루프 대수

수학에서 루프 알헤브라는 이론 물리학에 특히 관심이 있는 특정한 종류의 리 알헤브라스다.

정의

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) Lie 대수인 경우, C^∞(S¹)와$$ $함께{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$의 텐서 곱인 경우, (복잡한) 원 다지관¹ S(특정 기간의 동일하고 매끄러운 복잡한 주기 함수)에 대한 대수,

${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{S\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathfrak {g}\otimes$ C$^{\inflit }}(S^{1$

무한 차원 Lie 대수학이며, Lie Bracket은 다음과 같다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$g ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$, g ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ f ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$},$g_{2$}]\$otimes f_{1}f_{2$

여기서 g와₁ g는₂ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 원소, f와₁ f는₂ C^∞(S¹)의 원소다.

이것은 부드러움 제한 때문에 S의¹ 각 포인트마다 하나씩 있는$$$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 무한히 많은 복사본의 직접 생산에 해당하는 것은 아니다. 그 대신, S에서¹ $g$까지 매끄러운 지도,$$즉 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$$즉 g ${\$의 매끄러운 파라메트리화 루프를 생각할 수 있다. 이것이 루프 대수라고 불리는 이유다.

루프 그룹

마찬가지로, S에서¹ Lie 그룹 G까지의 모든 매끄러운 지도 집합은 루프 그룹이라고 불리는 무한 차원 Lie 그룹(Lie group, 우리가 그것 위에 기능적 파생상품을 정의할 수 있다는 의미에서 Lie group)을 형성한다. 루프 그룹의 Lie 대수학은 해당 루프 대수다.

푸리에 변환

우리는 이 루프 대수에서 푸리에 변환을 정의할 수 있다.

${\displaystyle g\otimes t^{n}}$

로서

${\displaystyle g\otimes e^{-in\ma}}}$

어디에,

0 ≤ σ <2π

S의¹ 코디네이션이다.

적용들

만약 g가 반이행 리 대수라면, 그것의 루프 대수의 비교 중심적 확장은 아핀 리 대수학을 발생시킨다.

참조

• Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X