슈퍼그룹(물리학)

슈퍼그룹이라는 개념은 그룹이라는 개념의 일반화다.즉, 모든 슈퍼그룹은 자연적인 그룹 구조를 지니고 있지만, 주어진 그룹을 슈퍼 그룹으로 구성하는 방법은 하나 이상 있을 수 있다.슈퍼그룹은 그들에게 평활함수의 개념이 잘 정의되어 있다는 점에서 거짓말 그룹과 같다.그러나 기능에는 짝수 부품과 홀수 부품이 있을 수 있다.더욱이 슈퍼그룹에는 대표이론의 대부분을 결정한다는 점에서 리그룹에 대한 리 대수학과 비슷한 역할을 하는 슈퍼 리 대수학(Super Lie 대수학)이 있으며, 이것이 분류의 출발점이다.

세부 사항

좀 더 공식적으로, Lie 슈퍼 그룹은 곱셈 형태론 ${\displaystyle \mu }$: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \times }$ G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu :G\time G\wrightarrow G},$반전 $형태론{\displaystyle }$ i${\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle i:$G$\rightarrow G}$ 및$$ 단위 형태론 ${\displaystyle \mathrm{e}}$: 1${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e:1\rightarrow G}$을(를) 슈퍼맨아이폴드의 범주에 속하는 그룹 오브젝트로 만든다.이것은 교감 도표로 공식화된 그룹의 통상적인 연관성과 반전 공리는 계속 유지된다는 것을 의미한다.모든 다지관은 슈퍼 다지관이기 때문에, 리 슈퍼 그룹은 리 그룹이라는 개념을 일반화한다.

가능한 많은 슈퍼그룹들이 있다.이론물리학에 가장 관심이 있는 것은 푸앵카레 그룹이나 정합집단을 확장하는 것이다.특히 관심 있는 것은 정형외과 그룹 Osp(M N)^[1]와 슈퍼 유니터리 그룹 SU(M N)이다.

등가 대수학적 접근법은 슈퍼다지관의 고리에 의해 슈퍼다지관이 결정되며, 슈퍼다지관의 형태론은 반대 방향의 함수들, 즉 슈퍼다지폴드의 범주가 c와 반대 방향이라는 대수적 동형성을 가진 1 대 1에 해당한다는 관측에서 출발한다.부드러운 등급의 정류 기능을 가진 알헤브라의 식도리리 슈퍼그룹을 정의하는 정류 다이어그램의 모든 화살표를 반전시키면 슈퍼그룹 위의 함수가 Z-graded₂ Hopf 대수학의 구조를 가지고 있음을 알 수 있다.마찬가지로 이 홉프 대수학의 표현은 Z학점₂ 코모듈로 판명되었다.이 호프 대수학은 슈퍼그룹의 전지구적 특성을 부여한다.

이전의 홉프 대수학의 이중인 또 다른 관련 홉프 대수학이 있다.원점에서 등급이 매겨진 미분 연산자의 호프 대수학으로 식별할 수 있다.대칭의 국부적 특성만 제공한다. 즉, 극소수의 초대칭 변환에 대한 정보만 제공한다.이 호프 대수학의 표현은 모듈이다.이 홉프 대수학은 등급이 없는 경우와 마찬가지로 순수하게 대수학적으로 리 슈퍼알지브라(Lie superalgebra)의 보편적 포락 대수학이라고 설명할 수 있다.

유사한 방법으로, 아핀 대수학 슈퍼그룹을 초알지브라질 아핀 변종 범주에서 그룹 오브젝트로 정의할 수 있다.아핀 대수학 슈퍼 그룹은 초폴리노멀의 홉프 대수학과 유사한 관계를 가지고 있다.기하학적 관점과 대수학적 관점을 결합한 계략의 언어를 사용하여, 대수적 슈퍼그룹 계략은 슈퍼 아벨리아 품종을 포함한 것을 정의할 수 있다.

메모들

참조

• nLab의 수퍼그룹