기븐스호킹요크 경계항

일반 상대성 이론에서 기븐 부부는호킹요크 경계항은 아인슈타인에 추가되어야 하는 용어이다.힐베르트 작용은 기초 시공간 다양체에 경계가 있을 때 작용한다.

아인슈타인-힐베르트 작용은 일반 상대성 이론의 장 방정식을 정의할 수 있는 가장 기본적인 변동 원리의 기초이다.하지만 아인슈타인의 사용은...힐베르트 작용은 기초 시공간 ${\mathcal {M}}$ M(\ $displaystyle\mathcal {M})$ 이 ${\mathcal {M}}$ 닫혀 있는 경우(즉, 콤팩트하고 경계가 없는 매니폴드)에만 적절하다.매니폴드에 경계 $\partial {\mathcal {M}}$ M $(\$ 이 있는 경우 변동원리가 명확하게 정의되도록 경계항으로 작용이 보완되어야 한다.

이러한 경계 용어의 필요성은 요크에 의해 처음 인식되었고 이후 기븐스와 호킹에 의해 사소한 방법으로 개선되었다.

매니폴드가 닫히지 않은 경우 적절한 조치는 다음과 같습니다.

{{displaystyle {mathcal {S}_{\mathrm {EH}}+{\mathrm {GHY}}=sq frac {1}{16\pi }}}\int _{\mathcal {M}}\mathrm {d}^{4}x,{\mathrrt {g-}{1}}{1}{AC}{1}{1}

${\mathcal {S}}_{\mathrm {EH} }$ 서 ${\mathcal {S}}_{\mathrm {EH} }$ H $(\displaystyle\mathcal {S})_{\$ mathrm { $EH}}$ 는 $\mathcal{S}_\mathrm{EH}$ 아인슈타인이다.힐버트 작용, ${\mathcal {S}}_{\mathrm {GHY} }$ G ${\mathcal {S}}_{\mathrm {GHY} }$ ({ $displaystyle {S}}_{\mathrm {GHY}}})$ 는 $\mathcal{S}_\mathrm{GHY}$ 기븐족이다.호킹York 경계 $h_{ab}$ $h_{ab}$ a $h_{ab}$ { $display style$ h _ { $ab$ }는 경계상의 유도 메트릭(정의에 대한 섹션 참조 $),$ $h$ { $displaystyle$ h $}$ 의 $,$ K { $displaystyle$ K $}$ 는 $K$ 두 번째 기본 형식의 트레이스이며, $§$ { $displaystyle$ \ $epsilon }$ 은 $\epsilon$ + $+1$ 과 같습니다. 여기서 normal t는 + $1$ 입니다 $+1$ .o $\partial {\mathcal {M}}$ M \ $displaystyle$ \ $partial$ { $M$ } $-1$ 1 $-1$ 。 $-1$ 서 $-1$ 노멀 to $\partial {\mathcal {M}}$ M $\partial {\mathcal {M}}$ \ $displaystyle$ \ $partial$ \ $mathcal$ { $M$ $\partial {\mathcal {M}}$ }은 $\partial {\mathcal {M}}$ $y^{a}$ 시간 $\partial {\mathcal {M}}$ 모양이고 $y는$ 경계상의 좌표입니다 $.$ $g_{\alpha \beta }$ $g_{\alpha \beta }$ $g_{\alpha \beta }$ β {\ $displaystyle g_{\alpha \beta$ 에 대한 작용 변화(조건에 따라 다름)

{\displaystyle\alpha\display}{\big }_{\display\mathcal {M}}=0,}

는 아인슈타인 방정식을 제공합니다. 경계 항을 추가하면 변동을 수행할 때 가로 $h_{ab}$ h $(\$ 로 $h_{{ab}}$ 인코딩된 경계의 형상이 고정됨을 의미합니다(아래 섹션 참조).유도 $h_{ab}$ $h_{ab}$ 의 임의의 기능 $(\$ 까지 액션에는 애매한 점이 있습니다.

중력의 경우 경계항이 필요한 것은 중력 라그랑주 밀도인R {\ $displaystyle$ R $R$ 에 미터법 텐서의 2차 도함수가 포함되어 있기 $R$ 이다.이것은 라그랑지안이라는 관점에서 공식화된 필드 이론의 비일반적인 특징이며, 라그랑지안들은 오직 변화해야 할 필드의 첫 번째 도함수를 포함한다.

GHY라는 용어는 다른 많은 주요 기능을 가지고 있기 때문에 바람직합니다.해밀턴의 형식주의로 넘어갈 때, 정확한 아르노윗-데저-미스너 에너지(ADM 에너지)를 재현하기 위해서는 GHY 항을 포함할 필요가 있다.이 용어는 양자 중력에 대한 경로 적분(호킹이라고도 함)이 올바른 구성 특성을 가지도록 보장하기 위해 필요합니다.유클리드 반고전적 접근법을 사용하여 블랙홀 엔트로피를 계산할 때, 전체 기여는 GHY 항에서 나온다.이 용어는 전이 진폭 및 배경 독립 산란 진폭을 계산할 때 루프 양자 중력에 더 최근에 적용되었습니다.

작용에 대한 유한값을 결정하기 위해서는 평면 시공간에서 표면항을 빼야 할 수 있다.

{\displaystyle S_{EH}+S_{GHY,0}=pi frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}\mathrm {d}^{4}x,{\displayrt {-g}R+{\frac {1}{8\pi}}\int {\mathcal {{{\mathcal}}}}{{{\cal}}}}}}{{{{{\mathcal}}}}}}}}}{{{{{

$K_{0}$ 서 K 0 $(\$ 은 $K_{0}$ 삽입된 평면 시공간 경계의 외인성 곡률입니다. $(\$ \ $beta$ 의 $g_{\alpha \beta }$ 하에서는 ${\sqrt {h}}$ h(\ $displaystyle {\$ displaystyle {h})는 ${\sqrt {h}}$ 불변하므로 이 추가항은 필드 방정식에 영향을 주지 않으므로 비역학항이라고 합니다.

하이퍼 인터페이스 소개

하이퍼 인터페이스의 정의

4차원 시공간 다양체에서, 하이퍼페이스는 3차원 서브매니폴드이며, 타임라이크, 스페이스라이크 또는 늘일 수 있습니다.

특정 하이퍼 서페이스 $\Sigma$ (\ $displaystyle \Sigma)$ 는 $\Sigma$ 좌표에 제약을 가하여 선택할 수 있습니다.

f(x^{\alpha })= 0,

파라메트릭 방정식을 주거나

x^{\alpha}=x^{\alpha}(y^{a}),

$y^{a}(a=1,2,3)$ 서 y( $y^{a}(a=1,2,3)$ , $y^{a}(a=1,2,3)$ , $y^{a}(a=1,2,3)$ 3 $)({displaystyle$ y $^{a}(a=1, 2$ , $3)}$ 는 $y^{a}(a=1,2,3)$ 하이퍼 서페이스 고유의 좌표입니다.

예를 들어, 3차원 유클리드 공간의 2구체는 다음 중 하나에 의해 설명될 수 있다.

f(x^{\alpha})=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0,

$r$ 서 r $\displaystyle$ r은 $r$ 구의 반지름 또는

\displaystyle x=r\sin \cos \phi,\display y=r\sin \theta \phi,\display z=r\cos \theta,\display z=r\cos \theta,}

$\theta$ 서 ${\$ { $displaystyle \theta }$ 및 $\theta$ ${\$ { $displaystyle \phi }$ 는 $\phi$ 고유 좌표입니다.

초표면 직교 벡터장

미터법 표기법(-,+,...+)을 사용합니다.먼저 하이퍼 인터페이스 제품군을 소개합니다.

f(x^{\alpha})=C

여기서 패밀리의 다른 $구성원$ 은 $상수$ C의 다른 값에 대응합니다. $x^{\alpha }$ $xα(\$ ^{\alpha $}})$ 와 $x^{\alpha }$ $x^{\alpha }+dx^{\alpha }$ + $(\$ x $^{\alpha}+$ 를 가진 인접한 두 점 $P$ (\ $displaystyle$ P $)$ 와 $P$ Q $(\displaystyle$ Q $)$ 를 $Q$ 검토합니다.같은 초지상에 누워있는 벨리.그럼 먼저 주문해야 합니다.

C=f(x^{\alpha}+f(x^{\alpha})=f(x^{\alpha})+{\display f \over \display x^{\alpha}}}}\displaystyle C={\alpha}}}

이 방정식에서 C $C=f(x^{\alpha })$ ( $C=f(x^{\alpha })$ α $C=f(x^{\alpha })$ ) {\ $displaystyle$ C $=f(x^{\alpha$ }}}를 $C=f(x^{\alpha })$ $C=f(x^{\alpha })$ 다음과 같이 된다.

(\displaystyle\displaystyle\over\display x^{\alpha }}squals^{\alpha }=0}

$P$ $\$ $displaystyle$ P $P$ 이는 f, $(\$ 가 $f_{,\alpha }$ 서페이스에 정상임을 의미합니다.하이퍼 서페이스가 null이 아닌 경우에는 단위 $n_{\alpha }$ $(\$ 를 $n_{\alpha }$ 도입할 수 있다.이것은 다음과 같이 정의됩니다.

{displaystyle n^{\alpha}n_{\alpha}\equiv \equilon =sigma{cases}-1&{\text{if}}\Sigma {text{spacelike}}\+1&{\text{if}}\Sigma{text{time}}}}\end{cas}}}

$n^{\alpha }$ ${\$ n $^{\alpha}}$ 이 $n^{\alpha }$ f $f:n^{\alpha }f_{,\alpha }>0$ : $f:n^{\alpha }f_{,\alpha }>0$ $f:n^{\alpha }f_{,\alpha }>0$ , $f:n^{\alpha }f_{,\alpha }>0$ > 0 ${\displaystyle$ f $:n^{\alpha }f_{,\alpha$ } > $0}$ 의 $f:n^{\alpha }f_{,\alpha }>0$ $f:n^{\alpha }f_{,\alpha }>0$ 을 $n^{\alpha }$ 합니다. $(\$ })는 $n_{\alpha }$ 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있습니다.

\displaystyle n_{\alpha }= ilon f_{,\alpha } \over g^{\alpha \alpha }f_{,\alpha }f_{,\alpha } ^{1 \over2}}

하이퍼 서페이스가 공간적 또는 시간적 공간적이라면.

유도 및 횡측정법

세 벡터

\displaystyle e_{a}^{\alpha}=\leftx^{\alpha}\over\display y^{a}\right)_{\mathcal {M}}\quad a=1,2,3}

하이퍼 서페이스에 접해 있습니다.

유도 메트릭은 $h_{ab}$ a $h_{ab}$ (\ $displaystyle h_{$ ab})로 $h_{ab}$ 정의됩니다.

h_{ab}=g_{\alpha \display}e_{a}^{\alpha}e_{b}^{\display}}.

이 $y^{a}$ 은 y $y^{a}$ 의 $y^{a}$ 하이퍼 서페이스에서 $미터법$ 텐서 $역할$ 을 합니다 $.$ 초표면에 국한된 변위( $x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a})$ $x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a})$ $xα$ $x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a})$ $x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a})$ ) { $displaystyle$ x $^{\alpha$ } = $x^{\$ alpha $}(y^{a$ )

{displaystyle}ds^{\alpha \alpha }ds^{\alpha }\lefts\frac {\alpha }{\frac x^{\alpha }}{\frak y^{a}}dy\frak {\frak }{\fright}\\&=\left(g_{\alpha \alpha }e_{a}^{\alpha}\{b}\right)dy^{a}dy^{b}\&=h_{ab}dy^{b}\end{aligned}}}dy^{a}}dy^{a}}\&h_light

3개의 $e_{1}^{\alpha },e_{2}^{\alpha },e_{3}^{\alpha }$ $e_{1}^{\alpha },e_{2}^{\alpha },e_{3}^{\alpha }$ $e_{1}^{\alpha },e_{2}^{\alpha },e_{3}^{\alpha }$ $e_{1}^{\alpha },e_{2}^{\alpha },e_{3}^{\alpha }$ {{ $displaystyle e_{1}^{\alpha}, e_{2}^{\alpha}}$ 는 $e_{1}^{\alpha },e_{2}^{\alpha },e_{3}^{\alpha }$ 하이퍼 $서페이스에 접해$ 있기 때문에 $,$

n_{\alpha}e_{a}^{\alpha}=0

$n_{\alpha }$ 서 n $n_{\alpha }$ α(\ $displaystyle n_$ {\alpha $n_{\alpha }$ }})는 $n_{\alpha }$ 하이퍼 서페이스에 대한 정규 단위 벡터( $n_{\alpha }n^{\alpha }=\pm 1$ $n_{\alpha }n^{\alpha }=\pm 1$ $n_{\alpha }n^{\alpha }=\pm 1$ α $=$ ± $n_{\alpha }n^{\alpha }=\pm 1$ (\ $displaystyle n_{\alpha }n^{\alpha$ $pm$ 1)이다.

우리는 가로 측정법이라고 불리는 것을 소개한다.

\displaystyle h_{\alpha \display}=g_{\alpha \display}-\ilon n_{\alpha }n_{\display}}

$n^{\alpha }$ 는 표준 $(\$ n $^{\alpha$ 와 횡단하는 메트릭 부분을 분리합니다.

이 4텐서는 쉽게 볼 수 있다.

{h^{\alpha}}_{\alpha} = ^{\alpha}_{\alpha}-\ilon n^{\alpha}n_{\alpha}}}} = {\ {\ ^{\alpha

$n^{\alpha }$ 인 $(\$ n $^{\alpha$ })에 $n^{\alpha }$ 대해 4개의 가로 방향 부분을 투영한다.

({displaystyle {h^{\alpha}}_{\alpha}n^{\alpha}-\alpha}n_{\alpha})n^{\alpha}=(n^{\alpha}-\alpha =0\text})

우리는 가지고 있다.

h_{ab}=h_{\alpha \display}e_{a}^{\alpha}e_{b}^{\display}}.

$h^{ab}$ a $h^{ab}$ a b $(\$ h $^{ab})$ 를 $h^{ab}$ $h_{ab}$ $h_{ab}$ b a b $(\$ 의 역순으로 $h^{ab}$ 하면 쉽게 확인할 수 있습니다.

h^{\alpha \display}=h^{ab}e_{a}^{\alpha}e_{b}^{\display}

어디에

h^{\alpha \display}=g^{\alpha \display}-\ilon n^{\alpha }n^{\display}

변동은 다음 조건에 따라 달라집니다.

{\displaystyle\alpha\display}{\big }_{\display\mathcal {M}}=0,}

$h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$ $\partial {\mathcal {M}}$ a $h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$ $h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$ $h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$ $h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$ $h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$ $h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$ $h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$ $h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$ $h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$ β {\ $displaystyle$ $h_$ ${ab$ } $\partial {\mathcal {M}}$ $= g_{\alpha$ \display $}^{\alpha$ } $e_{b}^{\$ $display$ 에 $\partial {\mathcal {M}}$ 대한 유도 메트릭이 변동 중에 고정됨을 $h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$ 합니다. $\delta h_{\alpha \beta }$ , 「 $\delta h_{\alpha \beta }$ \ $displaystyle \delta h_{\alpha$ \ $beta$ }}」및 $\delta h_{\alpha \beta }$ 「 $\delta n_{\alpha }$ α\ $displaystyle \delta n_{\alpha$ }}」등의 $\delta n_{\alpha }$ 자세한 것에 대해서는, 을 참조해 주세요.

주요 결과를 증명하는 경우

다음 서브섹션에서는 먼저 아인슈타인의 변화를 계산합니다.힐베르트 항과 그 다음 경계 항의 변동, 그리고 그들의 합이 다음과 같은 결과를 낳는다는 것을 보여줍니다.

\displaystyle \delta S_{TOTAL}=\delta S_{EH}+\delta S_{GHY}=pic frac {1}{16\pi}}}\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \d}\display }\dg^{\d}{\d}}

$G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ 서 $G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ $G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ $=$ $G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ - $G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ $G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ $G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ $G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ R $G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ β R $G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ R {\ $displaystyle G_{\alpha \langer }=R_{\over$ 2 $)g_{\$ alpha $\langer }R}$ 는 $G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ 아인슈타인 텐서이며, 아인슈타인 장 방정식의 정확한 좌변을 생성하는데, 여기에는 $S$ 가 $S_{EH}$ 된다. $S_{EH}}:$ 포함 $S_{EH}$

{1\over 16\pi}\int _{\mathcal {M}}(R-2\Lambda) {\sqrt {-g}d^{4}x

여기서 $\Lambda$ (\ $displaystyle\Lambda)$ 는 $\Lambda$ 우주 상수입니다.

세 번째 서브섹션에서는 비역학적 용어의 의미를 자세히 설명합니다.

아인슈타인의 변화-힐베르트 항

아이덴티티를 사용합니다.

{\displaystyle\equiv - {1 \over 2){\displayrt {-g}g_{\alpha \display}\display g^{\alpha \display}}

팔라티니의 정체성:

\displaystyle \delta R_{\alpha \beta }\equiv \nabla _{\alpha \beta }^{\mu }-\nabla _{\beta }(\delta \Gamma _ {\}^{\mu } ),

둘 다 아인슈타인 기사에서 얻어진 것이다.힐베르트 액션

아인슈타인의 변형을 고려해보죠힐베르트 용어:

{\displaystyle{\begin{정렬}(16\pi)\delta S_{EH}&, =\int _{{M\mathcal}}\delta \left(g^{\alpha \beta}R_{\alpha \beta}{\sqrt{-g}}\right)d^{4}x\\&, =\int _{{M\mathcal}}\left(R_{\alpha \beta}{\sqrt{-g}}\delta g^{\alpha \beta}+g^{\alpha \beta}R_{\alpha \beta}\delta{\sqrt{-g}}+{\sqrt{-g}}g^{\alpha \beta}\delta R_{\alpha \beta}\righ.t=d^{4}x\\&=\int _{\mathcal {M}}\left(R_{\alpha \alpha }-{1 \over 2)g_{\alpha \alpha \alpha }R\right)\delta g^{\alpha \alpha }{\alpha }{\alpha }{\int }{\lat }{\right}{\lang}{\lang}{\lang}{\lang}\lang}\lang}\lang}\lang}\\end { aligned}}

첫 번째 항은 아인슈타인 장 방정식의 왼쪽에 필요한 것을 제공합니다.우리는 두 번째 기간을 설명해야 한다.

팔라티니족 정체성

g^{\alpha \mu}=\display {V^{\mu}}_{;\mu}},\qquad \mu V^{\alpha \mu}=g^{\alpha \mu}-{\gampa }\gampa =\gammu } \gammu {\ma }

다음과 같은 형태의 스토크스 정리가 필요합니다.

{\mathcal {M}}{A^{\mu}}{\displayrt {-g}}d^{4}x&=int _{\mathcal {M}}({\sqrt {-g}})A^{\mu }_{,\mu }d^{4}x\&=점_{\mu}A^{\mu}d\Sigma_{\mu}\&=점_{\mu}\epsilon A^{\mu}{\mu}{\mu}}\mu}\sigma

$n_{\mu }$ 서 n $n_{\mu }$ $\partial _{\mathcal {M}}$ {\ $displaystyle n_{\$ $mu$ $n_{\mu }$ }}는 $n_{\mu }$ $\partial _{\mathcal {M}}$ M $\partial _{\mathcal {M}}$ {\ $displaystyle\mathcal {M}}$ 에 $\partial _{\mathcal {M}}$ $y^{a}$ 수직인 단위이며, $y^{a}$ $\epsilon \equiv n^{\mu }n_{\mu }=\pm 1$ μ $=$ ± $\epsilon \equiv n^{\mu }n_{\mu }=\pm 1$ {\ $displaystyle \eqiv n^{\mu} n_{\mu$ n_ ${\$ y $^{a}}}}}$ 는 좌표계의 단위입니다. $d\Sigma _{\mu }=\epsilon n_{\mu }d\Sigma$ $d\Sigma _{\mu }=\epsilon n_{\mu }d\Sigma$ $d\Sigma _{\mu }=\epsilon n_{\mu }d\Sigma$ $d\Sigma _{\mu }=\epsilon n_{\mu }d\Sigma$ $μ$ d = n $μ$ d $d\Sigma _{\mu }=\epsilon n_{\mu }d\Sigma$ {\ $mu$ } =\ilon $n_{\mu }d$ $d\Sigma =|h|^{1 \over 2}d^{3}y$ $\Sigma }$ $d\Sigma =|h|^{1 \over 2}d^{3}y$ 서 $d\Sigma _{\mu }=\epsilon n_{\mu }d\Sigma$ $h=\det[h_{ab}]$ $d\Sigma =|h|^{1 \over 2}d^{3}y$ $d\Sigma =|h|^{1 \over 2}d^{3}y$ $h=\det[h_{ab}]$ $d\Sigma =|h|^{1 \over 2}d^{3}y$ ^ $1 \over$ 2 $d\Sigma =|h|^{1 \over 2}d^{3}y$ $y =$ h $^3 \ sigma$ $h=\det[h_{ab}]$ ] $h=\det[h_{ab}]$ [ $h=\det[h_{ab}]$ ]이 경우 $A^{\mu }=\delta V^{\mu }$ μ $=$ $A^{\mu }=\delta V^{\mu }$ V $A^{\mu }=\delta V^{\mu }$ {\ $displaystyle$ A $^{\mu$ }=\ $display$ V $^{\mu$ $A^{\mu }=\delta V^{\mu }$ 를 취합니다.

이제 경계 $\partial {\mathcal {M}}$ M $({$ n_{\mu $}$ n_{\mu $\partial {\mathcal {M}}$ 에서 θ V $({displaystyle$ $\mu$ } $n_$ ${\$ $mu$ $}})$ 를 $\delta V^{\mu }n_{\mu }$ 평가하며 $\partial {\mathcal {M}},\delta g_{\alpha \beta }=0=\delta g^{\alpha \beta }$ M, $\partial {\mathcal {M}},\delta g_{\alpha \beta }=0=\delta g^{\alpha \beta }$ $\partial {\mathcal {M}},\delta g_{\alpha \beta }=0=\delta g^{\alpha \beta }$ $\partial {\mathcal {M}},\delta g_{\alpha \beta }=0=\delta g^{\alpha \beta }$ $\partial {\mathcal {M}},\delta g_{\alpha \beta }=0=\delta g^{\alpha \beta }$ 0 $\partial {\mathcal {M}},\delta g_{\alpha \beta }=0=\delta g^{\alpha \beta }$ ({ $displaystyle \mathcal$ { $M})\del$ {\mathcal {})\ta $}$ 에 유의한다.베

\displaystyle \Gamma _{\alpha \gamma }^{\mu }{\big }_{\displayfrac {1}{2}}g^{\mu \nu }(\displaystyle g_{\nu \alpha },\nu }\displaystypa \g_{\nu \nu \nu \nu \nu }, \nu }, \nu \nu }, \nu }, \nu }, \nu}

주의할 필요가 있습니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}g^{\alpha \mu}\delta \Gamma _{\alpha \beta}^{\beta}{\big}_{\partial{{M\mathcal}}}&=ᆯg^ᆰg^ᆱ(\delta g_{\nu \alpha ,\beta}+\delta{\nu \beta ,\alpha}-\delta g_{\alpha \beta ,\nu}g_)\\&, ={1\over 2}g^{\mu \nu}g^{\alpha \beta}(\delta g_{\nu \alpha ,\beta}+\delta g_{\alph.한 \beta,\nu }-\nu g_{\nu \signed,\alpha }\end {aligned}}

두 번째 줄에서는 $\alpha$ α(\ $displaystyle \alpha)$ 와 $\alpha$ $\nu$ (\ $displaystyle \nu)$ 를 $\nu$ 교환하여 메트릭이 대칭임을 사용했습니다. $\delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })$ 후, $\delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })$ V $\delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })$ $=$ g $\delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })$ $\delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })$ β ( $\delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })$ $\delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })$ β, $\delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })$ α - $\delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })$ g α $β)$ $({\mu$ }= $g^{\mu$ \ $nu }g^{\alpha \lang }, \alpha β,$ α - $β)$ 를 구하는 것은 어렵지 않다.

그래서 지금

{\displaystyle{\begin{정렬}\delta V^{\mu}n_{\mu}{\big}_{\partial{{M\mathcal}}}&=n^ᆰg^ᆱ(\delta g_{\mu \beta ,\alpha}-\delta g_{\alpha \beta ,\mu})\\&, =n^ᆲ(\epsilon n^{\alpha}n^{\beta}+h^{\alpha \beta})(\delta g_{\mu \beta ,\alpha}-\delta g_{\alpha \beta ,\mu})\\&, =n^{\mu}h^{\alpha \beta}(\delta g_.{\mu \beta,\alpha }-\ladg_{\alpha \ladg,\mu }\end {aligned}}

여기서 두 번째 줄에서는 $g^{\alpha \beta }=\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }$ β β $=$ $g^{\alpha \beta }=\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }$ $g^{\alpha \beta }=\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }$ + h $g^{\alpha \beta }=\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }$ {\ $displaystyle g^{\alpha$ \ $display$ } $n^{\$ $display$ } n^{\ $h^{\alpha \display$ $\mu$ n $^{\$ $h$ ^{\ $\delta g_{\alpha \beta }$ $\mu$ }} $\mu$ $μmustyle$ $μmustyledisplay$ 로 항균제를 사용했다 $.$ $_{\alpha \$ $mathcal {$ M}} 경계 $\delta g_{\alpha \beta }$ $\partial {\mathcal {M}},$ M , ${\displaystyle \mathcal$ {M $}$ } _ential _ _ential _ vanish _ _ 0 0 0 、 $g$ $\delta g_{\alpha \beta ,\gamma }e_{c}^{\gamma }=0$ , $e$ c $\delta g_{\alpha \beta ,\gamma }e_{c}^{\gamma }=0$ $=$ 0 $\delta g_{\alpha \beta ,\gamma }e_{c}^{\gamma }=0$ （ $display style$ \ display g $_$ { \ rpa _ { \ r _ { \ mathc }^{ \ $mathc$ } } } } } $= 0$ ）） _ vanish vanish vanish vanish vanish vanish _ _ vanish vanish vanish , vanish vanish vanish _ _ vanish $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ h $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ β $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ , $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ a $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ e $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ e $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ β $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$ α $0$ {\ $display$ h $^{\$ alpha \ $display$ h^{\alpha $} =h^{ab}e_{a}^{b}^{\$ displa}^{\ $disita}\$ dispa}\ $mu,$ \display h β g β β β, β, β, β, β, β, α β, β, β, β

n^{\mu}\display V_{\big }=-h^{\alpha \display}\display g_{\alpha \display},\mu }n^{\mu }

얻은 결과의 수집

\displaystyle (16\pi)\ipsilon S_{EH}=\int _{\mathcal {M}}G_{\iph g^{\alpha \pa }{\iphrt {-g}d^{4}x-\point }\ipsilon h^{\alpha}{\alpha \pi}g}g}g}g}{\pa }}

다음으로 위의 경계항이 S $S_{GHY}$ $S_{GHY}$ Y(\ $displaystyle S_{GHY$ 의 변형에 의해 취소됨을 나타냅니다.

경계항의 변동

$S_{GHY}$ S $S_{GHY}$ $S_{GHY}$ Y(\ $display style$ S_ ${GHY})$ $S_{GHY}$ 의 $S_{GHY}$ 변형을 살펴보겠습니다.유도측정지표는 $\partial {\mathcal {M}},$ M에 고정되어 있기 때문에 $변화$ 하는 $\partial {\mathcal {M}},$ 수량은 K $(\displaystyle$ $K$ $)$ 가 $K$ 외인성 곡률의 트레이스뿐입니다 $.$

우리는 가지고 있다.

{begin{alpha }K&={\alpha }_{;\alpha }n_{\alpha ;\alpha }\&=좌(\alpha }n^{\alpha }+h^{\alpha }\alpha }\alpha }\right } \alpha } \\\\n

여기서 $0=(n^{\alpha }n_{\alpha })_{;\beta }$ 는 0 $=$ ( $0=(n^{\alpha }n_{\alpha })_{;\beta }$ $0=(n^{\alpha }n_{\alpha })_{;\beta }$ $0=(n^{\alpha }n_{\alpha })_{;\beta }$ α ) ; $0=(n^{\alpha }n_{\alpha })_{;\beta }$ β {\ $displaystyle$ 0=( $n^{\alpha }n_{\alpha ;\beta }=0.$ $^{\alpha$ } $n_$ ${\alpha } n_$ {\ $alpha }$ ${\displaystyle } =0$ }을 $0=(n^{\alpha }n_{\alpha })_{;\beta }$ $n^{\alpha }n_{\alpha ;\beta }=0.$ $n^{\alpha }n_{\alpha ;\beta }=0.$ 했다. $n^{\alpha }n_{\alpha ;\beta }=0.$ 따라서 K{\ $displaystyle$ K $}$ 의 $K$ 변동은 $n^{\alpha }n_{\alpha ;\beta }=0.$ 과 같다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\delta K&, =-h^{\alpha \beta}\delta \Gamma _{\alpha \beta}^{\gamma}n_{\gamma}\\&, =-h^{\alpha \beta}n_{\gamma}{\frac{1}{2}}g^ᆲ\left(\delta g_{\sigma \alpha ,\beta}+\delta g_{\sigma \beta ,\alpha}-\delta g_{\alpha \beta ,\sigma}\right)\\&, =-{1\over 2}h^{\alpha \beta}\left(\delta g_{\mu.\alpha ,\beta }+\cape g_{\mu \cape,\alpha }-\cape g_{\alpha \cape}-\cape g_{\mu }-\cape g_{\mu }\cape frac {1}{\alpha \cape}\cape {\cape}n^{\cape}\cape}\capealpha\cape}\cape}\capealfright}n^{\cape}\cape

여기서 우리는 $\partial {\mathcal {M}}.$ $\delta g_{\alpha \beta }$ $\delta g_{\alpha \beta }$ β {\ $displaystyle \delta g_{\alpha \beta}}$ 의 $\delta g_{\alpha \beta }$ 접선 도함수가 $\partial {\mathcal {M}}.$ θ M . $\partial {\mathcal {M}}.$ {\ $displaystyle \partial \mathcal {M}$ 에서 $\partial {\mathcal {M}}.$ 사라진다는 사실을 사용한다.

(16\pi)\display S_{GHY}=\point_{\display\mathcal {M}}\epsilon h^{\alpha \displays}\mu }n^{\mu}{\displayrt {h} y

1번 문항 오른쪽에 있는 두 번째 적분이 취소된다.중력 작용의 총 변동은 다음과 같습니다.

\displaystyle \displaystyle S_{TOTAL}={1 \over 16 \pi }\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \display}{\display }{\displayrt {-g}d^{4}x}

이것은 아인슈타인 방정식의 정확한 좌측을 생성합니다.이것이 주된 결과를 증명한다.

이 결과는 1983년^[2] 경계가 있는 다양체에 대한 4차 중력 이론으로 일반화되었고 ^[3]1985년에 발표되었다.

비역학적 용어

의 역할에 대해 자세히 설명합니다.

\displaystyle S_{0}={1 \over 8 \pi } \point _{\mathcal {M}}\epsilon K_{0}시간^{1 \over 2)d^{3}y}

중력의 작용으로요.앞에서 설명한 바와 같이 이 용어는 $h_{ab}$ $a$ 에만 $h_{ab}$ 하기 때문에 $g_{\alpha \beta }$ $g_{\alpha \beta }$ β β β β β β β β $β {\$ alpha \ $beta$ $h_{ab}$ 에 $g_{\alpha \beta }$ 대한 변동은 0이므로 필드 방정식에 영향을 주지 않으므로 동작의 수치를 변경하는 것이 목적이다.그래서 우리는 그것을 비역학 용어라고 부를 것이다.

$g_{\alpha \beta }$ $g_{\alpha \beta }$ β {\ $displaystyle g_{\$ alpha \ $beta$ }}가 $g_{\alpha \beta }$ 진공장 방정식의 해이며, 이 경우 Ricci $스칼라$ R {\ $displaystyle$ R $}$ 이 소실된다고 $R$ 가정합니다.중력 작용의 수치는 다음과 같습니다.

S={1 \over 8 \pi } \point _{\mathcal {M}}\epsilon K h ^{1 \over 2)d^{3}y,

지금은 비역학적인 용어를 무시하고 있습니다.이것을 평탄한 시공간으로 평가해 봅시다. $t=t_{1},t_{2}$ $r=r_{0}$ $r=r_{0}$ = $t=t_{1},t_{2}$ = r 0 { { $display style$ t $\partial {\mathcal {M}}$ $= t_{1}, t_{2}$ }의 2개의 하이퍼 스트럭트와 $r_{0}$ $= r_$ {0 $}$ 의 $t=t_{1},t_{2}$ 큰 3개의 스트럭트로 구성되도록 $\partial {\mathcal {M}}$ δ M { $displaystyle$ \ $scal {M}$ {M}} (유한 간격과 r_0}의 $\partial {\mathcal {M}}$ 곱)을 선택합니다. $({displaystyle r_{0}})$ 일정한 시간 동안 K $K=0$ $(\style$ K $=0)$ 이 $K=0$ $K=0$ 스위칭됩니다.3개의 실린더에서, 하이퍼 서페이스 고유의 좌표에서, 선 요소는 다음과 같습니다.

{\displaystyle\ds^{2}&=-dt^{2}+r_{0}}^{2}d\Omega^{2}\&=-dt^{2}+r_{0}}^{2}(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2}\end{aligned}}}

즉, 유도 메트릭은

h_{ab}=param {bmatrix}-1&0\\0&r_{0}^{2}\sin^{2}\theta \end{bmatrix}}.

$|h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta$ h 1 $|h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta$ $|h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta$ $|h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta$ $|h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta$ $|h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta$ sin $|h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta$ display $display$ { \ $displaystyle$ h ^ { $1$ \ $over$ 2) $=$ r $|h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta$ _ { 0 $n_{\alpha }=\partial _{\alpha }r$ $}$ \ $sin$ \ $theta$ 。단위는 $n_{\alpha }=\partial _{\alpha }r$ $n_{\alpha }=\partial _{\alpha }r$ r { \ $displaystyle n_{\alpha }$ =\ $K={n^{\alpha }}_{;\alpha }=2/r_{0}$ K $=$ n $K={n^{\alpha }}_{;\alpha }=2/r_{0}$ / $r$ 입니다.그리고나서

\displaystyle \point _{\mathcal {M}\epsilon K h ^{1 \over2}d^{3}y=\int _{t_{1}{t_int _{0}{2\pi }d\varphi \int _{0}{0}{\pi}d\t\ta \light r2\right r}

r $r_{0}\to \infty$ $r_{0}\to \infty$ ${\$ { $displaystyle r_{0}\to\infty$ 즉 공간 경계가 무한대로 밀릴 때 ${\mathcal {M}}$ M {\ $displaystyle$ { $M}$ 이 ${\mathcal {M}}$ (가) 두 개의 일정 시간 초항복에 의해 제한되는 경우에도 $r_{0}\to \infty$ 됩니다.점근적으로 평탄한 곡면 시공간에도 동일한 문제가 발생할 것으로 예상할 수 있다(시공간이 작으면 문제가 없다).이 문제는 비동적 용어로 해결됩니다. $r_{0}\to \infty$ G $S_{GHY}-S_{0}$ - $S_{GHY}-S_{0}$ 0 $(\$ 의 $S_{GHY}-S_{0}$ $S_{GHY}-S_{0}$ 는 r $r_{0}\to \infty$ $r_{0}\to \infty$ \ $display$ style $r_{0}\to$ \ $infty$ $r_{0}\to \infty$ 로 정의됩니다.

수정된 중력 조건의 변화

일반상대성이론을 다른 방식으로 수정하려는 많은 이론들이 있는데, 예를 들어 f(R) 중력은 아인슈타인의 리치 스칼라인 R을 대체한다.함수 f(R)에 의한 힐버트 작용.Guarnizo 등은 일반 f(^[4]R) 이론의 경계항을 발견했다.그들은 "f(R) 중력에 기븐을 더한 계량 형식주의의 변형 작용"을 발견했다.York-Hawking과 같은 경계 용어는 다음과 같이 작성해야 한다."

({displaystyle S_{mod}=sfrac {1}{2\kappa}}\int _{V}d^{4}x{\sqrt {-g}f(R)+2\int _{\int V}d^{3}y\epsilon h f'(R)K})

$f'(R)\equiv {\frac {df(R)}{dR}}$ 서 f $f'(R)\equiv {\frac {df(R)}{dR}}$ $f'(R)\equiv {\frac {df(R)}{dR}}$ $f'(R)\equiv {\frac {df(R)}{dR}}$ f $f'(R)\equiv {\frac {df(R)}{dR}}$ ( $f'(R)\equiv {\frac {df(R)}{dR}}$ R ) $f'(R)\equiv {\frac {df(R)}{dR}}$ R { $displaystyle$ f' ( $R)\equiv {frac {df(R)}{dR$

ADM 분해를 사용하고 추가 보조장을 도입함으로써, 2009년 Deruelle 등은 "라그랑지안이 리만 ^[5]텐서의 임의 함수인 중력 이론"의 경계 항을 찾는 방법을 발견했다.이 방법을 사용하여 무한도함수 ^[6]중력에 대한 GHY 경계 항을 찾을 수 있습니다.

양자 중력에 대한 경로 적분 접근법

처음에 언급했듯이 양자 중력에 대한 경로 적분(호킹 등)이 올바른 구성 특성을 가지도록 하기 위해서는 GHY 항이 필요하다.

경로 적분 양자 중력에 대한 이 오래된 접근법은 많은 어려움과 해결되지 않은 문제들을 가지고 있었다.이 접근법의 출발점은 한 사람이 진폭을 나타낼 수 있다는 파인만의 생각이다.

\displaystyle \langle g_{2},\phi _{2} g_{1},\phi _{1},\Sigma _{1}\rangle }

지표면 $\Sigma _{1}$ 의 $g_{1}$ $(\$ $1})$ 과 $g_{1}$ 물질 필드 $\phi _{1}$ (\ $displaystyle\Sigma_{1})$ 에서 $\phi _{1}$ $\Sigma _{1}$ $g_{2}$ $\Sigma _{2}$ $(\$ })와 $g_{2}$ 물질 필드 $\phi _{2}$ $(\$ $displaystyle \phi_{$ 2 $\phi _{2}$ })가 있는 상태로 $이행$ 한다. $\Sigma _{2}$ \ $Sigma$ _ ${2$ 는 모든 필드 $설정$ g {\ $displaystyle$ g $}$ 및 $g$ ${\$ $\Sigma _{1}$ \ $displaystyle$ $\Sigma$ $\phi$ _ ${1$ } 및 $\Sigma _{1}$ $\Sigma _{2}$ 2 \ $displaystyle \Sigma$ _ ${2$ 의 $\phi$ 합계로서 씁니다 $.$

\displaystyle \mathcal {D},\phi _{2} g_{1},\Sigma _{1}\rangle =\int \mathcal {D}}[g,\phi]\exp(i[g,\phi])

$D$ ${\mathcal {D}}[g,\phi ]$ [ ${\mathcal {D}}[g,\phi ]$ , ${\mathcal {D}}[g,\phi ]$ { $style$ { display \ $mathcal$ { $D$ } } [ $S[g,\phi ]$ , \ $phi$ $]$ $S[g,\phi ]$ is ${\mathcal {D}}[g,\phi ]$ $S[g,\phi ]$ 、 \ $display style g$ } $\phi$ $S[g,\phi ]$ ${\$ $S[g,\phi ]$ $\phi$ configur configur configur configur configur configur field $S[g,\phi ]$ ationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsations ationsations onationsationsationsations ationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsations ationsationsationsationsationsationsationsations ationsationsationsationsationsationsations ationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsations $ationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsationsations$ $({displaystyle \Sigma$ _ ${1}}$ 및 $\Sigma _{1}$ $\Sigma _{2}$ 2 $\Sigma _{2}$ ({ $displaystyle \Sigma$ _ ${2$

경계에 3차원 유도 $메트릭$ h $(\displaystyle$ h $)$ 만 $h$ 지정하면 된다는 주장이 있다.

다음으로 $\Sigma _{1}$ 의 $h_{1}$ 1 $({displaystyle\Sigma_{$ 1 $\Sigma _{1}$ 에서 $\Sigma _{2}$ ${\$ 의 $h_{2}$ 2({ $displaystyle\Sigma_$ ${$ $2$ 로 이행한 후 $h_{3}$ 에 지표면 {\2 $({$ displaystyle $\$ $Sigma_{$ 2 $\Sigma _{2}$ }})로 $h_{3}$ 이행하는 상황을 $생각해 보겠습니다$ .rface $\Sigma _{3}$ 3 (\ $displaystyle \Sigma$ _ ${3})$

평소와 같은 작문 규칙을 갖고 싶다.

\displaystyle h_{3},\Sigma _{1},\Sigma _{1}\rangle =\sum _{2},\Sigma _{3} h_{2},\Sigma _{2},\Sigma _{1}, h_{1},

중간 표면 $\Sigma _{2}$ 2(\ $displaystyle \Sigma$ _ ${2$ 의 모든 상태를 합산하여 얻을 수 있는 초기 상태에서 최종 상태로 가는 진폭을 나타냅니다.

$g_{1}$ 1 $({$ 을 $g_{1}$ $\Sigma _{1}$ 1({ $displaystyle \Sigma$ _{ $1})$ 과 $\Sigma _{1}$ $\Sigma _{3}$ $\Sigma _{2}$ 2 $({$ $\Sigma _{2}$ \ $Sigma$ _ ${2})$ $g_{2}$ 의 $\Sigma _{2}$ $g_{2}$ 메트릭으로 $g_{1}$ ( $단,$ $\Sigma _{2}$ $\Sigma _{3}$ 2 \ $displaystyle \Sigma$ _ ${2$ $\Sigma _{3}$ $({$ $g_{2}$ $({$ $g_$ ${2})$ 는 $g_{2}$ $({$ $displaystyle\$ $Sigma_{1$ $\Sigma _{2}$ 에서 $g_{2}$ $g_{2}$ 의 $g_{1}$ 파생어인 $\Sigma _{2}$ $({$ $\Sigma_$ ${2})$ 에서 $g_{1}$ $\Sigma _{2}$ 일치합니다 $.$ $le \Sigma$ _ ${2$ 이 의미를 고려하여 GHY 경계 ^[7]용어를 포함하는 경우에만 구성 규칙이 유지됨을 나타낼 수 있습니다.

다음 섹션에서는 양자 중력에 대한 이 경로 적분 접근법이 블랙홀 온도와 내재 양자 역학적 엔트로피의 개념으로 어떻게 이어지는지에 대해 설명합니다.

유클리드 반고전적 접근법을 이용한 블랙홀 엔트로피 계산

루프 양자 중력에서의 응용

전이 진폭과 해밀턴의 주요 함수

양자 이론에서, 해밀턴의 주요 함수에 해당하는 물체는 전이 진폭이다.4차원 볼의 위상을 가진 공간 공간의 콤팩트한 영역에 정의된 중력을 고려해보자.이 영역의 경계는 3차원 공간이며, 우리는 이것을 $3구체의 위상$ 이라고 부른다 $\Sigma$ 우주 상수가 없는 순수한 중력에서는 아인슈타인 방정식의 해에서 리치 스칼라가 사라지기 때문에, 부피 작용은 사라지고 해밀턴의 주요 함수는 모두 용어로 주어진다.경계항,

S[q]=\int _{\Sigma }K^{ab}[q]q_{ab}{\sqrt {q}\;d^{3}\sigma

$K^{ab}$ 서 K $K^{ab}$ b $(\$ K $^{ab})$ 는 $K^{ab}$ 경계의 외인성 곡률, $q_{ab}$ $q_{ab}$ b $(\$ 는 $q_{ab}$ 경계에서 유도되는 3미터, $\sigma$ {\ $displaystyle \sigma}$ 는 $\sigma$ 경계에서의 좌표입니다.

$S[q]$ S $]$ { $displaystyle$ S $[q]$ {displaystyle S[q]}는 $S[q]$ 매우 간단한 계산 함수입니다.이것은 외부 $K^{ab}[q]$ K $K^{ab}[q]$ b $K^{ab}[q]$ [ $]$ { $displaystyle$ K $^{ab}[q]}$ 가 경계 $K^{ab}[q]$ 내적 형상에 의해 선택된 벌크 솔루션에 의해 결정되기 때문입니다. $K^{ab}[q]$ 와 같이 K $K^{ab}[q]$ $K^{ab}[q]$ [ $K^{ab}[q]$ q $]{displaystyle$ K $^{ab}[q]}$ 는 $K^{ab}[q]$ 로컬이 아닙니다. $q_{ab}$ a $q_{ab}$ { $displaystyle q$ _ { $q_{ab}$ ab }에서 $q_{ab}$ K $K^{ab}$ $K^{ab}$ { $displaystyle$ K^ { $ab$ $}$ 의 $K^{ab}$ 일반적인 의존성을 아는 것은 아인슈타인 방정식의 일반적인 해법을 아는 것과 같다.

백그라운드에 의존하지 않는 산란

루프 양자 중력은 배경에 의존하지 않는 언어로 공식화된다.시공간은 선험적으로 간주되지 않고 오히려 이론 자체의 상태에 의해 구축된다. 그러나 산란 진폭은 n개의\\ $displaystyle$ n-point $n$ 함수(상관 함수(양자장 이론))에서 도출되며, 이는 기존의 양자장 이론에서 공식화된 시공간 점의 함수이다.주어진 시공간에서의 배경 의존적 형식주의와 양자장 이론의 전통적인 형식주의 사이의 관계는 명확하지 않으며, 완전한 배경 의존적 이론으로부터 낮은 에너지량을 회복하는 방법은 명확하지 않다.배경의존적 형식주의에서 $n$ 의 n $\style$ n-point $n$ 함수를 도출하여 양자일반상대성이론의 표준 섭동팽창과 비교하여 루프 양자중력이 정확한 저에너지 한계를 산출하는지 확인하고자 한다.

이 문제를 해결하기 위한 전략이 ^[8]제안되었다. 아이디어는 ^[9]^[10]시공간 내 콤팩트 영역의 경계 진폭 또는 전이 진폭, 즉 필드의 경계 값의 함수로 보이는 유한 시공간 영역에 걸친 경로 적분을 연구하는 것이다.전통적인 양자장 이론에서, 이 경계 진폭은 잘 정의되어^[11]^[12] 있고 이론의 물리적 정보를 코드화한다; 그것은 양자 중력에서도 그렇게 하지만 완전히 배경에 의존하지 않는 ^[13]방식으로 그렇게 한다.n\ $style$ n $\$ display n\point $n$ 함수의 물리적 지점 간 거리( $n$ \ $style$ n\ $display$ n $}$ -point $n$ 함수의 인수)가 고려된 시공간 영역의 경계에 있는 중력장 상태에 의해 결정된다는 생각에 기초하여 일반적으로 공변적인 n $\$ $display$ n-point 함수의 $n$ 를 내릴 수 있다.

중요한 관찰은 중력에서 경계 데이터는 중력장을 포함하므로 경계의 기하학적 구조, 따라서 관련된 모든 상대 거리와 시간 간격이다.즉, 경계 공식은 양자 맥락에서 시공간 기하학과 동적 필드 사이의 완전한 식별을 매우 우아하게 실현합니다.

메모들

^ 펑, J.C., 매츠너 R.A.중력 작용의 바이스 변화입니다.텍사스 대학교 오스틴 물리학과 이론 그룹arXiv:1708.04489v3 [gr-qc]2018년 7월 24일 https://arxiv.org/pdf/1708.04489
^ "Second and fourth order gravitational actions on manifolds with boundaries". ResearchGate. Retrieved 2017-05-08.
^ Barth, N H (1985-07-01). "The fourth-order gravitational action for manifolds with boundaries". Classical and Quantum Gravity. IOP Publishing. 2 (4): 497–513. Bibcode:1985CQGra...2..497B. doi:10.1088/0264-9381/2/4/015. ISSN 0264-9381.
^ Guarnizo, Alejandro; Castaneda, Leonardo; Tejeiro, Juan M. (2010). "Boundary Term in Metric f(R) Gravity: Field Equations in the Metric Formalism". General Relativity and Gravitation. 42 (11): 2713–2728. arXiv:1002.0617. Bibcode:2010GReGr..42.2713G. doi:10.1007/s10714-010-1012-6. S2CID 119099298.
^ Deruelle, Nathalie; Sasaki, Misao; Sendouda, Yuuiti; Yamauchi, Daisuke (2010). "Hamiltonian formulation of f(Riemann) theories of gravity". Progress of Theoretical Physics. 123: 169–185. arXiv:0908.0679. Bibcode:2010PThPh.123..169D. doi:10.1143/PTP.123.169. S2CID 118570242.
^ Teimouri, Ali; Talaganis, Spyridon; Edholm, James; Mazumdar, Anupam (2016). "Generalised Boundary Terms for Higher Derivative Theories of Gravity". Journal of High Energy Physics. 2016 (8): 144. arXiv:1606.01911. Bibcode:2016JHEP...08..144T. doi:10.1007/JHEP08(2016)144. S2CID 55220918.
^ 예를 들어 스티븐 호킹의 15장 "빅뱅과 블랙홀에 대한 호킹"을 참조하십시오.
^ Modesto, Leonardo; Rovelli, Carlo (2005-11-01). "Particle Scattering in Loop Quantum Gravity". Physical Review Letters. 95 (19): 191301. arXiv:gr-qc/0502036. Bibcode:2005PhRvL..95s1301M. doi:10.1103/physrevlett.95.191301. ISSN 0031-9007. PMID 16383970. S2CID 46705469.
^ Oeckl, Robert (2003). "A "general boundary" formulation for quantum mechanics and quantum gravity". Physics Letters B. Elsevier BV. 575 (3–4): 318–324. arXiv:hep-th/0306025. Bibcode:2003PhLB..575..318O. doi:10.1016/j.physletb.2003.08.043. ISSN 0370-2693.
^ Oeckl, Robert (2003-11-03). "Schrödinger's cat and the clock: lessons for quantum gravity". Classical and Quantum Gravity. 20 (24): 5371–5380. arXiv:gr-qc/0306007. Bibcode:2003CQGra..20.5371O. doi:10.1088/0264-9381/20/24/009. ISSN 0264-9381. S2CID 118978523.
^ Conrady, Florian; Rovelli, Carlo (2004-09-30). "Generalized Schrödinger equation in Euclidean field theory". International Journal of Modern Physics A. World Scientific Pub Co Pte Lt. 19 (24): 4037–4068. arXiv:hep-th/0310246. Bibcode:2004IJMPA..19.4037C. doi:10.1142/s0217751x04019445. ISSN 0217-751X. S2CID 18048123.
^ Doplicher, Luisa (2004-09-24). "Generalized Tomonaga-Schwinger equation from the Hadamard formula". Physical Review D. American Physical Society (APS). 70 (6): 064037. arXiv:gr-qc/0405006. Bibcode:2004PhRvD..70f4037D. doi:10.1103/physrevd.70.064037. ISSN 1550-7998. S2CID 14402915.
^ Conrady, Florian; Doplicher, Luisa; Oeckl, Robert; Rovelli, Carlo; Testa, Massimo (2004-03-18). "Minkowski vacuum in background independent quantum gravity". Physical Review D. American Physical Society (APS). 69 (6): 064019. arXiv:gr-qc/0307118. Bibcode:2004PhRvD..69f4019C. doi:10.1103/physrevd.69.064019. ISSN 1550-7998. S2CID 30190407.

레퍼런스

York, J. W. (1972). "Role of conformal three-geometry in the dynamics of gravitation". Physical Review Letters. 28 (16): 1082. Bibcode:1972PhRvL..28.1082Y. doi:10.1103/PhysRevLett.28.1082.
Gibbons, G. W.; Hawking, S. W. (1977). "Action integrals and partition functions in quantum gravity". Physical Review D. 15 (10): 2752. Bibcode:1977PhRvD..15.2752G. doi:10.1103/PhysRevD.15.2752.
Hawking, S W; Horowitz, Gary T (1996-06-01). "The gravitational Hamiltonian, action, entropy and surface terms". Classical and Quantum Gravity. 13 (6): 1487–1498. arXiv:gr-qc/9501014. Bibcode:1996CQGra..13.1487H. doi:10.1088/0264-9381/13/6/017. ISSN 0264-9381. S2CID 12720010.
Brown, J. David; York, James W. (1993-02-15). "Microcanonical functional integral for the gravitational field". Physical Review D. American Physical Society (APS). 47 (4): 1420–1431. arXiv:gr-qc/9209014. Bibcode:1993PhRvD..47.1420B. doi:10.1103/physrevd.47.1420. ISSN 0556-2821. PMID 10015718. S2CID 25039417.

[1] 펑, J.C., 매츠너 R.A.중력 작용의 바이스 변화입니다.텍사스 대학교 오스틴 물리학과 이론 그룹arXiv:1708.04489v3 [gr-qc]2018년 7월 24일 https://arxiv.org/pdf/1708.04489

[2] "Second and fourth order gravitational actions on manifolds with boundaries". ResearchGate. Retrieved 2017-05-08.

[3] Barth, N H (1985-07-01). "The fourth-order gravitational action for manifolds with boundaries". Classical and Quantum Gravity. IOP Publishing. 2 (4): 497–513. Bibcode:1985CQGra...2..497B. doi:10.1088/0264-9381/2/4/015. ISSN 0264-9381.

[4] Guarnizo, Alejandro; Castaneda, Leonardo; Tejeiro, Juan M. (2010). "Boundary Term in Metric f(R) Gravity: Field Equations in the Metric Formalism". General Relativity and Gravitation. 42 (11): 2713–2728. arXiv:1002.0617. Bibcode:2010GReGr..42.2713G. doi:10.1007/s10714-010-1012-6. S2CID 119099298.

[5] Deruelle, Nathalie; Sasaki, Misao; Sendouda, Yuuiti; Yamauchi, Daisuke (2010). "Hamiltonian formulation of f(Riemann) theories of gravity". Progress of Theoretical Physics. 123: 169–185. arXiv:0908.0679. Bibcode:2010PThPh.123..169D. doi:10.1143/PTP.123.169. S2CID 118570242.

[6] Teimouri, Ali; Talaganis, Spyridon; Edholm, James; Mazumdar, Anupam (2016). "Generalised Boundary Terms for Higher Derivative Theories of Gravity". Journal of High Energy Physics. 2016 (8): 144. arXiv:1606.01911. Bibcode:2016JHEP...08..144T. doi:10.1007/JHEP08(2016)144. S2CID 55220918.

[7] 예를 들어 스티븐 호킹의 15장 "빅뱅과 블랙홀에 대한 호킹"을 참조하십시오.

[8] Modesto, Leonardo; Rovelli, Carlo (2005-11-01). "Particle Scattering in Loop Quantum Gravity". Physical Review Letters. 95 (19): 191301. arXiv:gr-qc/0502036. Bibcode:2005PhRvL..95s1301M. doi:10.1103/physrevlett.95.191301. ISSN 0031-9007. PMID 16383970. S2CID 46705469.

[9] Oeckl, Robert (2003). "A "general boundary" formulation for quantum mechanics and quantum gravity". Physics Letters B. Elsevier BV. 575 (3–4): 318–324. arXiv:hep-th/0306025. Bibcode:2003PhLB..575..318O. doi:10.1016/j.physletb.2003.08.043. ISSN 0370-2693.

[10] Oeckl, Robert (2003-11-03). "Schrödinger's cat and the clock: lessons for quantum gravity". Classical and Quantum Gravity. 20 (24): 5371–5380. arXiv:gr-qc/0306007. Bibcode:2003CQGra..20.5371O. doi:10.1088/0264-9381/20/24/009. ISSN 0264-9381. S2CID 118978523.

[11] Conrady, Florian; Rovelli, Carlo (2004-09-30). "Generalized Schrödinger equation in Euclidean field theory". International Journal of Modern Physics A. World Scientific Pub Co Pte Lt. 19 (24): 4037–4068. arXiv:hep-th/0310246. Bibcode:2004IJMPA..19.4037C. doi:10.1142/s0217751x04019445. ISSN 0217-751X. S2CID 18048123.

[12] Doplicher, Luisa (2004-09-24). "Generalized Tomonaga-Schwinger equation from the Hadamard formula". Physical Review D. American Physical Society (APS). 70 (6): 064037. arXiv:gr-qc/0405006. Bibcode:2004PhRvD..70f4037D. doi:10.1103/physrevd.70.064037. ISSN 1550-7998. S2CID 14402915.

[13] Conrady, Florian; Doplicher, Luisa; Oeckl, Robert; Rovelli, Carlo; Testa, Massimo (2004-03-18). "Minkowski vacuum in background independent quantum gravity". Physical Review D. American Physical Society (APS). 69 (6): 064019. arXiv:gr-qc/0307118. Bibcode:2004PhRvD..69f4019C. doi:10.1103/physrevd.69.064019. ISSN 1550-7998. S2CID 30190407.

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