특수 단일군

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학에서, SU(n)로 표시된 n 학위의 특별한 단일 군집단은 결정 인자 1을 가진 n × n 단일 군집계의 Lie 군이다.

더 일반적인 단일 행렬은 특별한 경우 실제 1이 아니라 절대값 1의 복잡한 결정요인을 가질 수 있다.

그룹 연산은 매트릭스 곱하기이다. 특수 단일 군집단은 모든 n×n 단일 군집단으로 구성된 단일 군집 U(n)의 정상적인 하위군이다. As a compact classical group, U(n) is the group that preserves the standard inner product on ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.^[a] It is itself a subgroup of the general linear group, ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb$${C} )}$.

SU(n) 그룹은 입자물리학의 표준 모델, 특히 전기약 상호작용의 SU(2), 양자 색역학에서의 SU(3)에서 광범위한 적용을 발견한다.^[1]

가장 단순한 경우인 SU(1)는 하나의 요소만을 갖는 사소한 그룹이다. 그룹 SU(2)는 규범 1의 쿼터니온 그룹과 이형성이며, 따라서 3-sphere와 차이가 있다. 단위 쿼터는 3차원 공간에서 회전을 나타내는 데 사용될 수 있기 때문에(서명까지) SU(2)부터 커널이 {+I, -I인 회전 그룹 SO(3)^[b]까지, SU(2)는 또한 스핀(3)의 대칭 그룹 중 하나인 스핀(3)과 동일해 회전의 스핀(spin)을 스피너로 나타낼 수 있다.

특성.

특수 유니터리 그룹 SU(n)는 진짜 리 그룹(복합 리 그룹은 아니지만)이다. 실제 다지관으로서의 치수는 n - 1이다². 토폴로지로는 콤팩트하고 간단하게 연결된다.^[2] 대수학적으로 단순한 Lie 그룹(Lie 대수학은 단순하다는 뜻; 아래 참조)이다.^[3]

SU(n)의 중심은 주기 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}/n\mathbb{}}$ Z ${\$에 대해 이형이며, ζ의 n^th 루트와 ×의 n×n ID 매트릭스에 대해 대각 행렬 ζ I로 구성된다.

그것의 외부 자동모형 집단은, n 3 3의 경우, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ 2 ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$이고$,$ SU(2)의 외부 자동모형 집단은 사소한 집단이다.

순위 n - 1의 최대 토러스(maximal torus)는 결정 인자 1이 있는 대각 행렬 집합에 의해 주어진다. Weyl 그룹은 서명한 순열 매트릭스로 대표되는 대칭 그룹 S이다_n(결정 인자가 1인지 확인하는 데 필요한 기호).

$s{\displaystyle \mathfrak{}\mathfrak{u}}$ (${\displaystyle n}$) ${\displaystyle {\mathfrak{su}(n$에 의해 표시된 SU(n)의 Lie 대수는 일반 정류자를 Lie 괄호로 하여 추적 없는 반헤르미티아누스 n×n 복합 행렬 집합으로 식별할 수 있다. 입자 물리학자들은 종종 다른 동등한 표현을 사용한다. -i 곱하기 -i에 의해 주어지는 Lie bracket과 함께 흔적도 없는 에르미타인 n×n 복합 행렬의 집합.

리 대수

${\displaystyle \mathrm{SU}}$ ${\displaystyle }$(n${\displaystyle }$$){\displaystyle {\mathfak{su}(n)}$의 Lie 대수 ${\displaystyle \mathfrak{u}}$(${\displaystyle n}$)} ${\displaystyle \operatorname {SU}(n$)}(n$)$은 미량 0의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystysty$ n$\time$ n$}$ sque-Hermitian$$ 행렬로 구성된다$$.^[4] 이 (실제) Lie 대수에는 차원 $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$- 1 ${\displaystyle$ n$^{2}-1}$이 있다$.$ 이 Lie 대수학의 구조에 대한 자세한 정보는 아래의 "Lie 대수 구조" 절에서 찾을 수 있다.

기초표현상

물리학 문헌에서 리 대수학을 (꼬치-헤르미티아어보다) 행렬의 미량-제로 에르미티아어(Skew-Hermitian) 행렬의 공간으로 식별하는 것이 일반적이다. 즉 물리학자들의 리 대수학은 수학자들과$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 인자에 의해 다르다. 이 규약을 통해, 사람들은 추적 불가능한 에르미트 복합체 n×n 행렬인 발전기 T를_a 선택할 수 있다. 여기서:

${\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{1}{2n}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{1}:{2}}\sum _{c=1}^{n^{n1}-1}\왼쪽(if_{abc}+d_{abc}\오른쪽)T_{c}}$

여기서 f는 구조 상수이고 모든 지수에서 대칭인 반면 d-diam은 모든 지수에서 대칭이다.

그 결과, 안티코무터와 정류자는 다음과 같다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\왼쪽\{{T_{a},T_{b}\오른쪽\}&={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}\\\왼쪽[왼쪽]T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{n^{n1}-1}f_{abc}T_{c}\,\end{정렬}}}$

정류 관계에서$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 인자는 물리학 규약에서 발생하며 수학자의 규약을 사용할 때는 존재하지 않는다.

우리는 또한 가져갈 수도 있다.

${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{prox}={\frac {n^{n1}-4}{n}}}\cape _{ab}}}}}$

정상화 협약으로

부선 표현

(n² - 1) - 차원 부호 표현에서 생성자는 (n² - 1) × (n² - 1) 행렬로 표현되며, 그 행렬의 원소는 구조 상수 자체에 의해 정의된다.

${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$

그룹 SU(2)

SU(2)는 다음과 같은 그룹이다.^[5]

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} , \alpha ^{2}+ \beta ^{2}=1\right\}~,}$

여기서 오버라인은 복잡한 결합을 나타낸다.

S가³ 있는 차이점형성

If we consider ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ as a pair in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ where ${\displaystyle \alpha =a+bi}$ and ${\displaystyle \beta =c+di}$, then the equation ${\displaystyle \alpha ^{2}+ \beta ^{2}=1}$ becomes

${\displaystyle \ \ a^{2}}$ ${\디스플레이 스타일 +}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\디스플레이 스타일 +}$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\디스플레이 스타일 +}$ ${\displaystyle d^{2}=1}$

이것은 3-sphere S의³ 방정식이다. 이것은 또한 내장: 지도를 사용하여 볼 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}&\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )&={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ denotes the set of 2 by 2 complex matrices, is an injective real linear map (by considering ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ diffeomorphic to ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ and ${\displaystyle \operatorname {M}$$(2,\mathbb {C})$R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}에 $$대한 차이점$$$.$ 따라서 S로³ 표시된 3-sphere(계수가 1이므로)에 대한 1의 제한은 $M{\displaystyle \mathrm{}(2}$ ,${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {M}(2,\mathb {C})$의 콤팩트 하위 관리인$$φ(S³) = SU(2)에 3-sphere를 내장하는 것이다.

따라서 다지관으로서 S는³ SU(2)와 다른 형태로서 SU(2)가 단순하게 연결되어 있고, S는³ 콤팩트하고 연결된 Lie 그룹의 구조로 귀속될 수 있음을 알 수 있다.

단위 쿼터니온을 갖는 이등

복잡한 행렬:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}\quad(a,b,c,d\in \mathb {R})}$

쿼터에 매핑할 수 있음:

${\displaystyle a\,{\hat {1}+b\,{\hat {i}+c\,{\hat {j}+d\,{\hat {k}}}}}$

이 지도는 사실 이형성이다. 또한 행렬의 결정요인은 해당 쿼터의 제곱규범이다. 분명히 SU(2)의 어떤 행렬도 이 형식이며, 결정 인자 1을 가지고 있기 때문에 해당 쿼터는 표준 1을 가진다. 따라서 SU(2)는 단위 쿼터니온에 이형성이다.^[6]

공간 회전에 대한 관계

모든 단위 쿼터는 자연적으로 3차원의 공간 회전에 연관되며, 2쿼터니온의 산출물은 관련 회전의 구성과 연관된다. 게다가, 모든 회전은 이 패션에서 정확히 두 개의 단위 쿼터로부터 발생한다. 요컨대, SU(2)에서 SO(3)까지 2:1의 허탈적 동형성이 있으며, 결과적으로 SO(3)는 지수군 SU(2)/{±I에 이형성이며, SO(3)의 기초가 되는 다지관은 3-sphere S의³ 대척점을 식별하여 얻으며, SU(2)는 SO(3)의 범용 커버가 된다.

리 대수

SU(2)의 Lie 대수학은 추적 0이 있는 2 ${\displaystyle \times }$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 2\time$ 2} skew-Hermitian$$ 행렬로 구성된다.^[7] 명백하게, 이것은

${\displaystyle {\mathfrak{su}}=\좌측\{\\begin{pmatrix}i\ a&-{\\overline {z}\z&i\ a\end{pmatrix}:\in \mathb {R},z\in \mathb {C}\rig}~}}}}}$

Lie 대수학은 다음 행렬에 의해 생성된다.

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$

위에 명시된 일반적인 요소의 형태를 가지고 있다.

These satisfy the quaternion relationships ${\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}$ ${\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}$ and ${\displaystyle u$$_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}.}$ 따라서$$ 정류자 브래킷은 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\u_{1}{1},\lift[u_{1}, u_{2}\right]=2\ u_{3}\{1}.}$

The above generators are related to the Pauli matrices by ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$ and ${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$ This representation is routinely used in quantum mechanics to represent the spin of funda전자와 같은 정신적 입자 그것들은 또한 루프 양자 중력에서 우리의 3가지 공간 차원에 대한 설명의 단위 벡터 역할을 한다.

Lie 대수학은 SU(2)의 표현을 알아내는 역할을 한다.

그룹 SU(3)

${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle SU(3)}$은 결정 인자가 1인 3 × 3의 단일 행렬로 구성된 8차원 단순 Lie 그룹이다.

위상

그룹 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$( ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle SU(3)}$은 단순하게 연결된 컴팩트한 Lie 그룹이다$$.^[8] 그것의 위상학적 구조는 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 6 ${\$^{$3}\cong \mathb {R}$^{$6}}}$의 $단위{\displaystyle {}^{}}$ 구체 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$5 {\$displaystyle S^{$5}}}}에 대해 SU(3)가 전이적으로 작용한다는 점에 유의하면 이해할 수 있다$.$ 구체의 임의 지점의 안정성은 SU(2)에 대해 이형성이며, 이는 토폴로지로는 3-sphere이다. 그 다음 SU(3)가 $섬유{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 3${\$$S$^{$3}}}$을 가진 베이스 S 5${\$ S$^{5}$ 위에 있는 섬유다발이라는 것을 따른다$.$ 섬유와 베이스가 단순하게 연결되어 있기 때문에 SU(3)의 단순한 연결성은 표준 위상학적 결과(섬유다발에 대한 호모토피피피 그룹의 긴 정확한 순서)를 통해 따라 이루어진다.).^[9]

The ${\displaystyle SU(2)}$-bundles over ${\displaystyle S^{5}}$ are classified by ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} _{2}}$ since any such bundle can be constructed by looking at trivial bundles on the two hemispheres ${\display$$Style S_{N}^{5$},$S_{S}^{$5}}}}}을$$(를) 보고 교차로에서 전환 기능을 살펴보니 S ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{4}$에 해당하는 호모토피인 것이다$.$

${\displaystyle S_{N}^{5}\cap S_{S}^{5}\simeq S^{4}}}}$

그런 다음, 이러한 모든 전환 기능은 지도 호모토피 등급에 따라 분류된다.

${\displaystyle \left[S^{4},S^{4}\right]\left[S^{3}\right]=\pi _{4}\left(S^{3}\rig)\cong \mathb {Z}/2}$

and as ${\displaystyle \pi _{4}(SU(3))=\{0\}}$ rather than ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$, ${\displaystyle SU(3)}$ cannot be the trivial bundle ${\displaystyle SU(2)\times S^{5}\cong S^{3}\times S^{5}}$, and therefore must be the unique 비독점(비독점) 묶음. 이는 호모토피 그룹에서 유도된 긴 정확한 순서를 보면 알 수 있다.

표현 이론

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$( $){\displaystyle SU(3)}$의 표현 이론은 잘 이해되어 있다$$.^[10] 복잡한 Lie 대수 ${\displaystyle \mathfrak{l}}$(${\displaystyle 3}$; ${\displaystyle C\mathbb{}}$ $){\displaystyle {\mathfrak{sl}}(3;\mathb{C} )}$의 관점에서 이러한 표현에 대한 설명은 Lie 대수 표현에 관한 기사 또는 SU(3)에 대한 Clbsch-Gordan 계수에서 찾을 수 있다.

리 대수

${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ 대수 s ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ( 3${\displaystyle }$) {\$displaystyle {\mathfrak{\mathfrak$}}{\$displaystyle SU$(3$)}$의 생성기 T는 정의(입자물리학, Emitian) 표현에서$$ 다음과 같다$.$

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{a}{2}}~,}$

여기서 Gell-Mann 행렬은 Pauli 행렬의 SU(3) 아날로그 SU(2):

${\displaystyle{\begin{정렬}\lambda _{1}={}&,{\begin{pmatrix}0&, 1&, 0\\1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}},&, \lambda _{2}={}&,{\begin{pmatrix}0&, -i&, 0\\i&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}},&, \lambda _{3}={}&,{\begin{pmatrix}1&, 0&, 0\\0&, -1&, 0\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&am.p/&{\begin{pmatrix}0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0\end{pmatrix}},&, \lambda _{5}={}&,{\begin{pmatrix}0&, 0&, -i\\0&0&0\\i&, 0&, 0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&,{\begin{pmatrix}0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1\\0&, 1&, 0\end{pmatrix}},&, \lambda _{7}={}&,{\begin{pmatrix}0&, 0&, 0\\0&, 0&, -i\\0&, i&, 0\end{pmatrix}},&, \lambda _{8}={\frac{1}{\sqrt{3}}}&{\begin{pmatrix}1&, 0&, 0\\0&, 1&, 0\\0&, 0&, -2\end{pma.trix}}.\end{정렬}}}$

이 λ들은_a 필요에 따라 리 대수학의 모든 미량 없는 에르미트 행렬 H에 걸쳐 있다. λ₂, λ₅, λ은₇ 대칭성이라는 점에 유의한다.

그들은 관계에 복종한다.

$왼쪽[왼쪽] 디스플레이 스타일T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\왼쪽\{T_{a},T_{b}\오른쪽\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aigned}}$

또는 동등하게

$style$$I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c$

f는 다음과 같이 주어지는 Lie 대수학의 구조 상수다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$

순열화에 의해 이것들과 관련이 없는 다른 모든_abc f는 0이다. 일반적으로 집합 {2, 5, 7}^[c]에서 홀수 개수의 지수를 포함하지 않으면 소멸한다.

대칭 계수 d는 값을 취함

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{정렬}}}$

{2, 5, 7} 집합의 인덱스 수가 홀수일 경우 해당 인덱스는 사라진다.

tr(H²) = 2로 정규화된, 무궤도 3×3 Emidantian 행렬 H에 의해 생성된 일반 SU(3) 그룹 요소는 2차 행렬 다항식으로 H:^[11]

${\displaystyle {\begin}\exp(i\theta H)={}&\왼쪽[-{\frac{1}{3}}}}I\sin \좌(\varphi +{\frac {2\pi }{3}\우)\sin \좌(\varphi -{\fraci -{2\pi }}{3}\우)-{\frac {1}{2}{\sqrt{3}}}-{varphi}-{1}-{1}}}}}}:{4}}}}}}}.H^{2}\오른쪽]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt{3}}}~i\ta \sin(\varphi )\오른쪽)}}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}\right)\cos \reft(\varphi -{\frac {2\pi }}{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\왼쪽[-{\frac{1}{3}}}~~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}\right)-{\frac {1}{{2}}}H\sin \left(\varphi +{2\pi }}}{3}\frac{1}{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}H^{2}\오른쪽]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt{3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{2\pi }{3}\right)\right)\right)}}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\오른쪽)}}\\[6pt]&{}+\왼쪽[-{\frac{1}{3}}}~~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}\right)-{\frac {1}{1}{2\sqrt{3}}}~H\sin \left(\varphi -{2\pi }}{3}}}}-{1}-{4}}}}}}}}}}}-}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}H^{2}\right]{\frac \exp \left({\frac {2}{\sqrt{3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{2\pi }}}{3}\right)\right)}}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}\오른쪽)}}}\end{arged}}}}}$

, where

${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}\좌측[\arccos \좌측({\frac {3}{\sqrt{3}}}}}{2}}\det H\우측)-{\frac {}{}{2}}\pi}\우측).}$

리 대수 구조

위에서 언급한 바와 같이, ${\displaystyle \mathrm{SU}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$$){\displaystyle${\$mathfak{su}(n)}$의 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ s ${\displaystyle \mathfrak{u}}$(${\displaystyle n}$)}$${\$displaysty \operatorname {SU}(n)}(n)}}$의 Lie ${\displaystyle \times }$ $\\time$ n$}-$Hermitian$$ 행렬로 구성된다$$.^[12]

리 대수 $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{u}}$($){\displaystyle {\mathfak{su}}(n)}}$의 복잡화는 ${\displaystyle \mathfrak{s}}$(${\displaystyle n\mathbb{}}$; C$){\mathfrak {sl}(n;\mathb {C})$이며$,$ 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaysty n\times n}$ 복합$$ 행렬의 공간이다.^[13] Cartan 하위 골격은 추적 0이 있는 대각 행렬로 구성되며,^[14] 이 행렬은 항목 합계가 0인$$ C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 벡터로 식별된다. 그런 다음 루트는 (1, -1, 0, ..., 0)의 모든 n(n - 1) 순열로 구성된다.

단순한 뿌리의 선택은

${\displaystyle {\buffected}(&1,-1,\buffer,0,0,0),\\(&0,0,0,0,\vdots \\\(&0,0,0,0,\buffer,1,-1)\\&\vdots \\(&#1,1,-1).\end{정렬}}}$

따라서, SU(n)는 n - 1등급이며, Dynkin 도표는 A가_n−1 부여한다. n - 1 노드의 체인: ....^[15] 그것의 카르탄 행렬은

$#\displaystyle \\pmatrix}2&#1&#2&#1&#1&#1&#1&#1&#1&#1&#1&#0\\\vdots &\vdots &\\vdots &#0&0&#2&#2&#2&#{pmatrix}}.}$

그것의 Weyl 그룹 또는 Coxeter 그룹은 (n - 1)-심플렉스 대칭 그룹인_n S이다.

일반화된 특수 단일군

필드 F의 경우, F에 대한 일반화된 특수 단일 군집, SU(p, q; F)는 n = p + q에 대한 벡터 공간의 결정요인 1의 모든 선형 변환의 그룹이며, 이 경우 은둔형, 은둔형(p, q)이 불변한다. 이 집단은 종종 F에 걸쳐서 p q의 특별한 단일 서명 집단으로 언급된다. 필드 F는 정류 링으로 대체될 수 있으며, 이 경우 벡터 공간은 자유 모듈로 대체된다.

특히, ${\displaystyle \mathrm{GL}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n\mathbb{}}$, R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {GL}(n,\mathb {R}$)에서 시그니처 p q의 Emidantian 행렬 A를 수정한 다음$,$ all

${\displaystyle M\in \operatorname {SU}(p,q,\mathb {R})}$

만족시키다

${\displaystyle {\reasoned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{정렬}}}$

흔히 사람들은 링이나 필드를 참조하지 않고 수(p, q)라는 표기법을 보게 된다. 이 경우 참조되는 링이나 필드는 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {C$} }$이며 이는 고전적인 Lie 그룹 중 하나를 의미한다. $F{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$인 경우 A에 대한 표준 선택은

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0>I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}.}$

$그러나{\displaystyle \mathbb{}}$ C ${\$ {$C}$의 하위 링에 대한 제한 하에 더 많은 동작을 보이는 특정 치수에 대해서는 A를 더 잘 선택할 수 있다$.$

예

An important example of this type of group is the Picard modular group ${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$ which acts (projectively) on complex hyperbolic space of degree two, in the same way that ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$ acts (projecti차원 2의 실제 쌍곡선 공간에 대해) 2005년에 Gabor Franics와 Peter Lax는 HC에² 대한 이 그룹의 행동을 위한 명시적인 기본 영역을 계산했다.^[16]

다른 예로는 ${\displaystyle \mathrm{SL}}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle (1,}$ ${\displaystyle 1\mathbb{}}$,${\displaystyle }$; C${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathb {$${\displaystyle C\mathbb{}\}}$ )이(가) 있는데$,$ 이는 ${\displaystyle \mathrm{SL}}$ ⁡${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$R ) {\$displaysty \operatorname {SL} (2,\mathb {R} )}$에 이형이다$.$

중요한 부분군

물리학에서 특별한 단일 집단은 상수 대칭을 나타내기 위해 사용된다. 대칭이 깨지는 이론에서는 특수한 단일 집단의 하위 집단을 찾을 수 있는 것이 중요하다. GUT물리학에 중요한 SU(n)의 부분군은 p > 1, n - p > 1이다.

${\displaystyle \operatorname {SU}(n)\supset \operatorname {SU}(p)\time \operatorname {SU}(n-p)\time \operatorname {U}(1),}$

여기서 ×는 직접 생산물을 나타내며, 원 그룹으로 알려진 U(1)는 절대값 1을 가진 모든 복잡한 숫자의 곱셈 그룹이다.

완전성을 위해 직교 및 공감 부분군도 있다.

${\displaystyle {\begin}\operatorname {SU}(n)&\supset \operatorname {SO}(n),\\\\operatorname {SU}(2n)&\supset \operatorname {Sp}(n)}(n).\end{정렬}}}$

SU(n)의 순위는 n - 1이고 U(1)의 순위는 1이므로, 유용한 점검은 부분군 순위의 합계가 원래 군단 순위에 못 미치거나 같음을 알 수 있다. SU(n)는 다양한 다른 Lie 그룹의 하위 그룹이다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{접형골 후두골 연골 결합}(2n)&\supset\operatorname{SU}(n)\\\operatorname{파}(n)& \supset\operatorname{SU}(n)\\\operatorname{스핀}(4)&,=\operatorname{SU}(2)\times,\operatorname{SU}(6)\\\operatorname{E}_{7}& \supset,\operatorname{SU}(8)\ \supset{SU}(2)\\\operatorname{E}_{6}& \operatorname.\\operatorname{G}_{2}&\supset \operatorname {SU}(3)\end{arged}}$

E₆, E₇ 및 G에₂ 대한 스핀 그룹 및 단순 Lie 그룹을 참조하십시오.

또한 우발적 이형성(SU(4) = 스핀(6) , SU(2) = ^[d]스핀(3) = Sp(1) , U(1) = 스핀(2) = SO(2) 등이 있다.

마침내 SU(2)가 SO(3)의 이중 커버 그룹이라는 것을 언급할 수 있는데, 이는 비-상대적 양자역학에서 2-spiner의 회전 이론에 중요한 역할을 하는 관계다.

그룹 SU(1,1)

어디 너 ∗{\displaystyle ~u^{*}~}톤의 복소 켤레 행렬.을 의미한다 SU(1,1)){(u'v'v∗ 너 ∗)∈ M(2, C):너 너 ∗− v의 v∗=1},{\displaystyle SU(1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&, v\\v^{*}&, u^{*}\end{pmatrix}}:)M(2,\mathbb{C})\in}=\ 1\right\}~,~ uu^{*}-vv^{*}\그는 complex number u.

이 그룹은 SO(2,1)와 SL(2,1), SL(^[17]2,84)과 이형이며, 여기서 쉼표로 구분된 숫자는 그룹이 보존하는 2차 형태의 서명을 가리킨다. SU(1,1)의 정의에서$$ ${\displaystyle {}^{}}$ u ${\displaystyle {\ast }^{}}$- ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ $displaystyle ~uu^{*}-v^{*}~}$라는 표현은 실제 구성요소와 함께 u와 v가 확장될 때 등방성 2차 형태가 되는 은둔형이다.

이 집단의 초기 등장에는 1852년 제임스 코클이 도입한 코쿼터니온의 "단위구"가 있었다. 내버려두다

${\displaystyle j\,=\,{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k\,={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i\,=\,{\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$

그리고 jk=[0− 110])− 나는,{\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&, -1\\1&^;~0\end{bmatrix}}=-i~,~}나는 j k=2≡[1001],{\displaystyle ~i\,j\,k\,=\,I_{2}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}1&, 0\\0&, 1\end{bmatrix}}~,~}은2×2 단위 행렬, k나 )j,{\dis$플레이스타일 ~k\,i\,=\,j~~,}$과(${\displaystyle 와}$) ${\displaystyle i}$j =$$k, {\$displaystyle \;i\,j$=k$\;,}$과(와) 원소 i, j, j, k all anticommute, quaternones. 또한 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$은(는) 여전히 -I₂(ID 매트릭스의 음수)의 제곱근인$$ 반면, ${\displaystyle j{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+$$I_{2}~}$은(는) 쿼터니언과 달리 그렇지 않다. 쿼터니온과 코쿼터니온 모두에 대해 모든 스칼라 양은 I의₂ 암묵적 배수로 취급되며 1로 표기된다.

The coquaternion ${\displaystyle ~q\,=\,w+x\,i+y\,j+z\,k~}$ with scalar w, has conjugate ${\displaystyle ~q\,=\,w-x\,i-y\,j-z\,k~}$ similar to Hamilton's quaternions. 2차 형태는 ${\displaystyle q{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ =${\displaystyle {}^{}}$w ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- z ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$. ${\displaystyle ~q\,q^{*}\,=\,w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Note that the 2-sheet hyperboloid ${\displaystyle ~\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\}~}$ corresponds to the imaginary units in the algebra so that any point p on this hyperboloid can be used as a pole of a sinusoidal wave according to Euler's formula.

하이퍼볼로이드는 SU(1,1) 하에서 안정적이며 SO(2,1)로 이형성을 나타낸다. 양극화 연구에서 언급된 것처럼 파형의 극의 변동성은 타원형 양극화를 극 p${\displaystyle p}$ ± $[\$ i$~}$의 파형의 타원형 형태의 표시로 볼 수 있다$.$ 1892년 이후 사용된 푸앵카레 구체 모델은 2시트 하이퍼볼로이드 모델과 비교되었다.^[18]

SU(1,1)의 요소를 뫼비우스 변환으로 해석하면 단위 디스크를 안정되게 남기 때문에 이 그룹은 쌍곡면 기하학의 푸앵카레 디스크 모델의 운동을 나타낸다. 실제로, 복잡한 투영 라인의 점 [z, 1 ]에 대해, SU(1,1)의 작용은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}\,{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\,=\,[\;u\,z+v^{*},\,v\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}},\,1\;\right]}$

since in projective coordinates ${\displaystyle (\;u\,z+v^{*},\;v\,z+u^{*}\;)\,\thicksim \,\left(\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}},\;1\;\right)~.$$}$

${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u}$ v ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle s\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$ v${\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \Re }$( ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u}$ v${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \;suv+{\overline {suv}\,=\,2\,\re \,{\\\\\\\\\\\\\},}개$의 복잡한 산술 프로그램

${\displaystyle {\bigl }\,u\,z+v^{*}{\bigr }^{2}\,=\,S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl }\,v\,z+u^{*}{\bigr }^{2}\,=\,S+1~,}$

어디에 S)vv(zz∗+1)∗+2ℜ(u'v'z).{\displaystyle ~S\,=\,v\,v^{*}(z\,z^{*}+1)+2\,\Re \,{\bigl(}\,uvz\,{\bigr)}~.}그러므로, zz∗<1⟹ 너 z+v∗<>v z+너 ∗{\displaystyle ~z\,z^{*}<, 1~\implies ~{\bigl}uz+v^{*}{\bigr}<,{\bigl. }\,v\,z+u^{*$}\,{\bigr }~}$ 이들의 비율이 열린 디스크에 있도록.^[19]

참고 항목

• 유니터리 군
• PSU(n) 프로젝트형 특수 단일군
• 직교군
• 파울리 행렬의 일반화
• SU(2)의 표현 이론

각주

인용구

참조

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Iachello, Francesco (2006), Lie Algebras and Applications, Lecture Notes in Physics, 708, Springer, ISBN 3540362363