카크무디 대수

수학에서 Kac-Moody 대수학(Victor Kac과 Robert Moody의 이름을 따서 1968년에^[1] 독립적으로 그리고 동시에 발견하였다)은 일반적으로 무한차원적인 Lie 대수학으로 일반화된 카르탄 행렬을 통해 생성자와 관계에 의해 정의될 수 있다. 이들 알헤브라는 유한차원 반실현 리알헤브라의 일반화를 이루며, 그 루트 시스템, 불가해한 표현, 국기 다지관과의 연결 등 리 대수 구조와 관련된 많은 성질은 카크-무디 설정에서 자연적인 유사성을 갖는다.

아핀 리 알헤브라스라 불리는 Kac-Moody 알헤브라의 한 부류는 수학 및 이론 물리학에서 특히 중요한데, 특히 2차원 순응장 이론과 정확히 해결할 수 있는 모델의 이론이다. Kac은 아핀 Kac-Moody Algebras의 표현 이론에 기초하여 특정한 결합 정체성, 즉 맥도날드의 정체성에 대한 우아한 증거를 발견했다. 하워드 갈랜드와 제임스 르포프스키는 로저스-라마누잔의 정체성이 비슷한 방식으로 파생될 수 있다는 것을 보여주었다.^[2]

카크무디알헤브라의 역사

Elie Cartan과 Wilhelm Killing의 초기 건축은 Cartan 정수의 유한 치수 단순 Lie Algebras의 형태에 따라 결정되었다. 1966년 장-피에르 세레는 네이단 제이콥슨이 단순화한 클로드 체발리와 하리쉬-찬드라의 관계가 ^[4]리 대수학을 정의하는 프레젠테이션을 한다는 것을 보여주었다.^[3][5] 따라서 자연적으로 양적으로 확실한 카르탄 정수의 행렬로부터 얻은 데이터를 이용한 발전기 및 관계 측면에서 간단한 리 대수학을 설명할 수 있다.

1967년 거의 동시에 구소련의 빅터 칵과 캐나다의 로버트 무디스가 칵-무디 대수학자가 되는 것을 개발했다. Kac과 Moody는 만약 Wilhelm Killing의 조건이 완화된다면, 반드시 무한한 차원일 수 있는 Cartan matrix a Lie 대수학을 연관시킬 수 있다는 것을 알아챘다." – A. J. Coleman^[6]

1967년 논문에서 로버트 무디스는 카르탄 행렬이 더 이상 긍정적이지 않은 리 알헤브라를 고려했다.^[7][8] 이것은 여전히 Lie 대수학을 낳았지만, 지금은 무한한 차원이다. 동시에, Z학점 리 알헤브라는 모스크바에서 연구되고 있었는데, 그곳에서 I. L. 칸토르는 결국 Kac-Moody 알헤브라로 알려지게 된 것을 포함하여 리알헤브라의 일반계급을 소개하고 연구했다.^[9] 빅터 케크는 또한 다항식 성장을 가진 단순하거나 거의 단순한 리알헤브라를 연구하고 있었다. 무한대의 리 알헤브라의 풍부한 수학 이론이 진화했다. 그 주제에 대한 설명으로, 다른 많은 작품들도 포함되어 있다(Kac 1990).^[10] 참고 항목(Seligman 1987)을 참조하십시오.^[11]

정의

한n×n 일반화된 카르탕 매트릭스 C)(cij), C의Kac-Moody 대수를 감안할 때는 리 대수 g{\displaystyle{\mathfrak{g}}}발전기에 의해 정의된 나는}{\displaystyle e_{나는}에 들어간다면, 나는}{\displaystyle h_{나는}h와 나는}과 레{\displaystyle f_{나는}(i\in\와 같이{1,\ldots ,n\}\right)(나는{1,…, n∈}).(다음을 통해 제공된 티온:

• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle h{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, h ${\displaystyle j_{}]}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \left[h_{i},h_{j}\right]=0\ }$ $모든$ i${\displaystyle ,}$ j${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j}$ ∈ { ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n\}}$ ${\displaystyle$ i$,j\in \{1,\ldots,n\}$ $;;\}$ ;;
• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle h_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, e ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ ;
• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle h_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$- c ${\displaystyle i_{}}$ j ${\displaystyle f_{}}$ ${\$ ;
• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle e{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ $\\$i$\}\}\}\}\}\},$ $여기$서 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$는 Kronecker 델타이다.
• If ${\displaystyle i\neq j}$ (so ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$) then ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ and ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$, where ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$ is the adjoint representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

진짜(아마도 무한한 차원) 리 대수 또한 그것의 복잡화가 Kac-Moody 대수라면 Kac-Moody 대수라고 간주된다.

일반화

주어진 벡터 공간에 뿌리를 선택할 수 있고 이중 공간에 코루트가 주어지는 Kac-Moody 대수학의 변형 형태를 정의할 수도 있다. 특히 다음과 같은 데이터가 제공된다고 가정해 보십시오.

1. n×n 일반화된 카르탄 행렬 C = r 등급의 (c_ij)
2. 치수 2n - r의 복잡한 숫자에 대한$$ 벡터 공간 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$
3. A set of n linearly independent elements ${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }}$ of ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ and a set of n linearly independent elements ${\displaystyle \alpha _{i}}$ of the dual space ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$, such that ${\displaystyle {\alpha }_i\left({\alpha }_j^{\vee }\right)}$${\displaystyle =}$ c ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$){$j}^{\vee }\오른쪽)=c_$$ji$}}}}. $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 반단순 리 대수학의 단순한 뿌리와 유사하며, ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}${$${\$displaystyle \alpha \{i}^{\ve}}}}$는 단순 코루트에 유사하다$$.

Then we can consider the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ defined by generators ${\displaystyle e_{i}}$ and ${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$ and the elements of ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ and relations

• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\$$h$, ${\displaystyle {}^{},}$ h ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ${\$ h$'\in {\mathfrak {h$
• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$( h${\displaystyle }$) ${\displaystyle e_{}}$ ${\$}=\$i}(h)e_{i$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ${\displaysty h\in$ {\$mathfak {h$
• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= -${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle f_{}}$ ${\$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ${\$
• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle e{}_{}}$ $,$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ $]$${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ α α ${\displaystyle i_{}^{}}$\\$displaystyle$ $\$$left[e_{i},f_{j}\오른쪽]=\$delta $_{ij}\$ij}\$alpha$$_${$i$$}^{$$i$}^{ij$$$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
• If ${\displaystyle i\neq j}$ (so ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$) then ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ and ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$, where ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],}$ is the adjoint representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Kac-Moody 대수학의 뿌리공간 분해

${\displaystyle \mathfrak{h}}$ ${\$은(는) Kac-Moody $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle${\$mathfrak{g}}$에 대한 카르탄 하위 대수(Cartan subalgebra)의 아날로그다$.$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\neq$ 0$}$이(가) 다음과 $같은{\displaystyle \mathfrak{}}$g {\$displaystyle${\$mathfrak {g}$의 요소인$$ 경우

${\displaystyle \forall h\in {\mathfrak {h},[h,x]=\da(h)x}$

for some ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\backslash \{0\}}$, then ${\displaystyle x}$ is called a root vector and ${\displaystyle \lambda }$ is a root of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. (The zero functional is not considered a root by convention.) The set of all roots of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is often denoted by ${\displaystyle \Delta }$ and sometimes by ${\displaystyle R}$. For a given root ${\displaystyle \lambda }$, one denotes by ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$ the root space of ${\displaystyle \lambda$$}$; 즉,

${\displaystyle {g\lambda }_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ g :${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ,${\displaystyle }$[ h${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \lambda }$ (${\displaystyle }$h${\displaystyle }$) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}\}}${\$displaystyle {\mathfrak{g}}_{\\lambda }=\$x\$in {\x\}:\all$h\$in{h,$ [$h,x]=\x\x$

It follows from the defining relations of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ that ${\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}}$ and ${\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}}$. Also, if ${\displaystyle x_{1}\in$${\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}}$ and ${\displaystyle x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}}$, then ${\displaystyle \left[x_{1},x_{2}\right]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$ by the Jacobi identity.

이론의 근본적인 결과는 어떤 Kac-Moody 대수학이라도 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$와 그 근본 공간 즉, h {\displaystyle}의 직접 합으로 분해될 수 있다는 것이다.

${\displaystyle \mathfrak{g}}$= ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ $⨁$ $Δg$ δ δ ${\displaystyle {\delta }_{}}$ { {$${ {\$displaystyle {\mathfrak {g}={\mathfrak {h}\}\oplus \bigoplus _{\lambda \{\lambda$ $\}\}\},$ ,,

그리고 모든 $루트{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\lambda }$은(는) $\lambda {\displaystyle }$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 1n ${\displaystyle {zi}_{}}$ i {\$displaystyle \lambda =\sum \i=1^{n}$$z_{$$i$}\$i}\$$i}}}}}은($는) 같은 기호의 정수인 것으로$$ 쓸 수 있다$$.

카크-무디 알헤브라의 종류

Kac-Moody 대수학의 특성은 일반화된 Cartan 행렬 C의 대수적 특성에 의해 제어된다. Kac-Moody Algebras를 분류하기 위해서는 외설적인 매트릭스 C의 경우, 즉 I의₂ 모든 I와₁ J의 I에 대해_ij C = 0인 비 빈 하위 집합 I와₁ I의₂ 분리된 결합으로 I의 세트가 분해되지 않는다고 가정하는 것으로 충분하다. 일반화된 카르탄 행렬의 분해는 해당 Kac-Moody 대수학의 직접 합 분해로 이어진다.

${\displaystyle {\mathfrak {g}(C)\simeq {\mathfrak {g}\좌(C_{1}\우)\플러스 {\mathfrak {g}\좌(C_{2}\우),}$

여기서 오른쪽에 있는 두 개의 Kac-Moody 알헤브라는 지수 세트 I 및₁ I에₂ 해당하는 C의 하위 계수와 연관된다.

Kac-Moody 알헤브라의 중요한 하위 클래스는 DS로 분해될 수 있는 대칭적인 일반화된 카르탄 행렬 C에 해당한다. 여기서 D는 양의 정수 입력을 가진 대각 행렬이고 S는 대칭 행렬이다. C가 대칭적이고 외설적이라는 가정 하에 Kac-Moody Algebras는 다음과 같은 세 부류로 나뉜다.

• 양수확정행렬 S는 유한차원 단순 리 대수학을 낳는다.
• 양의 세미데마인 행렬 S는 아핀 유형의 무한 차원 Kac-Moody 대수 또는 아핀 리 대수학(appine lie 대수학)을 발생시킨다.
• 무기한 행렬 S는 무기한 유형의 Kac-Moody 대수학으로 나타난다.
• C와 S의 대각선 입력이 양의 값이기 때문에 S는 음의 확정 또는 음의 세미데마인트가 될 수 없다.

대칭적 외설적인 일반화된 카탄 형식은 유한하고 상냥한 유형으로 완전히 분류되었다. 그들은 Dynkin 도표에 대응하고 Dynkin 도표를 첨부한다. 이러한 Kac-Moody Algebras에 해당하는 집단은 Jacques Tits에 의해 임의의 밭에 걸쳐 구성되었지만, Kac-Moody Algebras에 대해서는 거의 알려져 있지 않다.^[12]

무기한 유형의 Kac-Moody 알헤브라 중에서 대부분의 작업은 매트릭스 S가 무기한인 쌍곡선 타입에 초점을 맞췄지만, I의 각 적절한 부분집합에 대해서는 해당 하위집합은 양정확정 또는 양의 반미데핀이다. 쌍곡선 카크-무디 알헤브라는 최고 10위에 랭크되어 있으며, 완전히 분류되어 있다.^[13] 2등급은 무한히 많고, 3등급과 10등급은 238등급이다.

참고 항목

• 웨일-케이크 문자 공식
• 일반화 카-무디 대수
• 통합형 모듈
• 몬스트라스문샤인

인용구

참조

외부 링크

• SIGMA: Kac-Moody Algebras and Applications 특별호