또는$$ 꼬인 K ${\$을 계산하고 싶은지에 따라 홀수 일체형 코호몰로지 전부 또는 전체에서 시작하여 일련의 미분산 연산자와 관련하여 코호몰리를 취한다는 생각이다$.$ 예를 들어$$첫 ${\displaystyle {번째\mathrm{}}_{}}$ 연산자인 $d{\displaystyle {}_{}}$ 3 ${\$는 3등급 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 합인데$,$^[3] 끈 이론에서는 네베우-슈워즈 3형식과 세 번째 스테엔로드 사각형에 해당하므로

${\displaystyle d_{3}^{p,q}=Sq^{3}+H}$

몇 가지 추측 양식이 존재하지만 다음 연산자를 위한 기본 양식인 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 발견되지 않았다$.$ 상위 연산자는 비판적 슈퍼스트링 이론에 대한 관심 차원인 10-매니폴드의 $이론$인 K ${\displaystyle K}$에 기여하지 않는다. 마이클 아티야와 그래미 시걸은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 Massey 제품들로 모든 차등들이 줄어든다는 것을 보여주었다$.$^[4]

미분류의 전체 시리즈에 대해 코호몰리를 취하면 트위스트 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ -이론을$$ 집합으로 얻지만 전체 그룹 구조를 얻기 위해서는 일반적으로 확장 문제를 해결해야 한다.

예: 3-sphere

3-sphere, $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$은$($는) 정수에 이형인$$ $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$( S ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle H^{0}(S^{3})$과 ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$) ${\displaysty H^{3}(S^{3})}}}$을 제외한 사소한 동역학을 가지고 있다. 따라서 짝수 및 홀수 코호몰로지 모두 정수에 이형성이다. 3-sphere는 5보다 작은 3차원이기 때문에, 3번째 Steenrod 사각형은 그 동족학상 사소한 것이므로 첫 번째 비동차차는 d ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle d_{5}=H}$에 불과하다$.$ 이후의 차이는 코호몰로지 클래스의 정도를 3개 이상 증가시키므로 다시 말하면 사소한 것이므로 $꼬인{\displaystyle }$ K$${\$displaystyle$K} -이론은$$ 3종 $H{\displaystyle }$ ${\$ $연산자$의 코호몰로지일 뿐이며$$, ${\displaystyle {3종\mathrm{}}_{}}$ H ${\displaystyle H}$와 함께 주입하여 클래스에 작용한다$.$

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 사소한 클래스, 0이라고 상상해 보십시오. 그렇다면 d ${\$도 사소한 것이다$$. 따라서 그것의 전체 도메인은 그것의 커널이며, 그것의 이미지에는 아무것도 없다. 따라서 $K{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle H_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$) ${\디스플레이$ 스타일 $K_{$$H}^{0}(S^{3})$는 짝수 코호몰로지(even cohomology)에서 d$$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 알맹이로, 정수로 구성된 완전 짝수 코호몰로지(full even cohomology)이다$$. 유사하게 $K{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle H_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$) ${\디스플레이$ 스타일 $K_{$$H}^{1}(S^{3})}$는 ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ 3$${\$displaystyle d_{3}$의 이미지에 의해 지수화된 홀수 코호몰로지 인수로 구성되며$,$ 즉, 사소한 그룹이 지수화한 것이다. 이것은 원래의 이상한 코호몰리지를 남긴다. 그것은 다시 정수다. 결론적으로 사소한 반전이 있는 3-sphere의 K$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $K$$^{0}$과 K ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ K$^{1}$은 모두 정수에 이형이다. 예상한 대로, $이것$은 지지되지 않은 K ${\displaystyle K}$ -이론과$$ 일치한다.

$이제{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$이(가) 비교 대상이 아닌$$ 경우를 생각해 보십시오. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$은 정수에 이형인 세 번째 적분 코호몰로지 요소로 정의된다. 따라서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은 숫자에 해당하며$$, 우리는 $n$을 n ${\displaystyle$ n$}$이라고 부르겠다$.$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$ $d_$${3}$ 이제$$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$$}$의 $원소{\displaystyle }$ m$${\$displaystyle$ $nm$$\}$을 $nm$으로 산출한다$.$$ystyle n}$은(는$)$ 가정으로 0과 같지 않으며, d $3{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$ d_${3}$의 커널의 유일한 요소는 0 원소로서$$ K ${\displaystyle H_{}^{}}$= ${\displaystyle n_{}^{}}$ 0(${\displaystyle {}_{}^{}{3\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$= $(\displaystyle K_{{}$$H{\displaystyle }$$=n}^{0}(S^{3}=0}).$$d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 이미지는 n ${\displaystyle n}$의 배수인 정수의 모든 요소로 구성되어$$ 있다$.$ $따라서{\displaystyle }$$$d $3{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ n ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$displaystyle $d_$${\displaystyle 3}$$},$ n Z {\$displaystyle$ $n$$},$ Z${\displaystyle }$/ n ${\displaystyle \mathb$ ${Z}$의 이미지에 의해 인용된 $이상$한 코호몰로지 Z ${\$${Z} /n}$의 순환 그룹이다$.$

${\displaystyle K_{H=n}^{1}(S^{3})=\mathb {Z} /n}$

문자열 이론에서 이 결과는 $레벨{\displaystyle }$ $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}${\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $H$${\displaystyle \}}$ -flux의$$ $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ H$}$ -flux의 n$$ {\$displaystyle SU($2$)$ WZW$$ 모델의 대칭 경계 조건 집합에 해당하는 $3-sphere의 D-brane$의 분류를 재현한다$.$

이 계산은 SU(3)의 그룹 다지관으로 확장된다.^[5] 이 경우 Steenrod 사각형 용어($d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 연산자 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 확장 문제는 비교가 안 된다.

참고 항목

• K-이론(물리학)
• 베스-주미노-위튼 모형
• 번들 게르베

메모들

참조

• 피터 도노반과 막스 카루비(Max Karubi)가 쓴 "그라운드된 브루어 그룹과 국부 계수를 가진 K 이론"이다. 퍼블리크. 수학. IHES 38, 페이지 5–25(1970).
• 후안 몰다세나, 그레고리 무어, 네이선 세이버그의 D-브레인 인스턴스와 K-이론 혐의
• Michael Atiyah와 Graeme Segal의 K 이론과 코호몰로지 왜곡
• 피터 부크네gt, 앨런 캐리, 바르게세 마타이, 마이클 머레이, 대니 스티븐슨이 쓴 K-이론과 번들 게르베의 K-이론.
• K-이론 꼬임, 구식 및 신식

외부 링크

• 2002년 마이클 아티야 강연 "K-이론과 물리학"
• Verlinde 대수학은 뒤틀린 등거리 K-이론(PDF)
• Rieman-Roch 및 Index formulae in twist K-tory(PDF)