게이지 이론 중력

게이지 이론 중력(GTG)은 기하학 대수학의 수학적 언어로 주조된 중력 이론이다.일반상대성이론에 익숙한 사람들에게는 개념적으로 큰 차이가 있지만 4차원 형식주의를 매우 연상시킨다.특히 GTG의 배경은 평평하고 민코프스키 시공간입니다.등가 원리는 가정되지 않고 게이지 공변 도함수가 최소로 결합된다는 사실에서 비롯된다.일반 상대성 이론에서와 같이 아인슈타인 장 방정식과 구조적으로 동일한 방정식은 변화 원리에서 도출할 수 있다.스핀 텐서는 아인슈타인-카르탄-시아마-키블 이론과 유사한 방식으로 지지될 수 있다.GTG는 ^[2]Lasenby, Doran 및 Gull에 의해 1993년에 제시된 부분적인 결과의 이행으로 1998년에^[1] 처음 제안되었습니다.이 이론은 관련 게이지 중력 이론과 같은 미분 기하학적 접근법을 주로 선택한 나머지 물리학계에서는 널리 채택되지 않았습니다.

수학적 기초

GTG의 기초는 두 가지 원칙에서 비롯된다.첫째, 위치 게이지 불변성은 필드의 임의의 국소 변위가 필드 방정식의 물리적 내용에 영향을 미치지 않도록 요구합니다.둘째, 회전 게이지 불변성은 필드의 임의 국소 회전이 필드 방정식의 물리적 내용에 영향을 미치지 않아야 합니다.이러한 원리로 인해 위치 게이지 필드 및 회전 게이지 필드라는 새로운 선형 함수 쌍이 도입됩니다.임의의 함수 f에 의한 변위

${\displaystyle x\mapsto x'=f(x)}$

인접한 매핑에 의해 정의된 위치 게이지 필드를 발생시킵니다.

$\displaystyle\mathsf {h}(a,x)\mapto\bar\mathsf {h}(a,x)=mapbar\mathsf {h}(f^{-1}(a,f(x),})}$

이 값은 첫 번째 인수에서 선형이며 a는 상수 벡터입니다.마찬가지로, 임의의 로터 R에 의한 회전은 회전 게이지장을 발생시킨다.

${\displaystyle {\mathsf {\Omega }}(a,x)\mapsto {\mathsf {\Omega }}=R {\bar {\dagger }(a,x) R^{\dagger }-2a\cdot \la RR^{\dagger } }$

우리는 두 개의 다른 공변 방향 도함수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle d=a\cdot {mathsf {h}}+{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {h}}(a)}$

${displaystyle a\mathcal {D}=a\cdot {mathsf {h}}+{\mathsf {h}}(a)}$

또는 좌표계의 사양에 따라

${\displaystyle D_{\mu}=\display_{\mu}+{\tfrac {1}{2}}\Omega_{\mu}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu}=\display_{\mu}+\Omega_{\mu}$

여기서 ×는 정류자 제품을 나타냅니다.

이러한 도함수 중 첫 번째 도함수는 스피너를 직접 다루는 데 더 적합하고 두 번째 도함수는 관측 가능량에 더 적합합니다.리만 텐서의 GTG 유사체는 이러한 도함수의 정류 규칙에서 만들어진다.

${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }}\psi = phctfrac {1}{2}}{\mathsf {R}_{\mu \nu }\psi }$

$({displaystyle {R}}(a\wedge b)={\mathsf {h}}(a\wedge b)}),$

필드 방정식

필드 방정식은 아인슈타인을 가정함으로써 도출된다.힐버트 작용은 게이지 필드의 진화를 지배한다.

$({displaystyle S=\int \left[{1 \over 2 \kappa }\left\mathcal {R}-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}_{\mathrm {M} } } \right]({det {mathsf {h})^-1},\mathrm {d} } ^4x} } } } 。$

두 게이지 필드에 대한 동작의 변동을 최소화하면 필드 방정식이 생성됩니다.

${\displaystyle {G}}(a)-\Lambda a=\kappa {T}}(a)}$

${\displaystyle {D}\wedge(a)=\kappa({S}\cdot {\mathsf {h}}(a)}$

$여기$서$$T(\$displaystyle {T$$})$는 공변 에너지-모멘텀 $텐서$이고 S$(\display\mathcal$${$S})는 공변 스핀 텐서이다.중요한 것은 이러한 방정식은 시공간에서 진화하는 곡률을 제공하는 것이 아니라 평탄한 시공간 내에서 게이지장의 진화를 제공하는 것입니다.

일반 상대성 이론과의 관계

일반상대성이론에 더 익숙한 사람들은 위치 게이지 장에서 4차원과 유사한 방법으로 미터법 텐서를 정의할 수 있다.4가지 벡터${\displaystyle }${${\displaystyle {{}_{}}^{}}$(${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ μ $}$ {$displaystyle$\{$e_{(a)}}$ {{e_{($a$)}}} {{\mu$$}\}의 세트가 도입된다.그리스 지수 μ는 시공간 미터법 텐서와 곱하고 수축하여 상승 또는 하강한다.상위 가설 라틴 지수(a)는 4개의 테트라드 각각에 대한 라벨로, 별도의 민코프스키 메트릭 텐서와 곱셈 및 수축된 것처럼 상승 및 하강한다.GTG는 대략 이러한 지수의 역할을 반대로 합니다.시공간 대수의 선택에서 메트릭은 암묵적으로 민코프스키로 가정된다.다른 인덱스 세트에 포함된 정보는 게이지 필드의 동작에 따라 결정됩니다.

우리는 연관성을 만들어 낼 수 있다.

${\displaystyle g_{\mu}=mathsf {h}^{-1}(e_{\mu })$

${\displaystyle g^{\mu}=바(\mathsf {h}})(e^{\mu })}$

곡선 시공간에서 공변 벡터 및 반변 벡터의 경우, 여기서 단위${\displaystyle }$벡터 {${\displaystyle e_{}}$ μ$$}({style $\{e_{\mu$}\})는 선택된 좌표 기준이다.이들은 규칙을 사용하여 메트릭을 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle g_{\mu \nu}=g_{\mu}\cdot g_{\nu}}$

이 절차에 따라 GTG의 관측 가능한 예측이 대부분 사라지지 않는 스핀에 대해서는 아인슈타인-카르탄-시아마-키블 이론과 일치하고 사라지지 않는 스핀에 대해서는 일반 상대성 이론으로 환원된다는 것을 보여줄 수 있다.그러나 GTG는 글로벌 솔루션에 대해 다른 예측을 하고 있습니다.예를 들어, 점 질량을 연구할 때, "뉴턴 게이지"를 선택하면 걸스트랑-페인레베 좌표의 슈바르츠실트 측정 기준과 유사한 해답이 생성된다.일반상대성이론은 Kruskal-Szekeres 좌표라고 알려진 확장을 허용한다.한편, GTG는 ^[why?]이러한 확장을 금지하고 있습니다.

레퍼런스

외부 링크

• David Hestenes: 중력 이론을 위한 시공간 미적분 – 명시적으로 GTG를 향한 수학적 형식주의 설명