컴팩트 스페이스

수학, 특히 일반적인 위상수학에서 콤팩트함은 유클리드 공간의 닫힌 부분 집합의 개념을 일반화하려는 속성입니다.^[1]이 개념은 작은 공간에 "구멍"이나 "결측점"이 없다는 것입니다. 즉, 점의 모든 제한 값을 포함합니다.예를 들어, 열린 구간 (0,1)은 0과 1의 제한 값을 제외하기 때문에 압축되지 않는 반면, 닫힌 구간 [0,1]은 압축됩니다.마찬가지로, 유리수 $Q$ ${\displaystyle \mathbb {Q}}$의 공간은 콤팩트하지 않은데, 이는 무리수에 해당하는 무한히 많은 "구멍"을 가지고 있기 때문이고, 실수 $R$ ${\displaystyle \mathbb {R}$의 공간도 두 극한값 +$$∞ ${\displaystyle +\infty}$와 -$$∞ ${\$displayst}를 제외하기 때문입니다.$yle$ -$\infty$ $\}.$ 그러나 확장된 실수선은 두 무한대를 모두 포함하기 때문에 압축됩니다.이 발견적 개념을 정확하게 만드는 데는 여러 가지 방법이 있습니다.이러한 방법은 일반적으로 메트릭 공간에서는 일치하지만 다른 위상 공간에서는 동일하지 않을 수 있습니다.

그러한 일반화 중 하나는 위상 공간이 순차적으로 콤팩트하다는 것입니다. 만약 공간에서 샘플링된 점들의 모든 무한한 연속이 공간의 어떤 점으로 수렴하는 무한한 연속성을 갖는다면 말입니다.^[2]볼자노-바이어슈트라스 정리는 유클리드 공간의 부분 집합이 폐쇄되고 경계가 있는 경우에만 이 순차적 의미에서 콤팩트하다는 것을 말합니다.따라서 닫힌 단위 구간 [0, 1]에서 무한한 수의 점을 선택하면 일부 점이 임의로 해당 공간의 실수에 가까워집니다.예를 들어, 수열 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ...의 숫자 중 일부는 0으로 누적됩니다(다른 숫자는 1로 누적됨).0과 1 모두 열린 단위 구간(0, 1)의 멤버가 아니기 때문에 같은 점 집합이 열린 단위 구간의 어느 점에도 누적되지 않으므로 열린 단위 구간이 압축되지 않습니다.유클리드 공간의 부분집합(부분공간)은 콤팩트할 수 있지만, 전체 공간 자체는 경계가 없기 때문에 콤팩트하지 않습니다.예를 들어, R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$실수 선)$$을 고려하면 점 0, 1, 2, 3, ...는 실수로 수렴되는 후속이 없습니다.

콤팩트함은 1906년 모리스 프레셰(Maurice Fréchet)가 볼자노를 일반화하기 위해 공식적으로 도입했습니다.기하학적 점들의 공간에서 함수들의 공간으로 가는 위어스트라스 정리.아르젤라-아스콜리 정리와 페아노 존재 정리는 이러한 콤팩트성 개념을 고전적 분석에 적용하는 예를 보여줍니다.최초 도입 이후, 순차적 콤팩트성과 한계점 콤팩트성을 포함한 다양한 등가 개념의 콤팩트성이 일반적인 미터법 공간에서 개발되었습니다.^[3]그러나 일반적인 위상 공간에서 이러한 콤팩트성 개념은 반드시 동일한 것은 아닙니다.공간의 각 점이 패밀리에 포함된 일부 집합에 있다는 의미에서 공간을 "커버"하는 열린 집합의 유한 패밀리의 존재의 관점에서 가장 유용한 개념이자 무자격 용어 컴팩트의 표준 정의입니다.1929년 파벨 알렉산드로프와 파벨 유리존이 소개한 이 좀 더 미묘한 개념은 유한 집합의 일반화로서 콤팩트한 공간을 보여줍니다.이러한 의미에서 콤팩트한 공간에서는 로컬(즉, 각 점의 이웃)을 유지하는 정보를 공간 전체에 걸쳐 유지되는 해당 문에 패치하는 것이 가능하며, 많은 정리가 이러한 성격의 것입니다.

콤팩트 집합이라는 용어는 콤팩트 공간의 동의어로 사용되기도 하지만 위상 공간의 콤팩트한 부분 공간을 가리키는 경우도 많습니다.

역사적 전개

19세기에는, 나중에 콤팩트함의 결과로 보일 몇 가지 상이한 수학적 특성들이 이해되었습니다.한편으로, Bernard Bolzano(1817)는 점들의 경계가 있는 시퀀스(예를 들어, 선이나 평면에 있는)는 결국 한계점이라고 불리는 어떤 다른 점에 임의로 접근해야 하는 연속성을 가지고 있다는 것을 알고 있었습니다.볼자노의 증명은 이등분의 방법에 의존했습니다: 수열은 그 다음 두 개의 등분으로 나뉘는 구간에 놓였고, 수열의 무한한 많은 항을 포함하는 부분을 선택했습니다.그런 다음 공정을 더 작은 간격을 더 작은 부분과 더 작은 부분으로 나누어 원하는 한계 지점에서 닫힐 때까지 반복할 수 있습니다.볼자노 정리와 그 증명 방법의 전체적인 중요성은 거의 50년 후에 카를 바이어슈트라스에 의해 재발견될 때까지 나타나지 않았습니다.^[4]

1880년대에 볼자노와 유사한 결과가 나타난 것이 분명해졌습니다.위어스트라스 정리는 단순히 숫자나 기하학적 점이 아닌 함수의 공간을 위해 공식화될 수 있습니다.기능을 일반화된 공간을 가리키는 것으로 간주하는 생각은 줄리오 아스콜리와 체사레 아르젤라의 조사로 거슬러 올라갑니다.^[5]그들의 연구의 정점인 아르젤라-아스콜리 정리는 볼자노의 일반화였습니다.연속 함수군에 대한 위어스트라스 정리는 적합한 함수군에서 균일하게 수렴된 함수열을 추출할 수 있다는 정확한 결론이었습니다.이 순서의 균일한 한계는 볼자노의 "한계점"과 정확히 같은 역할을 했습니다.20세기 초, 아르젤라와 아스콜리와 유사한 결과가 데이비드 힐베르트와 에르하르트 슈미트에 의해 조사된 바와 같이 적분 방정식 영역에 축적되기 시작했습니다.적분 방정식의 해에서 나오는 특정 종류의 그린 함수에 대해 슈미트는 평균 수렴 또는 나중에 힐베르트 공간이라고 불리는 수렴의 의미에서 보유된 아르젤라-아스콜리 정리와 유사한 특성을 보여주었습니다.이것은 결국 콤팩트한 공간이라는 일반적인 개념의 파생물로서 콤팩트한 연산자라는 개념으로 이어졌습니다.1906년에 볼차노의 정수를 증류한 사람은 모리스 프레셰였습니다.Weiersstrass 속성은 이 일반적인 현상을 지칭하기 위해 콤팩트성이라는 용어를 만들었습니다(그는 1906년 유명한 논문으로 이끈 1904년 논문에서^[6] 이미 용어를 사용했습니다).

그러나 19세기 말에 엄격한 분석 공식화의 기본으로 여겨진 연속체에 대한 연구로부터 다른 콤팩트성 개념이 서서히 등장하기도 했습니다.1870년 에두아르트 하이네는 닫힌 구간과 경계 구간에서 정의된 연속 함수가 사실 균일하게 연속임을 보여주었습니다.증명 과정에서 그는 작은 열린 간격에 의한 구간의 셀 수 있는 덮개로부터 이를 포함하는 유한 개를 선택할 수 있다는 보조정리를 사용했습니다.이 보조정리의 중요성은 에밀 보렐(1895)에 의해 인정되었고, Pierre Couson(1895)과 Henri Lebesgue(1904)에 의해 임의의 구간 모음으로 일반화되었습니다.하이네-보렐 정리는 현재 알려진 바와 같이 실수의 닫힌집합과 경계집합이 갖는 또 다른 특수한 성질입니다.

이 속성은 집합에 대한 지역 정보(함수의 연속성과 같은)에서 집합에 대한 전역 정보(함수의 균일한 연속성과 같은)로의 전달을 허용하기 때문에 중요합니다.르베그(Lebesgue, 1904)는 이러한 정서를 표현하였는데, 그는 현재 자신의 이름을 딴 통합체를 개발하는 데에도 이를 이용했습니다.결국 파벨 알렉산드로프와 파벨 유리존의 지휘 아래 러시아의 점 집합 위상학파는 위상 공간이라는 현대적 개념에 적용될 수 있는 방식으로 하이네-보렐 콤팩트함을 공식화했습니다.Alexandrov & Uryzon(1929)은 현재 (상대적) 순차적 콤팩트라고 불리는 프레셰로 인한 콤팩트함의 초기 버전이 유한 부분 커버의 존재 측면에서 공식화된 콤팩트함의 버전에서 뒤따른다는 것을 보여주었습니다.그것이 더 강력한 속성일 뿐만 아니라 공간에서 열린 세트의 구조에만 의존하기 때문에 최소한의 추가 기술 기계로 보다 일반적인 환경에서 공식화될 수 있었기 때문에 지배적인 것이 바로 이러한 콤팩트성의 개념이었습니다.

기본 예시

유한 공간은 콤팩트하며, 각 점에 대해 이를 포함하는 열린 집합을 선택하여 유한 부분 덮개를 얻을 수 있습니다.작은 공간의 사소한 예로는 실수의 (닫힌) 단위 간격 [0,1]이 있습니다.단위 구간에서 서로 다른 점을 무한히 선택하는 경우 해당 구간에 해당 점들 사이에 누적점이 있어야 합니다.예를 들어, 수열 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ...의 홀수 항은 임의로 0에 가까워지고, 짝수 항은 임의로 1에 가까워집니다.주어진 예제 시퀀스는 한계점이 공간 자체에 있어야 하므로 간격의 경계점을 포함하는 것의 중요성을 보여줍니다. 실제 숫자의 열린(또는 반쯤 열린) 간격은 콤팩트하지 않습니다.구간 [0, ∞]에서 임의로 주어진 실수에 근접하는 하위 시퀀스가 없는 점 0, 1, 2, 3, ...의 시퀀스를 선택할 수 있으므로 구간이 경계가 되는 것도 중요합니다.

2차원에서, 닫힌 디스크는 디스크에서 샘플링된 무한한 수의 점에 대해, 그러한 점들의 일부 부분집합은 디스크 내의 한 점 또는 경계의 한 점에 임의로 근접해야 하기 때문에 콤팩트합니다.그러나 오픈 디스크는 내부의 어떤 점에도 임의로 접근하지 않고 일련의 점들이 경계에 가까워질 수 있기 때문에 콤팩트하지 않습니다.마찬가지로, 구체는 콤팩트하지만, 점이 없는 구체는 일련의 점들이 여전히 결측점을 향할 수 있기 때문에 공간 내의 어떤 점에도 임의로 접근할 수 없기 때문에 그렇지 않습니다.선과 평면은 점에 접근하지 않고도 주어진 방향으로 동일한 간격의 점 집합을 취할 수 있기 때문에 콤팩트하지 않습니다.

정의들

컴팩트함의 정의는 일반성의 수준에 따라 다양하게 적용될 수 있습니다.특히 유클리드 공간의 부분 집합은 닫힌 상태와 경계가 있는 경우 콤팩트라고 불립니다.이것은 볼자노가 암시하는 바입니다.위어스트라스 정리, 집합의 어떤 무한한 수열도 집합의 한 점으로 수렴하는 수열을 갖는다는 정리.일반적인 미터법 공간에서는 순차적 콤팩트성, 한계점 콤팩트성 등 다양한 등가 콤팩트성 개념이 개발될 수 있습니다.^[3]

대조적으로, 콤팩트성의 다른 개념들은 일반적인 위상 공간에서는 동등하지 않으며, 가장 유용한 콤팩트성 개념(원래는 쌍콤팩트성이라고 불림)은 열린 집합으로 구성된 커버를 사용하여 정의됩니다(아래의 열린 커버 정의 참조).이러한 콤팩트함의 형태가 유클리드 공간의 닫힌 부분집합과 경계 부분집합을 유지하는 것은 하이네-보렐 정리로 알려져 있습니다.컴팩트함은 이러한 방식으로 정의될 때 종종 공간의 각 지점 근처에서 로컬로 알려진 정보를 가져와 공간 전체에 걸쳐 글로벌하게 유지되는 정보로 확장할 수 있습니다.이러한 현상의 예로는 원래 하이네가 적용한 디리클레 정리가 있는데, 콤팩트 구간에서의 연속 함수는 균일 연속이라는 것입니다. 여기서 연속성은 함수의 국소적 성질이고, 균일 연속성은 해당 전역적 성질입니다.

커버 열기 정의

형식적으로 위상 공간 X는 X의 열린 모든 덮개가 유한한 부분 덮개를 가지면 콤팩트라고 불립니다.^[7]즉, 다음과 같이 X의^[8] 열린 부분집합의 모든 집합 C에 대하여 X는 콤팩트합니다.

${\displaystyle X=\bigcup _{S\in C}S\,}$

다음과 같은 유한 부분집합 F ⊆ C가 있습니다.

${\displaystyle X=\bigcup _{S\in F}S\}$

대수기하학과 같은 수학의 일부 분야는 일반적인 개념에 준콤팩트라는 용어를 사용하고 하우스도르프와 준콤팩트인 위상 공간에 대해 콤팩트라는 용어를 사용합니다.콤팩트 집합을 콤팩트, 복수 콤팩트라고 부르기도 합니다.

부분집합의 컴팩트함

위상 공간 X의 부분 집합 K는 부분 공간(부분 공간 위상에서)으로 콤팩트하다면 콤팩트하다고 합니다.즉, 다음과 같은 X의 열린 부분집합의 모든 임의의 집합 C에 대하여 K는 콤팩트합니다.

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{S\in C}S\,}$

다음과 같은 유한 부분집합 F ⊆ C가 있습니다.

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{S\in F}S\}$

콤팩트함은 "토폴로지" 속성입니다.즉, $부분$ 공간 위상이 장착된 부분 집합 Z와$$함께 K ⊂ ${\displaystyle Z}$ ⊂ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle K\subset Z\subset Y}$인 경우, K가 Y에서 콤팩트한 경우에만 Z에서 콤팩트합니다.

특징화

만약 X가 위상 공간이라면, 다음은 동치입니다.

1. X는 콤팩트합니다. 즉, X의 열려 있는 모든 덮개에는 유한한 부분 덮개가 있습니다.
2. X는 부분 기저의 구성원에 의한 공간의 모든 덮개가 유한한 부분 기저(알렉산더의 부분 기저 정리)를 갖도록 부분 기저를 갖습니다.
3. X는 린델뢰프(Lindelöf)이며, 셀 수 없이 콤팩트합니다.^[9]
4. 유한 교집합 성질을 갖는 X의 닫힌 부분집합의 모든 집합은 비어 있지 않은 교집합을 갖습니다.
5. X의 모든 그물에는 수렴 서브넷이 있습니다(증명에 대해서는 그물에 관한 기사 참조).
6. X의 모든 필터에는 수렴 정제가 있습니다.
7. X의 모든 그물에는 군집점이 있습니다.
8. X의 모든 필터에는 클러스터 포인트가 있습니다.
9. X의 모든 울트라 필터는 적어도 하나의 점으로 수렴합니다.
10. X의 모든 무한 부분 집합에는 완전한 누적점이 있습니다.^[10]
11. 모든 위상 공간 Y에 대해 ${\displaystyle \mathrm{투영}}$ X${\displaystyle }X$ X ${\displaystyle Y}$ → Y ${\displaystyle X\times Y\to Y}$는 닫힌 매핑입니다(적절한 지도 참조).

부르바키(Bourbaki)는 콤팩트 공간(준콤팩트 공간)을 각각의 필터가 클러스터 포인트(cluster point)를 갖는 위상 공간으로 정의합니다(상기 8).^[12]

유클리드 공간

유클리드 공간의 임의의 부분 집합 A에 대하여, A는 닫혀 있고 경계가 있는 경우에만 콤팩트합니다. 이것이 하이네-보렐 정리입니다.

유클리드 공간은 미터법 공간이므로, 다음 부분의 조건은 모든 부분집합에도 적용됩니다.모든 동등한 조건 중에서, 실제로는 부분 집합이 닫힌 간격 또는 닫힌 n-볼에 대해 닫혀 있고 경계가 있음을 확인하는 것이 가장 쉽습니다.

미터법 공간

임의의 메트릭 공간(X, d)에 대해 다음이 동등합니다(계산 가능한 선택을 가정할 때).

1. (X, d)는 콤팩트합니다.
2. (X, d)는 완전하고 완전한 경계를 갖습니다 (이는 균일한 공간에 대한 콤팩트함과 동일함).^[13]
3. (X, d)는 순차적으로 콤팩트합니다. 즉, X의 모든 수열은 극한이 X에 있는 수렴 수열을 갖습니다 (이것은 첫 번째로 셀 수 있는 균일한 공간에 대한 콤팩트함과 동일합니다).
4. (X, d)는 한계점 콤팩트(약하게 셀 수 있는 콤팩트라고도 함)입니다. 즉, X의 모든 무한 부분 집합은 X에서 적어도 하나의 한계점을 갖습니다.
5. (X, d)는 셀 수 있을 정도로 컴팩트합니다. 즉, X의 모든 셀 수 있는 열린 덮개에는 유한한 부분 덮개가 있습니다.
6. (X, d)는 칸토어 집합에서 연속 함수의 이미지입니다.^[14]
7. (X, d)에서 비어 있지 않은 닫힌 부분 집합의 모든 감소 중첩 수열 S ⊇ S ⊇ ...은 비어 있지 않은 교집합을 갖습니다.
8. (X, d)의 적절한 열린 부분 집합 S ⊆ S ⊆...의 증가하는 중첩 시퀀스는 X를 포함하지 못합니다.

콤팩트 메트릭 공간(X, d)도 다음 속성을 만족합니다.

1. 르베그의 수 보조자:X의 모든 열린 덮개에 대해 직경 < δ의 X의 모든 부분 집합이 덮개의 일부 부재에 포함되도록 숫자 δ > 0이 존재합니다.
2. (X, d)는 두 번째 계수이고 분리 가능하며 린델뢰프(Lindelöf)입니다. 이 세 조건은 미터법 공간에서 동일합니다.역은 참이 아닙니다. 예를 들어, 셀 수 있는 이산 공간은 이 세 조건을 만족시키지만 콤팩트하지는 않습니다.
3. X는 닫혀 있고 경계가 있습니다(제한된 메트릭이 d인 메트릭 공간의 부분 집합으로).역은 비유클리드 공간에서 실패할 수 있습니다. 예를 들어, 이산 메트릭을 갖춘 실제 선은 닫힌 채 경계를 이루지만 압축되지는 않습니다. 공간의 모든 단일 요소의 집합은 유한한 부분 커버를 허용하지 않는 열린 커버이기 때문입니다.완전하지만 완전한 경계는 아닙니다.

순서 공간

순서 공간(X, <)(즉, 순서 토폴로지가 장착된 전체 순서 집합)의 경우 다음과 같습니다.

1. (X, < )는 콤팩트합니다.
2. X의 모든 부분 집합은 X에 최댓값(즉, 최소 상한)을 갖습니다.
3. X의 모든 부분 집합은 X에서 최소값(즉, 가장 큰 하한)을 가집니다.
4. X의 비어 있지 않은 닫힌 부분 집합은 모두 최댓값과 최솟값을 가집니다.

이 조건을 만족시키는 순서 공간을 완전 격자라고 합니다.

또한, 다음은 모든 순서 공간 (X, <)에 대해 동치이며, (카운트 가능한 선택을 가정할 때) (X, <)가 콤팩트할 때마다 참입니다. ((X, <)도 계량할 수 없는 경우에는 일반적으로 역이 실패합니다.

1. (X, <)의 모든 수열은 (X, <)에 수렴하는 수열을 가집니다.
2. X의 모든 단조 증가 수열은 X의 고유 한계로 수렴합니다.
3. X의 모든 단조 감소 수열은 X의 고유 한계로 수렴합니다.
4. (X, <)에서 비어 있지 않은 닫힌 부분 집합의 모든 감소 중첩 수열 S ⊇ S ⊇ ...는 비어 있지 않은 교집합을 갖습니다.
5. (X, <)의 적절한 열린 부분 집합 S ⊆ S ⊆ ...의 증가하는 중첩 시퀀스는 X를 포함하지 못합니다.

연속함수에 의한 특성화

X를 위상 공간이라 하고, X 위의 실수 연속 함수의 고리를 C(X)라 하자.각 p ∈ X에 대하여 ev(f) = f(p)가 부여한 평가 맵 ${\displaystyle {ev}_{}}$: C (${\displaystyle X}$) → ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{p}\$colon C$(X)\to \mathbb {R}}$는 환 동형입니다.잔차 필드 C(X)/케레브는_p 첫 번째 동형 정리에 의해 실수의 필드이므로 ev의_p 커널은 최대 이상입니다.위상 공간 X는 C(X)의 모든 최대 이상이 실수 필드를 갖는 경우에만 유사 압축입니다.완전히 규칙적인 공간의 경우, 이것은 모든 최대 이상이 평가 동형의 커널이 되는 것과 같습니다.^[15]그러나 콤팩트하지 않은 유사 소형 공간이 있습니다.

일반적으로 유사 압축이 아닌 공간의 경우 C(X)에서 잔차 필드 C(X)/m이 (비-Archimedean) 하이퍼리얼 필드인 최대 이상 m이 항상 존재합니다.비표준 분석의 틀은 콤팩트함의 다음과 같은 대체 특성화를 허용합니다.^[16] 위상 공간 X는 자연 확장 *X의 모든 점 x가 X의 점 x에₀ 무한히 가까운 경우에만 콤팩트합니다(더 정확하게는 x의₀ 모나드에 포함됨).

초현실적 정의

만약 공간 X의 초현실 확장 *X(예를 들어, 초강력 구조에 의해 구성됨)가 *X의 모든 점이 X ⊂ *X의 어떤 점에 무한히 가깝다는 성질을 가진다면, 공간 X는 콤팩트합니다.예를 들어 열린 실수 구간 X = (0, 1)은 해당 초실수 확장 *(0, 1)이 X의 점이 아닌 0에 무한히 가까운 무한 소수점을 포함하기 때문에 압축되지 않습니다.

충분한 조건

• 콤팩트 공간의 닫힌 부분 집합은 콤팩트합니다.^[17]
• 콤팩트 집합의 유한 결합은 콤팩트합니다.
• 콤팩트한 공간의 연속적인 이미지는 콤팩트합니다.^[18]
• 하우스도르프 공간의 콤팩트 부분 집합의 비어 있지 않은 교차점은 콤팩트(그리고 닫힌)입니다.
  • X가 하우스도르프가 아닌 경우 두 콤팩트 부분 집합의 교집합이 콤팩트하지 못할 수 있습니다(예: 각주 참조).^[a]
• 컴팩트한 공간의 컬렉션 제품은 컴팩트합니다.(이것은 선택 공리에 해당하는 티초노프의 정리입니다.)
• 측정 가능한 공간에서 부분 집합이 순차적으로 콤팩트한 경우(계산 가능한 선택을 가정)에만 콤팩트합니다.
• 어떤 위상도 부여된 유한 집합은 콤팩트합니다.

콤팩트 공간의 특성

• 하우스도르프 공간 X의 콤팩트한 부분 집합은 닫혀 있습니다.
  • 만약 X가 하우스도르프가 아니라면, X의 콤팩트한 부분집합은 X의 닫힌 부분집합이 되지 않을 수 있습니다(예를 들어 각주 참조).^[b]
  • X가 하우스도르프가 아닌 경우 콤팩트 집합의 닫힘은 콤팩트하지 못할 수 있습니다(예: 각주 참조).^[c]
• 위상 벡터 공간(TVS)에서는 콤팩트한 부분 집합이 완성됩니다.그러나 하우스도르프가 아닌 모든 TV는 닫히지 않은 콤팩트한(따라서 완전한) 부분 집합을 포함합니다.
• 만약 A와 B가 하우스도르프 공간 X의 서로소인 콤팩트 부분집합이라면, X에는 A와 B가 V를 ⊆하는 서로소인 열린집합 U와 V가 존재합니다.
• 콤팩트 공간에서 하우스도르프 공간으로의 연속적인 사영은 동형입니다.
• 콤팩트 하우스도르프 공간은 정상적이고 규칙적입니다.
• 공간 X가 콤팩트하고 하우스도르프라면, X 위의 더 미세한 위상은 콤팩트하지 않고 X 위의 더 거친 위상은 하우스도르프가 아닙니다.
• 메트릭 공간(X, d)의 부분 집합이 콤팩트하면 d-bounded가 됩니다.

함수 및 컴팩트한 공간

콤팩트 공간의 연속적인 이미지는 콤팩트하기 때문에 극단값 정리는 이러한 공간에 성립합니다. 비어 있지 않은 콤팩트 공간의 연속적인 실수 함수는 위에 경계를 두고 그 최상점을 얻습니다.^[19](약간 일반적으로, 이것은 상위 반연속 함수에 해당합니다.)상기 진술들에 대한 일종의 역으로, 적절한 맵 아래의 컴팩트한 공간의 프리-이미지는 컴팩트합니다.

콤팩트화

모든 위상 공간 X는 알렉산드로프 1점 콤팩트화에 의해 최대 X보다 한 점 더 많은 콤팩트 공간의 열린 조밀한 부분 공간입니다.동일한 구성에 의해, 모든 국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간 X는 최대 X보다 한 점 더 많은 콤팩트한 하우스도르프 공간의 열린 조밀한 부분 공간입니다.

순서 콤팩트 공간

실수의 비어 있지 않은 콤팩트 부분집합은 가장 큰 원소와 가장 작은 원소를 갖습니다.

X를 순서 위상을 부여받은 단순한 순서 집합이라고 가정합니다.그러면 X가 완전한 격자인 경우에만 X가 콤팩트합니다(즉, 모든 부분집합은 수프리마와 인피마를 갖습니다).^[20]

예

• 빈 집합을 포함한 모든 유한 위상 공간은 콤팩트합니다.일반적으로 유한한 위상을 가진 공간(단, 유한한 많은 열린 집합)은 콤팩트합니다. 여기에는 특히 사소한 위상도 포함됩니다.
• 유한 위상을 운반하는 모든 공간은 컴팩트합니다.
• 국부적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간은 알렉산드로프 원포인트 콤팩트화를 통해 단일 포인트를 추가하여 콤팩트한 공간으로 전환할 수 있습니다.$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 1점 압축은 원 S와¹ 동형이고$$, R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 1점 압축은 구 S와² 동형입니다$$.원 포인트 컴팩트화를 이용하면 하우스도르프가 아닌 컴팩트한 공간도 하우스도르프가 아닌 컴팩트한 공간으로 쉽게 구성할 수 있습니다.
• 경계가 있는 전체 순서 집합의 우차 토폴로지 또는 좌차 토폴로지는 콤팩트합니다.특히 시에르피 ń스키 공간은 컴팩트합니다.
• 무한한 수의 점이 있는 이산 공간은 콤팩트하지 않습니다.공간의 모든 단일 요소의 집합은 유한한 부분 커버를 허용하지 않는 열린 커버입니다.유한 이산 공간은 콤팩트합니다.
• 하한 토폴로지를 포함하는$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 셀 수 없는 집합이 압축되지 않습니다.
• 셀 수 없는 집합의 코카운트 가능 토폴로지에서 무한 집합은 콤팩트하지 않습니다.앞의 예와 같이 공간 전체가 국소적으로 콤팩트하지는 않지만 여전히 린델뢰프입니다.
• 닫힌 단위 간격 [0, 1]은(는) 압축됩니다.이는 하이네-보렐 정리에서 따온 것입니다.열린 간격 (0, 1)이 압축되지 않습니다. n = 3, 4, ...에 대한 열린 덮개 $(1$ $\frac{n}{},$ 1 -$$1 $\frac{n}{}$) ${\textstyle \left$({\$frac {1}{n}}, 1-{\frac {1}{n}}\right)}$에 유한한 하위 덮개가 없습니다.마찬가지로, 닫힌 구간 [0,1]에 있는 유리수 집합은 콤팩트하지 않습니다$.$ 구간 [$0,$ $1$ π $-$ $1$ $\frac{n}{}]\text{및}$ [$1$ π $+$ $1$ $\frac{n}{},1$ ]$${\$textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{$및$}},\left[{\frac${1$}{\pi }}, +{\frac$ {$1}{$n}, 1$\right]}}$는 n = 4, 5, ...에 대한 [0, 1]의 모든 유리수를 포함합니다. 하지만 이 커버에는 유한한 부분 커버가 없습니다.여기서 집합은 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 하위 집합으로 열려 있지 않더라도 부분공간 토폴로지에서 열려 있습니다$.$
• 모든 실수의 집합$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 유한 부분 커버가 없는 열린 구간의 커버가 있으므로 콤팩트하지 않습니다.예를 들어 구간 (n - 1, n + 1)에서 n은 Z의 모든 정수 값을 취합니다. $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 덮지만 유한$$ 부분 커버는 없습니다.
• 반면에, 유사한 위상을 전달하는 확장 실수선은 콤팩트합니다. 위에서 설명한 커버는 무한대의 점에 도달하지 않으므로 확장 실수선을 커버하지 못합니다.실제로, 집합은 각 무한대를 대응하는 단위에 매핑하고 부호에 모든 실수를 곱하는 [-1, 1]에 대한 동형 사상을 가지며, 동형 사상은 구간의 양수에 고유한 수를 곱하여 1 빼기 그 자체로 나눌 때 그 절대값을 산출하므로, 동형 사상은 덮개를 보존하기 때문에,하이네보렐의 속성을 유추할 수 있습니다.
• 모든 자연수 n에 대하여 n-sphere는 콤팩트합니다.다시 하이네-보렐 정리에서, 유한 차원 정규 벡터 공간의 닫힌 단위 공은 콤팩트합니다.이것은 무한 차원에서는 성립하지 않습니다. 사실, 닫힌 단위 공이 콤팩트한 경우에만 정규 벡터 공간은 유한 차원입니다.
• 반면, 정칙 공간의 쌍대의 닫힌 단위 공은 약한* 위상에 대해 콤팩트합니다. (알라오글루 정리)
• 캔터 세트는 콤팩트합니다.사실, 모든 콤팩트 메트릭 공간은 칸토어 집합의 연속적인 이미지입니다.
• 실수선에서 닫힌 단위 구간까지 $모든$ 함수 f ${\displaystyle \mathbb {R}$→ [0, 1]의 집합 K를 고려하고$,$ K의 수열 {f ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{f_{n$}\}이(가$)$ 모든 실수 x에 대해$${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle \{f_{n}\}$이(가) f ∈ K 쪽으로 수렴하는 경우에만 K의 위상을 정의합니다.이와 같은 토폴로지는 하나뿐입니다. 이를 점별 수렴 토폴로지 또는 제품 토폴로지라고 합니다.그렇다면 K는 콤팩트 위상 공간이며, 이는 티초노프 정리에서 따온 것입니다.
• 콤팩트 하우스도르프 공간에 있는 실제 값 연속 함수의 바나흐 공간의 부분 집합은 등연속적이고 점별 경계가 있는 경우에만 상대적으로 콤팩트합니다(아르젤라-아스콜리 정리).
• 모든 x, y ∈ [0,1]에 대해 립시츠 조건 f(x) - f(y) ≤ x - y를 만족하는 모든 함수 f: [0,1] → [0,1]의 집합 K를 고려합니다.균일한 거리 $d{\displaystyle }$( ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g}$) = ${\displaystyle \underset{}{sup}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{[0,}}$ 1${\displaystyle \underset{}{}}$] ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{f}}}$( ${\displaystyle x}$) -${\displaystyle g}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$d ($f,g$) =\$sup _{x\in [0,1]} f ($x$)$ - $g (x$) $.}$ 그렇다면 아르젤라-아스콜리 정리에 의해 공간 K는 콤팩트합니다.
• 바나흐 공간 위의 임의의 유계 선형 연산자의 $스펙트럼$은 복소수$C${\$displaystyle$ \$mathbb$ {C$}}$의 비어 있지 않은 콤팩트 부분 집합입니다$.$ 반대로$,$ C {\$displaystyle$ \$mathbb$ {C$}}$의 임의의 콤팩트 부분 집합은 어떤 유계 선형 연산자의 스펙트럼처럼 이러한 방식으로 발생합니다$$.예를 들어, 힐베르트 공간 ℓ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$의 대각 연산자는 $C$ ${\displaystyle \mathbb {C}}$의 콤팩트한 비어 있지 않은 부분 집합을 스펙트럼으로 가질 수 있습니다.
• 콤팩트 하우스도르프 공간에 대한 보렐 확률 측정의 공간은 알라오글루 정리에 의해 모호한 위상에 대해 콤팩트합니다.
• 유클리드 공간의 보렐 집합에 대한 확률 측정 집합은 양의 엡실론에 대해 각 측정의 질량을 제외한 모든 것을 포함하는 콤팩트한 부분 집합이 존재할 경우 타이트라고 불립니다.그런 다음 헬리의 정리는 확률 측도들의 집합이 애매모호한 위상에 대해 상대적으로 콤팩트하다는 것을 주장합니다.

대수적 예제

• 직교 그룹과 같은 위상 그룹은 콤팩트한 반면 일반 선형 그룹과 같은 그룹은 그렇지 않습니다.
• p-adic 정수는 칸토어 집합과 동형이므로 콤팩트 집합을 형성합니다.
• 임의의 전역 필드 K는 아델 고리의 이산 가산 부분군이며, 몫 공간은 콤팩트합니다.이것은 존 테이트의 논문에서 조화 분석이 정수론에서 사용될 수 있도록 하기 위해 사용되었습니다.
• 자리스키 위상이 있는 모든 치환환의 스펙트럼(즉, 모든 주요 이상의 집합)은 콤팩트하지만 하우스도르프는 결코 아닙니다(사소한 경우를 제외하고).대수기하학에서, 그러한 위상 공간은 위상의 비 하우스도르프 성질을 언급하는 준압축 체계의 예입니다.
• 부울 대수의 스펙트럼은 스톤 표현 정리의 일부인 콤팩트합니다.작고 완전히 단절된 하우스도르프 공간인 스톤 공간은 이러한 스펙트럼이 연구되는 추상적인 프레임워크를 형성합니다.이러한 공간은 유익한 그룹을 연구하는 데에도 유용합니다.
• 교환 단위 바나흐 대수의 구조 공간은 콤팩트 하우스도르프 공간입니다.
• 힐베르트 큐브는 콤팩트하며, 이는 다시 티초노프 정리의 결과입니다.
• 유익성 그룹(예: Galois 그룹)은 컴팩트합니다.

참고 항목

메모들

참고문헌

서지학

외부 링크

• Sundström, Manya Raman (2010). "A pedagogical history of compactness". arXiv:1006.4131v1 [math.HO].

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