스칼라-텐서 이론

이론 물리학에서, 스칼라-텐서 이론(scalar-tensor theory)은 특정한 상호작용을 나타내는 스칼라장과 텐서장을 모두 포함하는 장 이론이다.예를 들어, 브랜스-딕케 중력 이론은 중력 상호작용을 중재하기 위해 스칼라장과 텐서장을 모두 사용한다.

텐서 장과 장 이론

현대 물리학은 가능한 한 적은 원리에서 모든 물리 이론을 도출하려고 한다.이런 방식으로, 양자역학뿐만 아니라 뉴턴 역학도 해밀턴의 최소 작용 원리에서 파생됩니다.이 접근법에서 시스템의 동작은 힘을 통해 기술되는 것이 아니라 시스템의 에너지를 기술하는 기능에 의해 기술됩니다.가장 중요한 것은 해밀턴 함수와 라그랑지안 함수로 알려진 에너지 양이다.우주에서 그들의 도함수는 해밀턴 밀도와 라그랑지안 밀도로 알려져 있다.이 양에 도달하면 현장 이론으로 이어집니다.

현대 물리학은 현실을 설명하기 위해 현장 이론을 이용한다.이러한 필드는 스칼라, 벡터 또는 텐셔너리입니다.스칼라 필드의 예로는 온도 필드가 있습니다.벡터장의 예는 풍속장이다.텐서장의 예는 연속체 역학에 사용되는 응력체 내의 응력 텐서장이다.

중력 as 필드 이론

물리학에서 힘(벡터량으로서)은 전위라는 이름의 스칼라 양의 도함수(경사량)로 주어진다.아인슈타인 이전의 고전 물리학에서 중력은 입자의 질량에 의존하는 스칼라 전위장을 통해 주어진 중력의 결과로서 같은 방식으로 주어졌다.그래서 뉴턴 중력은 스칼라 이론이라고 불린다.중력은 질량이 큰 물체끼리 거리 r(더 정확히는 질량의 중심)에 의존합니다.질량은 파라미터이며 공간과 시간은 변경할 수 없습니다.

아인슈타인의 중력 이론인 일반 상대성 이론(GR)은 다른 성질의 것이다.그것은 시공간이라고 불리는 4차원 다양체로 시공간을 통합한다.GR에는 중력이 없습니다.대신 우리가 힘이라고 생각하는 작용은 시공간 국소 곡률의 결과입니다.그 곡률은 수학적으로 그 영역의 질량을 포함한 총 에너지의 함수인 소위 미터법에 의해 정의됩니다.미터법의 도함수는 대부분의 경우 고전적인 뉴턴 힘에 근접하는 함수이다.메트릭은 2도의 텐셔너리 양이다(지수를 2개 포함하는 객체인 4x4 매트릭스로 제공할 수 있다).

이 맥락에서 중력을 설명할 수 있는 또 다른 가능성은 텐서(n>1의 정도)와 스칼라장을 모두 사용하는 것이다. 즉, 중력은 스칼라장만을 통해서도 메트릭을 통해서만 주어지지 않는다.이것들은 스칼라-텐서 중력 이론이다.

일반 상대성 이론의 현장 이론 시작은 라그랑주 밀도를 통해 주어진다.곡률 스칼라 R에 따라 달라지는 스칼라 및 게이지 불변량(게이지 이론을 참조)입니다.이 라그랑지안은 해밀턴의 원리에 따라 힐버트와 아인슈타인의 장 방정식으로 이어진다.라그랑지안에서는 곡률(또는 그와 관련된 양)에 정사각형 스칼라장을 곱하면 스칼라-텐서 중력 이론의 필드 이론을 얻을 수 있다.그 안에서 뉴턴의 중력 상수는 더 이상 실제 상수가 아니라 스칼라장에 의존하는 양이다.

수학 공식화

이러한 중력 스칼라-텐서 이론의 작용은 다음과 같이 기술할 수 있다.

{\displaystyle S=paramfrac {1}{c}}\int {d^{4}xparamrt {-g}}{\frac {1}{2\mu}}}\times \left[\]Phi R-{\frac {\frac(\Phi)}{\Phi }}(\partial _{\sigma}\Phi)^{2}-V(\Phi)+2\mu~{\mathcal {L}_{m}(g_{\mu \nu},\Psi)\right],},

$g$ 서g(\ $displaystyle$ g $)$ 는 $g$ 메트릭 결정식, $R$ (\ $displaystyle$ R $)$ 은 $R$ $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ μ $g_{\mu \nu }$ (\ $displaystyle g_{\mu$ $\$ $nu$ 로 구성된 Ricci 스칼라, $μ(\$ $displaystyle$ \mu})는 $\mu$ $L^{-1}M^{-1}T^{2}$ 치수 L - $L^{-1}M^{-1}T^{2}$ M - $L^{-1}M^{-1}T^{2}$ T - 1 T $L^{-1}M^{-1}T^{2}$ ^{- $1} ^2$ } } $^$ 2 } } $^$ 2 } } { { { where where where where where where where where where where where where $laystyle$ V $(\Phi)$ 는 $V(\Phi)$ 스칼라장 전위, $(\$ 은 ${\mathcal {L}}_{m}$ 재료 라그랑지안, $\Psi$ (\ $displaystyle \Psi$ )는 $\Psi$ 비중력장을 나타냅니다 $.$ 여기에서는 Brans-Dicke 파라미터 $\omega$ (\ $displaystyle \obega)$ 가 $\omega$ 함수로 일반화되었습니다.μ $({displaystyle \mu})$ 는 $\mu$ 흔히 $8\pi G/c^{4}$ G / $8\pi G/c^{4}$ 4 $({$ 8 $\pi$ G $/c^{4$ 로 표기되지만, $\mu$ $상수$ G({ $displaystyle$ G})는 $G$ 예를 들어 캐번디시 유형의 실험으로 측정할 수 있는 중력 상수가 아니라는 점에 유의해야 한다.실제로 경험적 중력 상수는 더 이상 스칼라-텐서 이론에서 상수가 아니라 스칼라 장 $\Phi$ (\ $displaystyle \Phi$ 의 함수이다. 메트릭과 스칼라 장 방정식은 각각 다음과 같다.

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R = frac {\mu }{\}Phi }}T_{\mu \nu }+{\frac {1}{\Phi }}[\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }-g_{\mu \nu }\Box ]\Phi + {\frac {\mu \mu }{\Phi}}{\\bla }Phi ^{2}}(\partial _{\mu}\Phi \partial _{\nu}\Phi - {\frac {1}{2}g_{\mu \nu}{2}-g_{\mu \nu }{Phi})-g_{\partial _{\mu \phi}\partial _{{{{\mu }\partial _{{\phi } }

그리고.

\ displaystyle \ frac { 2 \ 메가 ( \ Phi ) + 3 \Phi }}\Box \Phi = phi frac { mu } { \Phi }}T-{\frac {\ofha '(Phi)}{\Phi }}(부분_{\sigma}\Phi)^{2}+V'(Phi)-2{\frac {V(\Phi)}{\\Phi }}}.

또한, 이 이론은 다음과 같은 보존 방정식을 충족하며, 이는 일반 상대성 이론과 같은 시공간 측지학이 시험 입자를 따른다는 것을 암시합니다.

\displayla _{\display}T^{\mu \display}=0,

$T^{\mu \sigma }$ 서 T μ $T^{\mu \sigma }$ {\ $displaystyle$ T $^{\mu \sigma$ }}는 $T^{\mu \sigma }$ 다음과 같이 정의된 응력 에너지 텐서이다.

\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\frac {-g}}{\frac {\frac {-g}}{\mathcal {L}}_{m}}}}{\delta g^{\mu \nu }}}}}}}.}

그 이론의 뉴턴적 근사

밍코프스키의 배경을 중심으로 이전 작용에 의해 정의된 이론을 섭동적으로 발전시키고, 비상대론적 중력원을 가정하면, 첫 번째 순서는 그 이론의 뉴턴식 근사치를 제공한다.이 근사치, 그리고 잠재력이 없는 이론의 경우, 메트릭은 다음과 같이 쓴다.

g_{00}=-1+2gcfrac {U}{c^{2}}+{\mathcal {O}}(c^{-3}),~g_{0i}=mathcal {O}(c^{-2}),~g_{ij}=\delta _{ij}+{\mathc}{c}, {C}{c}}}{c}{c}}}}{c}}}{c}}}{c}{c}}}}{c}}}}{c}}}}

$U$ {\ $displaystyle$ U $}$ 가 $U$ 근사치의 가장 낮은 순서로 다음과 같은 통상적인 포아송 방정식을 만족한다.

\displaystyle U=8\pi G_{\mathrm {display}~\rho +{\mathcal {O}}(c^{-1}),}

여기서 $\rho$ \ $rho ）$ 는 $\rho$ 중력원의 $G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}$ 이고 $G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}$ f $G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}$ 2 $G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}$ 0 + $G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}$ $G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}$ 0 + $G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}$ G $G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}$ 0 { $displaystyle G_{\mathrm {$ } = $fr$ 0 \ $frac {$ 2 \ $obe$ { $0$ } + $4$ } { $2$ \ $obe$ { $0$ } + 3 } { $FRC$ }현재 우주론적 시간과 장소에서 촬영되었다.)따라서 경험적 중력 상수는 스칼라장 배경 $\Phi _{0}$ 0 $(\$ _ ${0})$ 의 $\Phi _{0}$ 현재값 함수이므로 이론적으로는 시간과 ^[1]장소에 따라 달라진다.그러나 뉴턴 중력 상수의 항상성에 대한 편차는 ^[2]측정되지 않았으며, 이는 스칼라장 배경 $\Phi _{0}$ 0 $(\displaystyle$ \Phi $\Phi _{0}$ _ ${0})$ 이 시간이 지남에 따라 상당히 안정적이라는 것을 의미한다.이러한 안정성은 이론적으로는 일반적으로 예상되지 않지만 이론적으로는 몇 가지 ^[3]메커니즘에 의해 설명될 수 있다.

그 이론의 첫 번째 포스트 뉴튼식 근사

그 이론을 다음 단계로 발전시키면 소위 최초의 포스트 뉴턴 질서가 생겨난다.전위가 없는 이론과 약한 등방성^[4] 조건(즉, g i j $i$ i $g_{ij}\propto \delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-3})\,$ + $g_{ij}\propto \delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-3})\,$ ( $g_{ij}\propto \delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-3})\,$ - 3 $g_{ij}\propto \delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-3})\,$ { $g_{ij}\propto \delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-3})\,$ $g_{ij}\propto \delta$ _ ${ij}+{\mathcal {O}(c^{-3})})$ 에 관한 좌표계의 경우 메트릭은 다음과 같은 형태를 취한다.

g_{00}=-1+{\frac {2}W}{c^{2}}-\beta {2}W^{2}}{c^{4}}+{\mathcal {O}}(c^{-5})

g_{0i}=-(\display + 1){\frac {2W_{i}{c^{3}}+{\mathcal {O}}(c^{-4})

\displaystyle g_{ij}=\param _{ij}\left(1+\param {2})W}{c^{2}}\right}+{\mathcal {O}}(c^{-3})}

와^[5] 함께

\displaystyle \Box W+{\frac {1+2\beta-3\gamma}{c^{2}}W+{\triangle W+{2}{c^{2}}(1+\frac)\triangle_{t}J=-4\pi G_{\mathrm {pi}}\Sigma +{\mathcal {O}}~,},

\displaystyle \mathcal W_{i}-\partial x_{i}J=-4\pi G_{\mathrm {pa}}\Sigma ^{i}+{\mathcal {O}}}~,}

$J$ 서 J $(\displaystyle$ J $)$ 는 $J$ 좌표 게이지에 따른 함수입니다.

J=\partial_{t}W+\partial_{k}W_{k}+{\mathcal {O}}(c^{-1})~.

이것은 약한 등방성 조건에 의해 고정되지 않은 나머지 미분형 자유도에 해당합니다.소스는 다음과 같이 정의됩니다.

(\displaystyle \Sigma = sigma frac {1}{c^{2}}(T^{00}+\gamma T^{kkk})~,\qquad \Sigma ^{i}= sigma frac {1}{c})T^{0i}~,}

이른바 포스트 뉴튼의 파라미터는

\displaystyle = displayfrac {\obega _{0}+1}{\obega _{0}+2}}~,

\displaystyle = 1+{\frac {{0}^{\prime}}}{(2\obega_{0}+3)(2\obega_{0}+4)^{2}}}~,

그리고 마지막으로 경험적 $G_{\mathrm {eff} }$ $G_{\mathrm {eff} }$ $G_{\mathrm {eff} }$ {\ $displaystyle G_{\mathrm {eff}}}$ 는 $G_{{\mathrm {eff}}}$ 다음과 같이 주어진다.

G_{\mathrm {param} } = sparam frac {2\omega _{0}+4}{~2\omega _{0}+3~}},G~,

$G$ 서G {\ $displaystyle$ G $}$ 는 $G$ 이전에 정의된 결합 $\mu$ μ {\ $displaystyle \mu}$ 에 $\mu$ 나타나는 (참) 상수입니다.

이론에 대한 관측적 제약

현재 관측치에서는 $\gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}$ - 1 $\gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}$ ( $\gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}$ .1 ± $\gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}$ 2 $\gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}$ ) $\gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}$ × $\gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}$ - $\gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}$ 5 (\ $displaystyle \displaystyle$ - 1 = $(2.1\pm 2.3$ )\ $times$ 10 $^{-5$ ^[2]로 나타나 있습니다. $\omega _{0}>40000$ , $\omega _{0}>40000$ > $40000$ \ $displaystyle$ \ （ \ $displaystyle _$ { $0$ } > 4000000 $\omega _{0}>40000$ 입니다.원래 브랜스-딕케 이론의 맥락에서 그러한 값을 설명하는 것은 불가능하지만, 다무어와 노르트베트는 일반 이론의 장 방정식이 ^[3]종종 우주의 진화 동안 무한대로 향하는 함수 $\omega$ (\ $displaystyle \obe)$ 의 $\omega$ 진화를 이끈다는 것을 발견했다.따라서 이 함수의 현재 높은 $\omega$ 인 $"\displaystyle\obega"$ 는 $\omega$ 우주 진화의 단순한 결과일 수 있다고 그들은 말한다.

Newtonian 이후의 $\beta$ β(\ $displaystyle\beta)$ 에 $\beta$ 대한 최선의 전류 제약은 수성의 근일점 편이에 기인하며 $|\beta -1|<3\times 10^{-3}$ $|\beta -1|<3\times 10^{-3}$ - $|\beta -1|<3\times 10^{-3}$ < $|\beta -1|<3\times 10^{-3}$ × $|\beta -1|<3\times 10^{-3}$ - $|\beta -1|<3\times 10^{-3}$ 3 \ $displaystyle \beta$ - $1$ < $3$ \ $times$ 10^ { - $3$ ^[2] $}$ 입니다.

두 가지 제약조건 모두 이론이 일반 상대성 이론을 대체할 수 있는 잠재적 후보인 반면, 스칼라 장은 현재의 관측을 설명하기 위해 매우 약하게 결합되어야 한다는 것을 보여준다.

우주의 가속 팽창에 대한 설명으로 일반화된 스칼라텐서 이론도 제시됐지만 중력파 이벤트 GW170817을 통한 중력 속도 측정에서는 이를 ^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]배제했다.

고차원 상대성 이론과 스칼라-텐서 이론

아인슈타인과 힐베르트의 일반상대성이론의 가설 이후, 1917년 테오도르 칼루자와 오스카 클라인은 5차원 다양체에서의 일반화: 칼루자-클레인 이론을 제안했다.이 이론은 5차원 메트릭(게이지 전위에 따라 작고 일정한 5차 메트릭 구성요소를 포함)을 가지고 있으며 중력과 전자기학을 통합한다. 즉, 전기역학의 기하학이 존재한다.

이 이론은 1955년 P. 조던에 의해 그의 투영 상대성 이론에서 수정되었고, 조던은 군 이론의 추리에 따라 가변 중력 상수 G를 유도하는 기능적인 5번째 메트릭 성분을 취했습니다.디락의 아이디어에 따라, 그는 에너지 절약도 바꾸기 위해 스칼라 장의 결합 매개변수를 도입했습니다.

적합성 등가 이론에 따라, 다차원 중력 이론은 추가 스칼라장과 함께 4차원에서 일반 상대성 이론과 동등합니다.이것의 한 가지 사례는 요르단의 이론에 의해 제시된다. 요르단은 에너지 보존을 파괴하지 않고 (유효해야 하며, 마이크로파 배경 복사가 흑체의 것이라는 점에서) 1961년의 C. 브랜스와 로버트 H. 디케의 이론과 동일하기 때문에 보통 브랜스-디케 이론에 대해 언급된다.브랜스-딕케 이론은 힐버트-아인슈타인 이론을 마하 원리와 양립할 수 있도록 수정하는 아이디어를 따른다.이를 위해, 뉴턴의 중력 상수는 라그랑지안에서 결합된 스칼라 변수의 함수로서 우주의 질량 분포에 따라 가변적이어야 했다.무한 길이 스케일(즉, 긴 배열)의 스칼라장을 사용하고 있기 때문에, 유카와 핵물리학 이론에서는, 이 스칼라장은 질량이 없는 필드입니다.이 이론은 스칼라 필드의 매개변수에 대한 높은 값을 위해 아인슈타인 이론이 됩니다.

1979년 R. 왜고너는 스칼라 곡률에 결합된 두 개 이상의 스칼라 필드를 사용하여 스칼라-텐서 이론의 일반화를 제안했다.

JBD 이론은 시험 입자에 대한 측지방정식을 바꾸지 않지만 복합체의 움직임을 보다 복잡한 것으로 변화시킨다.중력장에 직접 연결된 범용 스칼라장은 중력 에너지가 크게 기여하는 물질 구성의 움직임에 대해 잠재적으로 관측 가능한 효과를 발생시킵니다.이는 "Dicke-Nordtvedt" 효과로 알려져 있으며, 이는 확장된 질량에 대한 강점과 약한 동등성 원칙을 위반할 수 있습니다.

스칼라장이 짧은 JBD형 이론은 유카와 이론에 따르면 거대한 스칼라장을 사용한다.이 이론들 중 첫 번째는 A에 의해 제안되었다.1979년의 지.그는 Brans와 Dicke의 아이디어를 Symmetry Breakdown의 개념과 소위 Symmetry Breakdown이라고 불리는 소립자의 표준 모델 SM 내에서 필수적인 개념의 결합으로, 깨진 중력 이론을 제안했다.Zee는 SM의 힉스장을 스칼라장으로서 중력 상수를 생성하기 위해 힉스장을 제안했다.

힉스장과 힉스장을 통해 질량을 달성하는 입자의 상호작용은 SM 내에서조차 짧은 범위(즉, 유카와형)와 중력 유사하다(그로부터 포아송 방정식을 얻을 수 있다). 그래서 Zee의 아이디어는 1992년에 힉스장을 스칼라 장으로 하는 스칼라 텐서 이론에 채택되었다.여기서 거대한 스칼라 장은 질량과 결합하며, 스칼라 힉스장은 대칭 파괴를 통해 소립자의 질량을 생성하는 스칼라 힉스장의 근원이다.소멸하는 스칼라장의 경우, 이 이론은 보통 표준 일반 상대성 이론으로 진행되며, 거대한 필드의 특성 때문에 스칼라장의 파라미터(결합 상수)가 표준 JBD 이론만큼 높지 않아도 될 수 있습니다.그러나, 이러한 모델들 중 어느 것이 자연에서 발견되는 현상학을 더 잘 설명하는지, 그리고 그러한 스칼라장이 자연에서 정말로 주어지거나 필요한지는 아직 명확하지 않다.그럼에도 불구하고, JBD 이론은 빅뱅 이후의 인플레이션(질량 없는 스칼라장의 경우 인플레이션장에 대해 언급됨)을 설명하기 위해 사용된다.또한 표준 냉암물질 모델뿐만 아니라 MOND, Axions(Breaking of a Symmetry), MACHOS 등을 통해 일반적으로 주어진 역학을 설명하는 옵션입니다.

문자열 이론과의 연관성

모든 끈 이론 모델에 대한 일반적인 예측은 스핀 2 중력자가 ^[11]딜라톤이라고 불리는 스핀 0 파트너를 가지고 있다는 것입니다.따라서, 끈 이론은 실제 중력 이론이 일반 상대성 이론이 아닌 스칼라-텐서 이론이라고 예측한다.그러나, 그러한 이론의 정확한 형태는 현재 알려져 있지 않다. 왜냐하면 그에 상응하는 비교란적 계산을 다루기 위한 수학적 도구가 없기 때문이다.게다가, 이 이론의 정확한 4차원 형태는 소위 말하는 풍경 문제와도 마주하고 있다.

기타 가능한 스칼라-텐서 이론

퇴화 고차 스칼라 텐서 이론

비최소 스칼라-물질 결합 이론

레퍼런스

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