측지학

Geodesic

기하학에서 측지선(/ddːiː)입니다.δdsskk, -o--, -didisskk, -zkk/)[1][2]일반적으로 표면 또는[a] 보다 일반적으로 리만 다양체 내의 두 점 사이의 최단 경로(호)를 나타내는 곡선이다.이 용어는 연결이 있는 미분 가능한 다양체에서도 의미가 있습니다.이것은 "직선" 개념의 일반화이다.

측지학이라는[b] 명사와 형용사[c] 측지학은 지구의 크기와 모양을 측정하는 과학인 측지학에서 유래했지만, 많은 기본 원리들은 어떤 타원체 기하학에도 적용될 수 있다.원래 의미에서 측지선은 지구 표면의 두 지점 사이의 가장 짧은 경로였다.구형 지구의 경우 대원(대원 거리 참조)의 세그먼트입니다.그 후 이 용어는 더 추상적인 수학적 공간으로 일반화되었습니다. 예를 들어, 그래프 이론에서는 그래프 꼭지점/노드 사이의 측지선을 고려할 수 있습니다.

리만 다양체 또는 서브매니폴드에서 지오데식들은 사라져가는 지오데식 곡률을 갖는 특성이 있다.보다 일반적으로, 아핀 접속이 존재하는 경우, 측지선은 접선 벡터가 그것을 따라 전송될 경우 평행하게 유지되는 곡선으로 정의된다.이를 리만 메트릭Levi-Civita 연결에 적용하면 이전 개념을 회복합니다.

측지학은 일반 상대성 이론에서 특히 중요하다.일반상대성이론에서 시간상 측지학이란 자유낙하 시험입자의 움직임을 말한다.

서론

곡선공간에서 주어진 두 점 사이의[a] 국소 최단 경로는 리만 다양체로 간주되며 곡선길이 방정식(R의 열린 간격에서 공간까지의 함수 f)을 사용하여 정의되며, 그 다음 변동의 미적분을 사용하여 점 사이의 이 길이를 최소화함으로써 정의될 수 있다.최단 경로를 매개 변수화하는 다양한 방법의 무한 차원 공간이 존재하기 때문에 여기에는 몇 가지 사소한 기술적 문제가 있습니다.곡선의 집합을 "정속도로" 파라미터화된 것으로 제한하는 것이 더 간단하다. 즉, 곡선을 따라 f(s)에서 f(t)까지의 거리가 s-t와 같다. 동등하게 곡선의 에너지라고 불리는 다른 양을 사용할 수 있다. 에너지를 최소화하는 것은 측지학(여기서 "정속도로"는 동일 방정식으로 이어진다.최소화의 [citation needed]결과).직관적으로 두 점 사이에 늘어선 탄성 띠는 을 축소하고, 그렇게 함으로써 에너지를 최소화할 수 있다는 점에 주목함으로써 이 두 번째 공식을 이해할 수 있다.그 결과 띠의 모양은 측지선이다.

구면에서 정반대로 마주보는 두 점의 경우와 마찬가지로 두 점 사이의 여러 다른 곡선이 거리를 최소화할 수 있습니다.이러한 경우, 이러한 곡선 중 하나가 측지선이다.

측지선의 연속된 세그먼트는 다시 측지선이다.

일반적으로 측지학은 두 점 사이의 "가장 짧은 곡선"과 동일하지 않지만 두 개념은 밀접하게 관련되어 있다.차이점은 측지학이 국소적으로 점 사이의 최단 거리일 이고 "정속"으로 매개변수화된다는 것이다.구상의 두 점 사이의 대원 에서 "먼 길"을 도는 것은 측지학이지만 점 사이의 최단 경로는 아닙니다.실수선 단위 간격에서 t {\ t t 0과 1 사이의 최단 경로를 제공하지만, 점의 대응하는 움직임의 속도가 일정하지 않기 때문에 측지학이 아니다.

측지학은 일반적으로 리만 기하학과 더 일반적으로 미터법 기하학 연구에서 볼 수 있다.일반 상대성 이론에서, 시공간에서의 측지학은 중력만의 영향을 받는 입자의 움직임을 묘사한다.특히, 낙하하는 암석, 궤도를 도는 위성, 또는 행성 궤도의 모양은 모두 곡면 시공간에서의 측지학이다[d].보다 일반적으로, 하위 리만 기하학의 주제는 물체가 자유롭지 않을 때, 그리고 그들의 움직임이 다양한 방식으로 제한될 수 있는 경로를 다룬다.

이 기사는 리만 다양체의 경우 측지학의 정의, 발견 및 존재 증명에 관련된 수학적 형식주의를 제시한다.기사 Levi-Civita 연결의사-리만 다양체의 보다 일반적인 경우를 논하고 측지학(일반 상대성 이론)은 일반 상대성의 특별한 경우를 더 자세히 논한다.

만약 곤충이 표면에 놓여 "앞으로" 계속 걷는다면, 정의상, 그것은 측지선을 추적할 것이다.

가장 친숙한 예는 유클리드 기하학의 직선이다.구체에서 측지선의 이미지는 큰입니다.A 지점에서 B 지점까지의 가장 짧은 경로는 A와 B를 통과하는 대원의 짧은 호로 주어진다.A와 B가 대척점일 경우 이들 사이에는 최단 경로가 무한히 많이 존재합니다.타원체의 측지학은 구체보다 더 복잡한 방식으로 작용합니다. 특히, 일반적으로 닫히지 않습니다(그림 참조).

삼각형

구면상의 측지삼각형입니다.

측지삼각형은 측지학이 소정의 표면상의 3개 점 중 각 쌍을 접합함으로써 형성된다.구면에서 측지선은 구형의 삼각형을 이루는 거대한 원호이다.

양(위), 음(중) 및 영(아래) 곡면 공간의 측지 삼각형.

메트릭 지오메트리

미터법 기하학에서 측지선이란 모든 국소적으로 거리 최소화된 곡선입니다.보다 정확하게는, 실수간격 I에서 메트릭 공간 M까지의 곡선 θ : I → M은 임의의 t1 δ2 I에 대해 t의 근방 J가 존재하도록 상수 v ≤ 0이 존재한다면 측지선이다.

이것은 리만 다양체에 대한 측지선 개념을 일반화한다.그러나 미터법 기하학에서 고려된 측지학은 종종 자연 매개변수화를 갖추고 있다. 즉, 위의 항등식 v = 1 및

모든 t1, t2 , I에 대해 마지막 등식이 충족되면 측지선은 최소 측지선 또는 최단 경로라고 불립니다.

일반적으로 미터법 공간에는 상수 곡선을 제외하고 측지학이 없을 수 있습니다.다른 극단에서는 길이 메트릭 공간 내의 임의의 두 점은 정류 가능한 패스의 최소 시퀀스에 의해 결합되지만, 이 최소 시퀀스는 측지학으로 수렴할 필요는 없다.

리만 기하학

미터법 텐서 g를 갖는 리만 다양체 M에서, 연속 미분 가능 곡선의 길이 L은 다음과 같이 정의된다. θ : [a,b] → M

M의 두 p와 q 사이의 거리 d(p, q)는 θ(a) = p 및 θ(b) = q가 되도록 모든 연속적이고 구간적으로 연속적으로 미분 가능한 곡선 θ : [a,b] → M에 걸쳐 취해진 길이의 최소값으로 정의되지만, 리만 기하학에서 모든 지오데ics는 국부적 거리 조정 경로가 아니다.실제로 국소적으로 거리를 최소화하고 호 길이에 비례하여 파라미터화된 경로만 측지학입니다.리만 다양체에서 측지학을 정의하는 또 다른 동등한 방법은 다음과 같은 작용 또는 에너지 함수의 최소값으로 정의하는 것이다.

E의 모든 최소값도 L최소값이지만 L의 최소값인 경로는 길이를 변경하지 않고 임의로 재파라미터화할 수 있지만 E의 최소값은 변경할 수 없기 때문에 L은 더 큰 집합이다.(\ C^{ 곡선(더 일반적으로 곡선)의 경우 코시-슈바르츠 부등식은 다음을 나타낸다.

「 「 , 「 ){ (\displaystyle ' , \ )가 상수 a.e.와 동일한 에만 동등합니다.; 경로는 일정한 속도로 이동해야 한다.EE(\ 최소화도L(\을 최소화합니다. 왜냐하면 이들은 친화적인 파라미터화 되어 있고 부등식이 동등하기 때문입니다.이 접근법의 유용성은 E의 최소화를 찾는 문제가 더 강력한 변동 문제라는 것이다.실제로 E의 「볼록함수」이므로, 「합리함수」의 각 아이소토피 클래스내에서 미니마이저의 존재, 고유성, 규칙성을 기대할 수 있다.반면 기능 )의 ""는 임의 재파라미터화가 허용되기 때문에 일반적으로 매우 규칙적이지 않습니다.

함수 E에 대한 오일러-라그랑주 운동 방정식은 국소 좌표에서 다음과 같이 주어진다.

여기서 μ μ μ μ { \ _ { \ \ \ }}는 메트릭의 크리스토펠 기호입니다.이것은 아래에서 논의되는 측지선 방정식입니다.

변분법

변동의 고전적 미적분 기술은 에너지 함수 E를 조사하기 위해 적용될 수 있다.에너지의 첫 번째 변동은 지역 좌표에서 다음과 같이 정의된다.

첫 번째 변동의 임계점은 정확히 측지학이다.두 번째 변형은 다음과 같이 정의됩니다.

적절한 의미에서 측지선 θ를 따른 두 번째 변동의 0은 야코비 필드를 따라 발생한다.그러므로 자코비 장은 측지학을 통한 변이체로 간주된다.

고전 역학의 변이 기술을 적용함으로써 측지학도 해밀턴 흐름으로 볼 수 있다.이들은 (의사-)리만 메트릭을 해밀턴으로 하여 연관된 해밀턴 방정식의 해이다.

아핀 측지학

아핀접속θ를 갖는 매끄러운 매니폴드 M상의 측지선식은 곡선에 대한 평행수송을 유지하는 곡선θ(t)로 정의된다.

(1)

곡선의 각 지점에서, 여기서 {gamma t에 미분이다. 보다 정확히는(\displaystyle {\dot 공변 미분을 정의하려면 먼저을 확장해야 한다.열린 집합에서 연속 미분 가능한 벡터장으로 이동합니다.그러나 (1)의 결과값은 확장 선택과는 무관하다.

M 위의 로컬 좌표를 사용하여 (합산 규칙을 사용하여) 다음과 같이 측지 방정식을 쓸 수 있습니다.

μ μ μ μ μ μ μ = x} =^{\μ μ δ μ μ μ μ μ μ δ ( )는 곡선의 좌표이며, μμ μ μ μ μ μ μ μ μδ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ μ δ δ δ δ δ δ δ δ δ이것은 좌표에 대한 일반적인 미분 방정식입니다.초기 위치와 초기 속도가 주어진 고유한 솔루션을 제공합니다.그러므로, 고전 역학의 관점에서, 측지학은 다양체 의 자유 입자의 궤적이라고 생각할 수 있다.실제로, 0 { \ _ { \ { \ } { \ { \ } = 0 }은 곡선의 가속도 벡터가 곡선의 각 지점에서 곡선의 접선 평면에 대한 성분이 없음을 의미합니다.즉, 표면의 굴곡에 의해 움직임이 완전히 결정됩니다.이것은 또한 입자가 측지학에서 움직이고 중력에 의해 휘어지는 일반 상대성 이론의 개념이기도 하다.

존재와 고유성

측지선학의 국소적 존재와 고유성 정리아핀 접속을 가진 매끄러운 다양체에 측지선이 존재하며, 고유함을 나타낸다.보다 정확하게는:

M의 모든 p와 TM의 모든p 벡터 V(p의 M에 대한 접선 공간)에 대해 고유한 측지선(\ \displese,}): IM이 존재합니다.
( 0 ) \ displaystyle \ ( ) p , }
여기서 i는 0을 포함하는 R최대 개방 간격입니다.

이 정리의 증명은 측지방정식이 2차 ODE라는 것을 알아차림으로써 상미분방정식의 이론에서 따랐다.그 후 존재와 고유성은 규정된 초기 조건을 가진 ODE의 해법에 대한 피카르-린델뢰프 정리에서 따랐다.p와 V에 따라 부드럽게 좌우됩니다.

일반적으로 R의 오픈2 디스크와 같이 R의 전부는 아닐 수 있습니다.M이 지리적으로 완전경우에만 임의의 extends이 모든 까지 확장됩니다.

측지류

측지선 흐름은 다음과 같이 정의된 매니폴드 M의 접선 번들 TM에 대한 국소 R-작용입니다.

서 t ∈ R, VTMV ( \ \ _ ) ( \ { }{ } =) 。 Gt { G { t} ( V ) = exp = V V ) ) 。측지선 흐름의 폐쇄 궤도는 M상의 폐쇄 측지선에 대응한다.

(의사-)리만 다양체에서 지오데식 흐름은 코탄젠트 다발 위의 해밀턴 흐름으로 식별된다.그런 다음 해밀토니안은 (의사-)리만 메트릭의 역수치에 의해 주어지며, 표준 일 형태에 대해 평가된다.특히 흐름은 (의사-)리만 gg를 유지합니다.

특히 V가 단위벡터일 경우 V \ _ 단위속도를 유지하므로 측지선은 단위접선다발에 접한다.Liouville의 정리는 단위 접선 다발에 대한 운동학적 측정의 불변성을 암시한다.

측지선 스프레이

측지선 흐름은 접선 번들의 곡선 패밀리를 정의합니다.이러한 곡선의 도함수는 측지선 스프레이로 알려진 접선 다발의 총 공간벡터장을 정의합니다.

보다 정확하게는 아핀 접속에 의해 이중 접선 번들 TTM이 수평 번들과 수직 번들로 분할됩니다.

측지선 스프레이는 다음을 만족시키는 유일한 수평 벡터장 W이다.

지점 v µ TM(여기서 θ : TTM → TM)은 접선 다발과 관련된 투영 θ : TM → M을 따른 푸시포워드(차동)를 나타낸다.

보다 일반적으로, 같은 구조를 사용하면 접선 번들의 에레스만 연결에 대한 벡터 필드를 구성할 수 있습니다.결과 벡터장이 스프레이가 되기 위해서는(삭제된 접선 번들 TM \ {0}에서) 양의 재스케일링에서 연결이 등변수이면 충분합니다. 선형일 필요는 없습니다.즉, (cf).Ehresmann 연결 #벡터 번들과 공변 미분) 수평 분포가 만족시키기에 충분하다.

모든 X µ TM \ {0} 및 θ > 0에 대해 지정합니다.여기서 d(Sλ)는 스칼라 : X . \ S _ { \ } : \ \ X}이러한 방법으로 발생하는 비선형 접속의 특정 예로서 핀슬러 매니폴드와 관련되어 있습니다.

아핀 및 투영 측지선학

식 (1)은 아핀 재매개변수화, 즉 형식의 파라미터화에서 불변한다.

여기a와 b는 상수 실수입니다.따라서 지오데식 방정식은 내장된 곡선의 특정 클래스를 지정하는 것 외에 각 곡선의 매개 변수화 선호 클래스를 결정합니다.따라서 (1)의 용액을 아핀 파라미터에 의한 측지선이라고 한다.

아핀 접속은 비틀림까지의 아핀 파라미터화된 측지선학 패밀리에 의해 결정된다(Spivak 1999, 제6장, 부록 I).지오데식 방정식은 연결의 대칭 부분에만 의존하기 때문에 비틀림 자체는 사실 지오데식 계열에 영향을 미치지 않습니다.보다 정확하게 말하면,display, \displaystyle {\ 2개의 연결일 경우 차이 텐서는

skw-skew입니다.그러면 skla 동일한 지오데식 및 동일한 아핀 파라미터화를 가집니다.또한 와 동일한 지오데식이지만 비틀림이 사라지는 독특한 연결부가 있습니다.

특정 파라미터화가 없는 측지학은 투영 접속에 의해 기술된다.

계산 방법

Kimmel과 [3][4]다른 사람들에 의해 에이코날 방정식으로 제기되는 표면의 최소 측지학 문제를 위한 효율적인 해결사가 제안되었습니다.

리본 테스트

리본 테스트를 사용하여 그린 곡선은 평평한 면의 직선입니다.이는 원뿔을 2차원 원형 섹터로 만들 수 있기 때문입니다.

리본 "테스트"는 물리적 [5]표면에서 측지선을 찾는 방법입니다.이 아이디어는 (내부 형상을 변경하지 않고) 리본을 늘리거나 스퀴즈하지 않고 가능한 한 곡면에 직선(리본) 주위에 종이를 약간 끼우는 것입니다.

예를 들어, 원뿔 주위에 리본이 링으로 감겨 있을 때, 리본은 원뿔 표면에 놓여있지 않고 튀어나와 있기 때문에 원뿔의 측지학이 아닙니다.리본의 모든 부분이 원뿔 표면에 닿도록 리본을 조정하면 측지선에 근접할 수 있습니다.

리본 테스트는 평면 내 선 매핑 : ( ) ( \ : ( l )\S ( \ f: N ( l )\ S )을 표면 S ( \ S)에 매핑 : N ( l ) → S \ f : displaystyle displaystyle f : N ( l )\to S ) \ to S )을 찾는 것으로 공식화할 수 있습니다.l}) 즉, ll에서 거리 S) ( )(\S}) = O2})가 - f S) 。 N S S입니다.

적용들

측지학은 다음을 계산하는 기초가 됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ a b 유사 리만 다양체(예: 로렌츠 다양체)의 경우 정의는 더 복잡하다.
  2. ^ Wiktionary의 측지학 사전 정의
  3. ^ Wiktionary의 측지학 사전 정의
  4. ^ 경로는 로컬 최소값이 아니라 간격 k의 로컬 최대값입니다.

레퍼런스

  1. ^ "geodesic". Oxford Dictionaries UK English Dictionary. Oxford University Press. n.d. Retrieved 2016-01-20.
  2. ^ "geodesic". Merriam-Webster Dictionary.
  3. ^ Kimmel, R.; Amir, A.; Bruckstein, A. M. (1995). "Finding shortest paths on surfaces using level sets propagation". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 17 (6): 635–640. doi:10.1109/34.387512.
  4. ^ Kimmel, R.; Sethian, J. A. (1998). "Computing Geodesic Paths on Manifolds" (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences. 95 (15): 8431–8435. Bibcode:1998PNAS...95.8431K. doi:10.1073/pnas.95.15.8431. PMC 21092. PMID 9671694.
  5. ^ Michael Stevens(2017년 11월 2일), [1].
  6. ^ Ingebrigtsen, Trond S.; Toxvaerd, Søren; Heilmann, Ole J.; Schrøder, Thomas B.; Dyre, Jeppe C. (2011). "NVU dynamics. I. Geodesic motion on the constant-potential-energy hypersurface". The Journal of Chemical Physics. 135 (10): 104101. arXiv:1012.3447. Bibcode:2011JChPh.135j4101I. doi:10.1063/1.3623585. ISSN 0021-9606. PMID 21932870. S2CID 16554305.

추가 정보

외부 링크