심플리리 그룹

수학에서 단순 리 그룹은 비종교적으로 연결된 정상 하위 그룹이 없는 연결된 비아벨리안 리 그룹 G이다. 단순 리 그룹 리스트는 단순한 리 알헤브라와 리만 대칭 공간의 리스트를 읽어내는 데 사용될 수 있다.

$\mathbb {R}$ ${\$ }}, $\mathbb {R}$ 단위 복합 번호 U(1)(단위 원)의 조합형 Lie 그룹과 함께 단순 Lie 그룹은 그룹 확장 작업을 통해 연결된 모든 (마인드 차원) Lie 그룹을 구성하는 원자 "블록"을 부여한다. 흔히 접하는 많은 거짓말 그룹은 단순하거나 단순하기 '가까운' 경우가 많다. 예를 들어, 결정인자가 1인 n 행렬에 의한 n의 소위 "특수 선형 그룹" SL(n)은 모든 n > 1에 대해 단순하다.

단순 리 그룹은 처음에는 빌헬름 킬링에 의해 분류되었고 나중에는 에일리 카르탄에 의해 완성되었다. 이 분류는 흔히 킬링카탄 분류라고 한다.

정의

불행하게도, 간단한 거짓말 그룹에 대해 보편적으로 받아들여지는 정의는 없다. 특히 추상적인 집단으로 단순화된 거짓말 집단으로 항상 정의되는 것은 아니다. 저자는 단순 Lie 그룹이 연결되어야 하는지 또는 비경쟁적 센터를 가질 수 있도록 허용되어야 하는지에 대해 또는 $\mathbb {R}$ ${\$ 이(가 $\mathbb {R}$ ) 단순 Lie 그룹인지에 대해 의견이 다르다.

가장 일반적인 정의는 Lie 그룹이 연결되면 단순하고, 비아벨리안적이며, 모든 닫힌 연결 정상 하위 그룹은 ID 또는 전체 그룹이다. 특히 단순집단은 비경쟁중심이 허용되지만 $\mathbb {R}$ ${\$ 은 $\mathbb {R}$ $($ 는) 단순하지 않다.

이 글에는 사소한 중심이 있는 연결된 단순 거짓말 그룹이 나열되어 있다. 일단 이것들이 알려지면, 비중심이 있는 것들은 다음과 같이 나열하기 쉽다. 소박한 중심이 있는 심플리리리 그룹이라면 누구나 유니버설 커버를 가지고 있는데, 그 중심이 심플리리리 그룹의 기본 그룹이다. 비교 중심이 있는 해당 단순 Lie 그룹은 중심 부분군이 이 범용 커버의 인수로 구할 수 있다.

대안

단순 Lie 그룹의 동등한 정의는 Lie 통신에서 다음과 같다. 연결된 Lie 그룹은 그것의 Lie 대수학이 단순하다면 단순하다. 중요한 기술적 요점은 단순한 Lie 그룹이 분리된 정상 하위 그룹을 포함할 수 있다는 것이다. 따라서 단순한 Lie 그룹이 되는 것은 추상적인 그룹으로서 단순해지는 것과는 다르다.

심플리 리 그룹은 많은 고전적인 리 그룹을 포함하고 있는데, 이 그룹은 펠릭스 클라인의 얼랑겐 프로그램이라는 의미에서 구형 기하학, 투영 기하학 및 관련 기하학을 위한 그룹-이론적 밑그림을 제공한다. 단순한 거짓말 그룹의 분류 과정에서 어떤 친숙한 기하학에도 해당하지 않는 몇 가지 예외적인 가능성이 존재한다는 것이 나타났다. 이러한 예외적인 집단은 현대 이론 물리학뿐만 아니라 수학의 다른 분야에서도 많은 특별한 예와 구성을 설명한다.

예를 들어, 일반 선형 그룹은 단순하지도, 반실행하지도 않다. 이것은 정체성의 배수가 비종교적인 정상 부분군을 형성하여 정의를 회피하기 때문이다. 동등하게, 해당 리 대수학에는 퇴보적인 킬링 형태가 있는데, 이는 대수의 0 원소까지 신분지도의 배수가 되기 때문이다. 따라서 해당 리 대수학도 단순하지도 않고 반실행적이지도 않다. 다른 반대 예로는 짝수 치수의 특수 직교 그룹이 있다. 이들은 매트릭스 $-I$ ${\displaystyle -I})$ 를 중심에 $-I$ 두고 있으며, 이 요소는 ID 요소에 경로로 연결되어 있으므로 이 그룹들은 정의를 회피한다. 이 둘은 모두 환원성 집단이다.

완전구분

Simple Lie 그룹은 완전히 분류된다. 분류는 보통 다음과 같은 몇 가지 단계로 명시된다.

단순 콤플렉스 리알헤브라의 분류 Dynkin 도표에 의한 콤플렉스 숫자에 대한 단순 리알헤브라의 분류.
단순 리얼 리알헤브라의 분류 각 단순 콤플렉스 리 대수에는 이치루 사타케의 뒤를 이어 사타케 도표라고 하는 다이킨 도표의 추가 장식에 의해 분류되는 몇 가지 실제 형태가 있다.
중심 없는 단순 거짓말 그룹 분류 모든 (실제 또는 복합) 단순 Lie ${\mathfrak {g}}$ g ${\$ $mathfrak$ ${g}$ 에 대해 ${\mathfrak {g}}$ Lie ${\mathfrak {g}}$ 이 g ${\$ 이고 $G$ ${\mathfrak {g}}$ 사소한 중심을 가진 고유한 "중심 없는" 단순 Lie $그룹$ G ${\displaystystyle G}$ 이 있다.
단순 Lie 그룹 분류

어떤 Lie 그룹의 기본 그룹이 별개의 상호 교환 그룹이라는 것을 보여줄 수 있다. Given a (nontrivial) subgroup $K\subset \pi _{1}(G)$ of the fundamental group of some Lie group $G$ , one can use the theory of covering spaces to construct a new group ${\tilde {G}}^{K}$ with $K$ in its center. 이제 어떤 (실제 혹은 복잡한) 거짓말 그룹이라도 이 구조를 중앙이 없는 거짓말 그룹에 적용하면 얻을 수 있다. 이러한 방법으로 얻은 실제 Lie 그룹은 어떤 복잡한 그룹의 실제 형태가 아닐 수 있다는 점에 유의하십시오. 그러한 실제 집단의 매우 중요한 예는 무한차원 표현 이론과 물리학에서 나타나는 메타폴로지 집단이다. When one takes for $K\subset \pi _{1}(G)$ the full fundamental group, the resulting Lie group ${\tilde {G}}^{K=\pi _{1}(G)}$ is the universal cover of the centerless Lie group $G$ , and is simply connected. 특히 모든 (실제 또는 복합) Lie 대수 또한 ${\mathfrak {g}}.$ ${\displaystyle {\$ $tilde {G$ $}$ 과(와) 연관되어 있는 "간단하게 연결된 Lie 그룹"이라고 불리는 그 Lie 대수와의 ${\tilde {G}}$ 고유하고 단순하게 연결된 Lie 그룹 ${\tilde {G}}$ ~ ${\$ $displaystyle$ {g}에 해당한다. $}$

컴팩트 거짓말 그룹

모든 단순 복합 리 대수에는 그에 상응하는 중심 없는 리 그룹이 콤팩트한 독특한 실제 형태가 있다. 이 경우 단순하게 연결된 거짓말 그룹도 콤팩트한 것으로 나타났다. 컴팩트 리 그룹은 피터-와일 정리 때문에 특히 다루기 쉬운 표현 이론을 가지고 있다. 단순한 콤플렉스 리알헤브라와 마찬가지로 중심없는 콤팩트 리 집단은 딘킨 도표(Wilhelm Killing and Elie Cartan)에 의해 분류된다.

Dynkin 다이어그램의 무한(A, B, C, D) 시리즈의 경우, 각 Dynkin 다이어그램과 연관된 단순하게 연결된 콤팩트 Lie 그룹은 행렬 그룹으로 명시적으로 설명할 수 있으며, 이에 상응하는 중심 없는 컴팩트 Lie 그룹은 스칼라 행렬의 하위 그룹에 의한 인수로 설명된다.

분류 개요

A는_r 특수 유니터리 그룹인 SU(r + 1)와 관련 센터리스 컴팩트 그룹인 프로젝트형 유니터리 그룹 PU(r + 1)로 단순하게 연결된 컴팩트 그룹이다.

B는_r 연관된 중심 없는 컴팩트 그룹으로서 홀수 특수 직교 그룹 SO(2r + 1)를 가지고 있다. 그러나 이 그룹은 단순히 연결되어 있지 않다: 그것의 보편적인 (이중) 커버는 스핀 그룹이다.

C는_r 단순히 연결된 그룹으로서 단일 공통적인 공통적 매트릭스 그룹, Sp(r) 및 관련 중심 없는 그룹을 가지고 있다. Lie 그룹 PSp(r) = Sp(r)/{I, -I}의 투사적 단일 공통 매트릭스를 가지고 있다. 그 공감적 집단들은 메타폴리스 그룹에 의해 이중 커버를 가지고 있다.

D는_r 짝수 특수 직교 그룹인 SO(2r)를 관련 컴팩트 그룹으로 하고, 관련 중심 없는 컴팩트 그룹으로 투사 특수 직교 그룹 PSO(2r) = SO(2r)/{I, -I}를 가지고 있다. B 시리즈와 마찬가지로 SO(2r)는 단순히 연결되어 있는 것이 아니라, 보편적인 커버가 다시 스핀 그룹이지만, 후자는 다시 센터(cf)를 가지고 있다. 그 물건

도표 D는₂ A₁ ∪ A와₁ 동일한 두 개의 격리된 노드로서, 이 우연은 쿼터니온 곱셈에 의해 주어지는 SU(2) × SU(2)에서 SO(4)까지의 커버 맵 동형성에 해당한다. 쿼터니온과 공간 회전을 참조한다. 따라서 SO(4)는 단순한 그룹이 아니다. 또한, 도표₃ D는₃ A와 동일하며, SU(4)에서 SO(6)까지의 커버 맵 동형성에 해당한다.

위의 A_i, B_i, C, D_i_i 네 가족 외에도 소위 예외적인 Dynkin 다이어그램 G₂, F₄, E, E₆₇, E 다섯 가지가 있다₈. 이러한 예외적인 Dynkin 다이어그램은 단순히 연결되고 중앙이 없는 컴팩트 그룹과 연관되어 있다. 그러나, 특출한 가정과 연관된 집단은, 이들의 묘사가 특출한 대상을 활용하기 때문에, 무한가족과 연관된 집단에 비해 서술하기가 더 어렵다. 예를 들어 G와₂ 연관된 집단은 팔괘의 자동형 집단이며, F와₄ 연관된 집단은 특정 알버트 대수학의 자동형 집단이 된다.

E도_7+1⁄2 참조하십시오.

리스트

아벨리안

	치수	외부자동형성군	대칭 공간의 치수	대칭공간	언급
$\mathbb {R}$ ${\$ Abelian)	1	$\mathb{R} ^{*}$	1	$\mathb {R}$	^†

메모들

^16 그룹

\mathbb {R}

{\

은(는) 추상 그룹으로서

\mathbb {R}

'단순하지 않으며, 대부분의(전부는 아니지만) 정의에 따르면 이것은 단순한 거짓말 그룹이 아니다. 게다가 대부분의 저자들은 그것의 Lie 대수학을 단순한 Lie 대수학으로 간주하지 않는다. 여기에 나열되어 있어 "단순히 연결된 대칭공간"의 리스트가 완성된다.

\mathbb {R}

{\

은(는¹) 콤팩트한 이중(Compact dual)이 없는 유일한 비 컴팩트 대칭 공간이라는

\mathbb {R}

점에 유의하십시오.

작은

	치수	기본 무리를 짓다	외부 자동형성 무리를 짓다	기타 이름	언급
A_n(n ≥ 1) 콤팩트	n(n + 2)	주기, n + 1 순서	n이 1이면 1, n > 1이면 2	투사적 특수 단일 집단 PSU(n + 1)	A는₁ B와₁ C와₁ 같다.
B_n(n ≥ 2) 콤팩트	n(2n + 1)	2	1	특수직교군 SO_2n+1(R)	B는₁ A와₁ C와₁ 같다. B는₂ C와₂ 같다.
C_n (n ≥ 3) 콤팩트	n(2n + 1)	2	1	투영 콤팩트 컴팩트 컴퍼니컬 그룹 PSp(n), PSp(2n), PUSP(n), PUSP(2n)	은둔자의 복잡한ⁿ H. Quaternionic projective space의 복잡한 구조.
D_n (n ≥ 4) 콤팩트	n(2n − 1)	순서 4(n이 홀수일 때 주기적)	2 if n > 4, s if₃ n = 4	투영 특수직교군 PSO_2n(R)	D는₃ A와₃ 같고, D는₂ A와₁² 같고, D는₁ 아벨이다.
E₆⁻⁷⁸ 콤팩트	78	3	2
E₇⁻¹³³ 콤팩트	133	2	1
E₈⁻²⁴⁸ 콤팩트	248	1	1
F₄⁻⁵² 콤팩트	52	1	1
G₂⁻¹⁴ 콤팩트	14	1	1		이것은 케이리 대수학의 오토모르피즘 그룹이다.

분할

	치수	리얼 랭크	최대 콤팩트 부분군	기본 무리를 짓다	외부 자동형성 무리를 짓다	기타 이름	치수 대칭 공간	작은 대칭 공간	비컴팩트 대칭 공간	언급
A_n I(n ≥ 1) 분할	n(n + 2)	n	D_n/2_(n−1)/2 또는 B	n = 1인 경우 무한 순환 2 if n이면 2	n = 1인 경우 1 2가 n이면 2가 된다.	투영 특수 선형 그룹 PSL_n+1(R)	n(n + 3)/2	C의ⁿ⁺¹ⁿ 실제 구조물ⁿ 또는 CP의 RP 세트. 은둔자(n = 1), 이 경우 2-sphere이다.	R의ⁿ⁺¹ 유클리드 구조물. n = 1인 경우, 상부 하프 평면 또는 단위 복합 디스크일 때.
B_n I (n ≥ 2) 분할	n(2n + 1)	n	SO(n)SO(n+1)	비순환, 순서 4	1	특수 직교 그룹의 ID 성분 SO(n,n+1)	n(n + 1)			B는₁ A와₁ 같다.
C_n I (n ≥ 3) 분할	n(2n + 1)	n	A_n−1S¹	무한순환	1	투영적 공감 집단 PSP_2n(R), PSP(2n,R), PSP(2n), PSP(n,R), PSP(n)	n(n + 1)	은둔자의 복잡한ⁿ H. Quaternionic projective space의 복잡한 구조.	은둔자의 R의²ⁿ 복잡한 구조물은 복합적인 형태와 호환된다. 쿼터니오닉 쌍곡선 공간에 있는 복잡한 쌍곡선 공간 세트. 시겔 상부 반쪽 공간.	C는₂ B와₂ 같고, C는₁ B와₁ A와₁ 같다.
D_n I (n ≥ 4) 분할	n(2n - 1)	n	SO(n)SO(n)	홀수일 경우 4개, 짝수일 경우 8개 주문	2 if n > 4, s if₃ n = 4	투영 특수 직교 그룹의 ID 구성 요소 PSO(n,n)	n²			D는₃ A와₃ 같고, D는₂ A와₁² 같고, D는₁ 아벨이다.
E₆⁶ I 분할	78	6	C₄	주문2길	주문2길	E I	42
E₇⁷ V 분할	133	7	A₇	주기, 순서 4	주문2길		70
E₈⁸ 8세 분할	248	8	D₈	2	1	E 8세	128			@ E8
F₄⁴ I 분할	52	4	C₃ × A₁	주문2길	1	FI	28	케이리 투영 평면의 쿼터니온 투영 평면.	쌍곡선 케이리 투영 평면의 쌍곡선 투영 평면.
G₂² I 분할	14	2	A₁ × A₁	주문2길	1	G I	8	케이리 대수학의 쿼터니온 하위 골격. 콰터니온-칼러	비분할 케이리 대수학의 비분할 쿼터니온 하위골격. 콰터니온-칼러

콤플렉스

	실제 치수	리얼 랭크	최대 콤팩트 부분군	기본 무리를 짓다	외부 자동형성 무리를 짓다	기타 이름	치수 대칭 공간	작은 대칭 공간	비컴팩트 대칭 공간
A_n (n ≥ 1) 콤플렉스	2n(n + 2)	n	A_n	주기, n + 1 순서	2 n = 1, 4(비순환) n ≥ 2인 경우	투영 복합 특수 선형 그룹 PSL_n+1(C)	n(n + 2)	컴팩트_n 그룹 A	C에ⁿ⁺¹ 은둔자가 있다. 정량으로
B_n (n ≥ 2) 콤플렉스	2n(2n + 1)	n	B_n	2	순서 2(복잡한 결합)	복합특수직교군 SO_2n+1(C)	n(2n + 1)	컴팩트_n 그룹 B
C_n (n ≥ 3) 복합체	2n(2n + 1)	n	C_n	2	순서 2(복잡한 결합)	투사성 복합민감군 PSP_2n(C)	n(2n + 1)	컴팩트_n 그룹 C
D_n (n ≥ 4) 콤플렉스	2n(2n − 1)	n	D_n	순서 4(n이 홀수일 경우 주기적)	n > 4에 대한 순서 4의 비순환 또는 n = 4일 경우 순서 2의 그룹과 대칭 그룹 S의₃ 곱.	투영 복합 특수 직교군 PSO_2n(C)	n(2n − 1)	컴팩트_n 그룹 D
E₆ 콤플렉스	156	6	E₆	3	순서 4(비순환)		78	컴팩트₆ 그룹 E
E₇ 콤플렉스	266	7	E₇	2	순서 2(복잡한 결합)		133	컴팩트₇ 그룹 E
E₈ 콤플렉스	496	8	E₈	1	순서 2(복잡한 결합)		248	컴팩트₈ 그룹 E
F₄ 콤플렉스	104	4	F₄	1	2		52	컴팩트₄ 그룹 F
G₂ 콤플렉스	28	2	G₂	1	순서 2(복잡한 결합)		14	컴팩트₂ 그룹 G

다른이들

	치수	리얼 랭크	최대 콤팩트 부분군	기본 무리를 짓다	외부 자동형성 무리를 짓다	기타 이름	치수 대칭 공간	작은 대칭 공간	비컴팩트 대칭 공간	언급
A_2n−1 II (n ≥ 2)	(2n − 1)(2n + 1)	n − 1	C_n	주문2길		SL_n(H), SU^∗(2n)	(n − 1)(2n + 1)	C의²ⁿ Qaternionic 구조물은 은둔자 구조와 호환된다.	복합 쌍곡선 공간(차원 2n - 1)의 쿼터니온 쌍곡선 공간(차원 n - 1)의 복사본.
A_n III (n ≥ 1) p + q = n + 1 (1 ≤ p ≤ q)	n(n + 2)	p	A_p−1A_q−1S¹			SU(p,q), A III	2pq	은둔자의 C의^p+q p 서브스페이스의 그라스만어. p 또는 q가 2인 경우, quaternion-Kahler	은둔자의 최대 양성확률의 그라스만어 C의^p,q 하위 영역 p 또는 q가 2일 경우, quaternion-Kahlernion-Kahler	p=q=1일 경우 분할 p-q ≤ 1이면 준분할
B_n I (n > 1) p+q = 2n+1	n(2n + 1)	최소(p,q)	SO(p)SO(q)			SO(p,q)	p q.	R의^p^p+q 그라스만어 p 또는 q가 1, 투영 공간인 경우 p 또는 q가 2인 경우, 은둔자 p 또는 q가 4, quaternion-Kahler인 경우	R에서^p,q 양성확정 Rs의^p 그라스만어. p 또는 q가 1인 경우, 쌍곡선 p 또는 q가 2일 경우, 은둔자 p 또는 q가 4, quaternion-Kahler인 경우	p-q ≤ 1이면 분할한다.
C_n II (n > 2) n = p+q (1 ≤ p ≤ q)	n(2n + 1)	최소(p,q)	C_pC_q	주문2길	p if q일 경우 1, p = q일 경우 2	Sp_2p,2q(R)	4pq	H의^p^p+q 그라스만인 p 또는 q가 1인 경우, Quaternionic 투영 공간 이 경우 그것은 콰터니온-칼러다.	hs^p in H^p,q. p 또는 q가 1, 쿼터니온 쌍곡선 공간인 경우 이 경우 그것은 콰터니온-칼러다.
D_n I (n ≥ 4) p+q = 2n	n(2n − 1)	최소(p,q)	SO(p)SO(q)		p와 q ≥ 3이면 8을 주문한다.	SO(p,q)	p q.	R의^p^p+q 그라스만어 p 또는 q가 1, 투영 공간인 경우 p 또는 q가 2인 경우; 은둔자 p 또는 q가 4, quaternion-Kahler인 경우	R에서^p,q 양성확정 Rs의^p 그라스만어. p 또는 q가 1이면 쌍곡선 공간 p 또는 q가 2일 경우, 은둔자 p 또는 q가 4, quaternion-Kahler인 경우	p = q, 분할할 경우 p-q ≤ 2인 경우, 준분할
D_n III (n ≥ 4)	n(2n − 1)	⌊n/2⌋	A_n−1R¹	무한순환	주문2길	SO^*(2n)	n(n − 1)	은둔자의 유클리드 구조와 호환되는 R 상의²ⁿ 복잡한 구조물.	은둔자의 R에²ⁿ 쿼터니온 이차성형이 형성된다.
E₆² II (이중치수)	78	4	A₅A₁	주기, 순서 6	주문2길	E II	40	콰터니온-칼러	콰터니온-칼러	준분할이지만 분할되지 않음.
E₆⁻¹⁴ III	78	2	D₅S¹	무한순환	사소한	E III	32	은둔자의 로젠펠드 타원형 투영면(Rosenfeld 타원형 투영면)이 복잡한 케이리 번호 위에 있다.	은둔자의 로젠펠드 쌍곡선 투영비행기 복잡한 케이리 번호들 위로 말이야
E₆⁻²⁶ IV	78	2	F₄	사소한	주문2길	E IV	26	복잡한 Cayley 번호 위에 투영 평면에 있는 Cayley 투영 평면 세트.	복잡한 Cayley 번호 위에 있는 쌍곡면의 Cayley 쌍곡면 세트.
E₇⁻⁵ VI	133	4	D₆A₁	비순환, 순서 4	사소한	E VI	64	콰터니온-칼러	콰터니온-칼러
E₇⁻²⁵ 7세	133	3	E₆S¹	무한순환	주문2길	E 7세	54	은둔자의	은둔자의
E₈⁻²⁴ IX	248	4	E₇ × A₁	주문2길	1	E IX	112	콰터니온-칼러	콰터니온-칼러
F₄⁻²⁰ II	52	1	B₄(스핀₉(R))	주문2길	1	F II	16	케이리 투영 비행기 콰터니온-칼러	쌍곡선 케이리 투영 평면 콰터니온-칼러

소차원의 단순 리 그룹

다음 표에는 소형의 단순한 리 알헤브라를 가진 몇몇 리 그룹들이 나열되어 있다. 주어진 줄에 있는 그룹들은 모두 같은 Lie 대수학을 가지고 있다. 차원 1의 경우 집단은 아벨리안이며 단순하지 않다.

어둡다	무리		대칭공간	콤팩트 듀얼	순위	어둡다
1	$\mathbb {R}$ ${\$ }, S¹ = U(1) = SO₂( $\mathbb {R}$ ${\$ ) = 스핀(2)	아벨리안	실선		0	1
3	S³ = Sp(1) = SU(2)=Spin(3), SO₃( $\mathbb {R}$ ${\$ ) = PSU(2)	작은
3	SL₂( $\mathbb {R}$ ${\$ ) = Sp₂( $\mathbb {R}$ {\ $displaystyle \mathb {R}$ }), $\mathbb {R}$ SO_2,1( $\mathbb {R}$ ${\$ )	분할, 은둔, 쌍곡선	쌍곡면 $\mathbb {H} ^{2}$ $\mathbb {H} ^{2}$ ${\$	구² S	1	2
6	SL₂( $\mathbb {C}$ ${\$ ) = Sp₂( $\mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ $\mathbb {R}$ \ $mathb {C}$ }), $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $($ R {\ $displaystyle \mathb$ {R₃ $}$ $\mathbb {R}$ }), SO $(C$ {\ $displaystyle \mathb$ {C $\mathbb {C}$ )	콤플렉스	쌍곡선 공간 $\mathbb {H} ^{3}$ $\mathbb {H} ^{3}$ ${\$	구³ S	1	3
8	SL₃( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	분할	$\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ 의 유클리드 구조물	$\mathbb {C} ^{3}$ $\mathbb {C} ^{3}$ ${\$ 의 실제 구조물	2	5
8	SU(3)	작은
8	SU(1,2)	은둔자, 준분할자, 쿼터니온자	복합 쌍곡면	복합 투영 평면	1	4
10	Sp(2) = 스핀(5 $\mathbb {R}$ SO₅( $\mathbb {R}$ ${\$	작은
10	SO_4,1( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ Sp_2,2( $\mathbb {R}$ ${\$ )	쌍곡선, 쿼터니온어	쌍곡선 공간 $\mathbb {H} ^{4}$ $\mathbb {H} ^{4}$ ${\$	구⁴ S	1	4
10	SO_3,2( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ Sp₄( $\mathbb {R}$ ${\$ )	스플릿, 에르미트어	시겔 상부 반쪽 공간.	$\mathbb {H} ^{2}$ $\mathbb {H} ^{2}$ ${\$ }의 복잡한 구조	2	6
14	G₂	작은
14	G₂	분할, 쿼터니오닉	비분할 8진수 8진수 비분할 쿼터니온 아발게브라	옥토니언의 쿼터니온 아발게브라	2	8
15	SU(4) = 스핀(6), SO₆( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$	작은
15	SL₄( $\mathbb {R}$ ${\$ }), $\mathbb {R}$ SO_3,3( $\mathbb {R}$ ${\$ )	분할	$\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\$ $displaystyle \mathb {R}$ 의 $\mathbb {R}$ ³ R {\ $displaystyle \mathb {R}$	그라스만 G(3,3)	3	9
15	SU(3,1)	은둔자의	복합 쌍곡선 공간	복잡한 투영 공간	1	6
15	SU(2,2), SO_4,2( $\mathbb {R}$ ${\$ )	은둔자, 준분할자, 쿼터니온자	$\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\$ $displaystyle \mathb {R}$ 의 $\mathbb {R}$ ² R {\ $displaystyle \mathb {R}$	그라스만 G(2,4)	2	8
15	SL₂( $\mathbb {H}$ ${\$ $\mathbb {R}$ SO_5,1( $\mathbb {R}$ ${\$ )	쌍곡선	쌍곡선 공간 $\mathbb {H} ^{5}$ $\mathbb {H} ^{5}$ ${\$	구⁵ S	1	5
16	SL₃( $\mathbb {C}$ ${\$ $\mathbb {C}$ )	콤플렉스		SU(3)	2	8
20	SO₅( $\mathbb {C}$ ${\$ $\mathbb {C}$ Sp₄( $\mathbb {C}$ ${\$ )	콤플렉스		스핀₅( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	2	10
21	SO₇( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	작은
21	SO_6,1( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	쌍곡선	쌍곡선 공간 $\mathbb {H} ^{6}$ $\mathbb {H} ^{6}$ ${\$	구⁶ S
21	SO_5,2( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	은둔자의
21	SO_4,3( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	분할, 쿼터니오닉
21	Sp(3)	작은
21	$\mathbb {R}$ ( R ${\$ $\mathbb {R}$ )	스플릿, 은둔자
21	$\mathbb {R}$ ( R ${\$ $\mathbb {R}$ )	쿼터니온어
24	SU(5)	작은
24	SL₅( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	분할
24	SU_4,1	은둔자의
24	SU_3,2	에르미트어, 쿼터니온어
28	SO₈( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	작은
28	SO_7,1( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	쌍곡선	쌍곡선 공간 $\mathbb {H} ^{7}$ $\mathbb {H} ^{7}$ ${\$	구⁷ S
28	SO_6,2( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	은둔자의
28	SO_5,3( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	준분할
28	SO_4,4( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	분할, 쿼터니오닉
28	SO^∗₈( $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ )	은둔자의
28	G₂( $\mathbb {C}$ ${\$ $\mathbb {C}$ )	콤플렉스
30	SL₄( $\mathbb {C}$ ${\$ $\mathbb {C}$ )	콤플렉스

단순히 레이싱된 그룹

단순 레이싱 그룹은 Dynkin 다이어그램에 단순한 링크만 포함되어 있는 Lie 그룹이며, 따라서 해당 Lie 대수학의 모든 논제로 루트의 길이가 같다. A, D, E 시리즈 그룹은 모두 단순히 레이싱되어 있지만 B, C, F, G 유형의 그룹은 레이싱되지 않는다.

참고 항목

참조

Jacobson, Nathan (1971). Exceptional Lie Algebras. CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.
Fulton, William; Harris, Joe (2004). Representation Theory: A First Course. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-1-4612-0979-9.

추가 읽기

베세, 아인슈타인 다양체 ISBN 0-387-15279-2
나선형, 차등 형상, 눕기 그룹 및 대칭 공간. ISBN 0-8218-2848-7
푸흐스와 슈바이거트, 대칭, 리 알헤브라스, 표현: 물리학자들을 위한 대학원 과정. 케임브리지 대학 출판부, 2003. ISBN 0-521-54119-0

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