서클 묶음

수학에서 원 묶음은 섬유 묶음이며 섬유는 원 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{1$}이다$.$

방향 원 묶음은 주 U(1) 번들이라고도 한다.물리학에서 원 묶음은 전자석의 자연 기하학적 설정이다.원 묶음은 구체 묶음의 특별한 경우다.

3마니폴드로서

표면 위에 있는 원 묶음은 3마니폴드의 중요한 예다.보다 일반적인 3마니폴드의 등급은 세이퍼트 섬유 공간인데, 이것은 일종의 "가수적인" 원 묶음으로 볼 수도 있고, 2차원 궤도형 위에 있는 원 묶음으로 볼 수도 있다.

전기역학과의 관계

맥스웰 방정식은 $\pi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \pi ^{\!*$와 함께 2-form F로 대표되는 전자기장에 해당한다.$}{F}$는 0에 동음이의어로서, 즉 정확하다.특히 전자파 4전위(동등하게, 어핀 연결)인 1형식 A가 항상 존재한다.

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

M 위에 원 묶음 P와 그 투영법을 부여한다.

${\displaystyle \pi :P\to M}$

동음이의어가 있다.

${\displaystyle \pi ^{*}:H^{2}(M,\mathb {Z} )\to H^{2}(P,\mathb {Z} )}$

여기서 ${\$는 풀백이다.각 동형성은 디락 단극에 해당한다. 정수 코호몰로지 그룹은 전하의 정량화에 해당한다.아하로노프-봄 효과는 전자파 기능을 설명하는 관련 선다발 연결부의 홀노노미(holonomy)로 이해할 수 있다.본질적으로 아하로노프-봄 효과는 양자-기계적 효과(대중적인 믿음에 반함)가 아니며, 섬유다발이나 연결부의 건설에 계량화가 관여하거나 요구되지 않기 때문이다.

예

• 호프 진동은 비종교 서클 번들의 예다.
• 표면의 단위 정상 묶음은 원 묶음의 또 다른 예다.
• 방향성이 없는 표면의 단위 일반 번들은 주 ${\displaystyle \mathrm{U}}$(${\displaystyle }$1 ) ${\displaystyle U$(1$)}$ 번들이$$ 아닌 원 묶음이다.방향성이 있는 표면에만 주 단위 접선 번들이 있다.
• 원 묶음을 구성하는 또 다른 방법은 복잡한 ${\displaystyle \mathrm{선다발}}$ L${\displaystyle }$→ X ${\displaystyle L\to X}$을(를) 사용하고 관련 구체(이 경우 원) 묶음을 취하는 것이다.이 번들에는 $L{\displaystyle }${\$displaystyle L$}에서 유도된 방향이 있으므로, 주$$ U${\displaystyle (1}$ )${\displaystyle U($1) -$$번들임을$$ 알 수 있다.^[1]더욱이 $U{\displaystyle }$( $){\displaystyle$ U$(1)}$ -분들의$$ 체르-웨일 이론의 특성 클래스는 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 특성 클래스와 일치한다$.$
• 예를 들어 분석 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 복합 평면 곡선으로 간주하십시오.

${\displaystyle {\text{Proj}\왼쪽({\frac {\mathb {C}[x,y,z]}{x^{n}+z^{n}}}\오른쪽)}$

Since ${\displaystyle H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})}$ and the characteristic classes pull back non-trivially, we have that the line bundle associated to the sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_$${\mathbb {P} ^{2}}(a)\오타수${\$mathcal{O}_{X}}$ 체르누스 클래스 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle c_{1}=a\in$ H$^{2}(X)}$가 있음$.$

분류

The isomorphism classes of principal ${\displaystyle U(1)}$-bundles over a manifold M are in one-to-one correspondence with the homotopy classes of maps ${\displaystyle M\to BU(1)}$, where ${\displaystyle BU(1)}$ is called the classifying space for U(1).$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle U(1}$)${\displaystyle }$= C ${\displaystyle P{}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$는 무한 차원 복합 투영 $공간$이며, Eilenberg-Maclane $공간$ K$Z ,$ 2${\displaystyle }$)의$예시$라는 점에 유의한다$.$$}$ 이러한$$ 번들은 이후 M의 두 번째 통합적 동족학 그룹 ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle$ H$^{2}(M,\mathb {Z} )}$의 요소에 의해 분류된다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \mathrm{B}}$ ${\displaystyle U}$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]【}$ ${\displaystyle M,}$ C ${\displaystyle P{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 【 】 ${\displaystyle 【}$ 】 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{}}$( M${\displaystyle }$)】 ${\displaystyle [M,BU(1)]\equiv [M,\mathb {C}P^{\inft }]\equiv$ H$^{2(M$

이 이형성(異形性)은 오일러 등급에 의해 실현된다. 동등하게, 부드러운 복합선다발(원형이 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 제1 체르 등급이다(본질적으로 원형이 원점이 제거된 복합면인 까닭). 따라서 0 구간이 제거된 복합선다발은 동형이다.동그라미 묶음에 상당하는 아군).

원 묶음은 관련 맵 $M{\displaystyle }$→ B ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$ null-homotopic인 경우에만$$ 기본 U${\displaystyle (1}$) ${\displaysty U(1)$묶음이며$$, 이는 묶음이 fibreise orientify가 가능한 경우에만 해당된다.Thus, for the more general case, where the circle bundle over M might not be orientable, the isomorphism classes are in one-to-one correspondence with the homotopy classes of maps ${\displaystyle M\to BO_{2}}$. This follows from the extension of groups, ${\displaystyle SO_{2}\to O_{2}\to \ma$$tbb {Z} _{2$ ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $S{\displaystyle }$ O ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ U${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle SO_{2}\equiv$ U$(1$)$$.

딜린 복합체

위의 분류는 일반적으로 원 묶음에만 적용된다. 원 묶음 매끄러운 원 묶음 또는 예를 들어, 아핀 연결이 있는 원 묶음에 대한 분류는 보다 복잡한 코호몰로지 이론을 필요로 한다.Results include that the smooth circle bundles are classified by the second Deligne cohomology ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )}$; circle bundles with an affine connection are classified by ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))}$ while ${$$\displaystyle H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )}$은(는) 선다발 게르베를 분류한다$$.

참고 항목

• 왕서열

참조

• Chern, Shiing-shen (1977), "Circle bundles", Lecture Notes in Mathematics, vol. 597/1977, Springer Berlin/Heidelberg, pp. 114–131, doi:10.1007/BFb0085351, ISBN 978-3-540-08345-0.