전자기장에 대한 수학적 설명

자연계의 4대 기본 상호작용 중 하나인 전자기학 연구에 사용되는 전자기장에 대한 다양한 수학적 설명이 있다.이 기사에서는 방정식이 일반적으로 전위와 자기장, 전위 및 전류에 대한 전하 측면에서 몇 가지 접근법에 대해 논의합니다.

벡터장접근법

전자장에 대한 가장 일반적인 설명은 전기장과 자기장이라고 불리는 두 개의 3차원 벡터장을 사용합니다.이러한 벡터 필드는 각각 시간과 공간의 모든 점에서 정의된 값을 가지며, 따라서 종종 공간과 시간 좌표의 함수로 간주됩니다.이와 같이, $E (x,$ y, z $,$ $t$ )( $전계) 및$ $B (x$ , y $,$ z, t)(자기장)라고 하는 경우가 많다.

전기장(E)만이 0이 아니고, 시간이 일정하면, 전기장은 정전장이라고 한다.마찬가지로 자기장(B)만이 0이 아니고 시간이 일정하면 자기장은 정자장이라고 한다.그러나 전기장 또는 자기장 중 하나가 시간 의존성을 갖는 경우, 두 장은 맥스웰 방정식을 사용하여 결합된 전자장으로 간주되어야 합니다.

벡터장 접근법에서의 맥스웰 방정식

정전, 자기장 또는 전기역학(전자장)의 경우에 관계없이 전기장과 자기장의 거동은 맥스웰 방정식의 지배를 받습니다.

맥스웰 방정식(벡터 필드)
$\cdot \mathbf {E} =\frac {rho }{\varepsilon _{0}}$	가우스의 법칙
$\displaystyle \cdot \mathbf {B} = 0 }$	가우스의 자기 법칙
$\displaystyle \times \mathbf {E} =-{\frac \frac \mathbf {B} {\frac t}}$	패러데이의 법칙
$\displaystyle \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac \frac \mathbf {E}} {\frac}$	암페르-맥스웰 법칙

여기서 θ는 시간과 위치에 따라 달라질 수 있는 전하 밀도, θ는₀ 전기 상수₀, μ는 자기 상수, J는 단위 면적당 전류이며 시간과 위치의 함수이기도 합니다.그 방정식은 국제 수량 체계에서 이 형식을 취한다.

비분산 등방성 선형 물질만을 다룰 때, 맥스웰 방정식은 종종 자유 공간의 투과성과 유전성을 문제의 선형 물질의 투과성과 유전성으로 대체함으로써 결합 전하를 무시하도록 수정된다.전자기장에 대한 응답이 더 복잡한 일부 재료의 경우, 이러한 특성은 급격한 필드 변화에 대응하는 재료의 능력(분산(광학 ), 그린-쿠보 관계)과 관련된 시간 의존성과 함께 텐서로 나타낼 수 있으며 비선형 및/또는 비국소 재료 기준을 나타내는 필드 의존성도 있을 수 있다.는 큰 진폭 필드(광학계)를 지원합니다.

잠재적인 필드 어프로치

전기장과 자기장의 사용 및 계산에서 사용되는 접근법은 먼저 관련된 전위를 계산한다. 즉, 전장은 전위 $\varphi$ (\ $displaystyle$ \varphi $\varphi$ 이고 자기장은 자기 벡터 전위 A(\displaystyle $\varphi$ )이다.전위는 스칼라장, 자기장은 벡터장입니다.이것이 바로 전위가 때때로 스칼라 전위라고 불리고 자기 전위가 벡터 전위라고 불리는 이유입니다.이러한 전위는 다음과 같이 관련 필드를 찾는 데 사용할 수 있습니다.

\mathbf {E} =-\mathbf \varphi -{\frac \mathbf {A} {\frac t}

\displaystyle \mathbf {B} = \mathbf {a} \times \mathbf {A}

맥스웰 방정식

이러한 관계는 맥스웰의 방정식으로 대체될 수 있으며, 맥스웰의 방정식은 잠재력 측면에서 후자를 표현할 수 있습니다.패러데이의 법칙과 자기에 대한 가우스의 법칙(균질 방정식)은 어떤 잠재력에도 동일하게 참인 것으로 밝혀졌다.이는 필드가 스칼라 및 벡터 전위의 구배와 컬로 표현되는 방식 때문입니다.이러한 전위에 관한 균질방정식은 컬 $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A}$ × $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A}$ a $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A}$ 、 A \ $display$ \ $\nabla \times \nabla \varphi$ $nabla$ \ $cdot$ \ $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A}$ $nabla$ \ $times$ \ $mathbf$ { A $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A}$ $\nabla \times \nabla \varphi$ $}$ 및 구배 $×$ ∇ ∇ $the$ × × × display of of of of of gence gence gence gence gence gence gence gence gence gence gence gence gence gence gence gence gence $\nabla \times \nabla \varphi$ gence gence gence gence gence $gence gence$ gence gence gence gence gence gence gence gence the맥스웰의 다른 두 방정식(비균질 방정식)은 잠재적 공식에서 역학을 설명하는 방정식입니다.

맥스웰 방정식(잠재적 공식)

$\displaystyle \frac ^{2}\varphi +{\frac {\frac t}\left(\mathbf {A}\오른쪽)=-{\frac {rho}{\varepsilon _{0}}}}}$

$\left(\displayla^{2}\mathbf {A}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\frac t^{A}}}{\right}-\mathbf {\displayla } \left(\mathbf {\f}) \mathbf {\f}\f} {CD}\f} {A$

이 방정식들은 맥스웰의 방정식만큼 강력하고 완전하다.게다가 전기장과 자기장이 함께 해결되어야 할 ^[1]6개의 구성요소가 있었기 때문에 문제가 다소 감소했습니다.전위 공식에는 4가지 성분, 즉 전위와 벡터 전위의 3가지 성분만 있습니다.하지만, 그 방정식은 전기장과 자기장을 사용하는 맥스웰의 방정식보다 더 복잡하다.

게이지의 자유도

이러한 방정식은 전기장과 자기장이 물리적으로 측정할 수 있는 유의한 양이라는 사실을 이용하여 단순화할 수 있지만, 잠재력은 그렇지 않습니다.게이지 자유라고 불리는 결과 전기장과 자기장에 영향을 미치지 않는 한 전위의 형태를 제한할 자유가 있습니다.특히 이들 방정식의 경우, 위치와 시간의 2배 미분 가능한 스칼라 함수의 선택에 대해, 만약 ( $θ,$ $A)$ 가 주어진 계의 해라면, 다음에 의해 주어지는 또 다른 전위 $(θ,$ $A)$ 도 마찬가지이다.

\varphi'=\varphi -{\frac\frac\flact}{\flact}

\mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\displayla } \displayda

이러한 자유도를 사용하여 잠재적 공식을 단순화할 수 있습니다.일반적으로 쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지의 두 가지 스칼라 기능 중 하나가 선택됩니다.

쿨롱 게이지

쿨롱 게이지는 θ θ A $=$ \ $displaystyle \mathbf \mathbf$ {A $}$ '= $0$ 이 되도록 선택되며, 이는 정전기학에 해당한다.,의 경우, 이것은 방정식을 만족시켜야 한다는 것을 의미한다.

\displaystyle \mathbf ^{2}\displayda =-\mathbf {A} \cdot \mathbf {A}

이 함수의 선택은 다음과 같은 맥스웰 방정식을 공식화한다.

\varphi ^{2}\varphi '=-{\frac {rho}{\varepsilon _{0}}

\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {{2}\!\mathbf {A}{\frac t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {0}_velon}_f {0}_velon}_{0}_fsilon}_fsilon}_f_f_f_f_f_f_f_f_f_{0}_f_{0}\left(\!{\frac\varphi'}{\frac t}}\!\right)

쿨롱 게이지의 맥스웰 방정식에 대한 몇 가지 특징은 다음과 같습니다.첫째, 전위를 푸는 것은 매우 쉽다. 왜냐하면 이 방정식은 포아송 방정식의 한 버전이기 때문이다.둘째, 자기 벡터 전위를 푸는 것은 특히 어렵다.이것이 이 게이지의 큰 단점입니다.세 번째로 주목해야 할 것은, 즉석에서 알 수 없는 것은, 한 지역의 상황의 변화에 따라 전위가 순식간에 변화한다는 것입니다.

예를 들어, 현지 시간으로 오후 1시에 뉴욕에서 전하가 이동하면, 전위를 직접 측정할 수 있는 호주의 가상 관찰자가 오후 1시에 전위의 변화를 측정할 수 있다.이는 특수상대성이론의 인과관계를 위반하는 것으로 보인다. 즉, 정보, 신호 또는 빛의 속도보다 빠르게 이동하는 것이 불가능하다는 것이다.이 명백한 문제의 해결은 앞에서 설명한 바와 같이 관측자가 전위를 측정할 수 없다는 사실에 있습니다. 관측자는 전기장과 자기장을 측정합니다.따라서 전계 결정에 사용되는 θθ와 θA/t의 조합에 의해 전계에 대한 특수상대성이론에 의해 부과되는 속도제한이 복원되어 모든 관측량이 상대성이론과 일치한다.

로렌츠 게이지 조건

자주 사용되는 게이지는 로렌츠 게이지 조건입니다.이 경우 스칼라 함수 θ는 다음과 같이 선택됩니다.

{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} '=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac \varphi '}{\frac \varphi t}},

must는 방정식을 만족시켜야 한다는 뜻

\displaystyle \mathbf {A} -\mu _{0} \varepsilon _{0} {\frac {\frac ^{2} =-\mathbf {A} -\mu _{0} \varepsilon _0} {\frac}}

로렌츠 게이지는 다음과 같은 형태의 맥스웰 방정식을 생성합니다.

\displaystyle \frac ^{2}\varphi '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\frac ^{2}}=-\Box ^{2}\varphi '=-{\frac {rho }{0}}

\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac ^{2}\mathbf {A} =-\Box ^{2}\mathbf {A} {\mathb

연산자 $\Box$ $(\$ 는 $\Box ^{2}$ 달랑베르티안이라고 불립니다(일부 저자는 이를 정사각형 $\Box$ ◻(\ $displaystyle \Box$ }) $\Box$ 로만 나타냅니다).이러한 방정식은 방정식의 불균일한 버전으로, 방정식 오른쪽에 있는 항이 파형의 소스 함수 역할을 합니다.모든 파동 방정식과 마찬가지로 이러한 방정식은 두 가지 유형의 해법으로 이어집니다. 고급 전위(미래 시점의 소스 구성과 관련됨)와 지연 전위(선원의 과거 구성과 관련됨)입니다. 전위는 일반적으로 필드가 인과 관계 pe에서 분석되어야 할 경우 무시됩니다.과시적인

위에서 지적한 바와 같이 로렌츠 게이지는 전위를 직접 측정할 수 없기 때문에 다른 게이지보다 유효하지 않지만 로렌츠 게이지는 로렌츠 불변 방정식의 장점이 있다.

양자 전기역학으로의 확장

전자기장의 표준 양자화는 스칼라 및 벡터 전위 δ(x, A(x)를 필드 연산자에서 필드 연산자로 상승시킴으로써 진행된다.이전 로렌츠 게이지 방정식에 1/ $c 2$ = $µμ$ 를₀₀ $대입$ 하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\displayla ^{2}\mathbf {A} - {\frac {1} {c^{2} {\frac {\frac t^{A}} =\mu _{0}\mathbf {J}

\frac ^{2}\varphi - {\frac {1}{c^{2}\varphi}{\frac t^{2}}=-{\frac {rho}{\varepsilon _{0}}}

여기서 J와 δ는 물질 필드의 전류 및 전하 밀도이다.4성분 디락 스피너장 θ에 의해 주어진 디락 전자와 전자장의 상호작용을 설명하기 위해 물질장을 취할 경우 전류 및 전하 밀도는 다음과 같이 ^[2]형성된다.

\mathbf {J} =-e\psi ^{\boldsymbol {\alpha }}\psi },\display \rho =-e\psi ^{\display }\psi },

여기서 α는 처음 세 개의 Dirac 행렬입니다.이를 사용하여 Maxwell의 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

맥스웰 방정식(QED)

$\displayla ^{2}\mathbf {A} - {\frac {1} {c^{2}\mathbf {A} } {\frac {\frac t^{2} =\mu _ {0}e\psi ^{\boldmbol {alpha } } } }$

$\varphi ^{2}\frac {1}{c^{2}}{\frac t^{2}}=frac {1}{\varepsilon _{0}}e\psi ^{\frac }\frac {{2}$

양자 전기역학에서 사용되는 형태입니다.

기하학 대수 공식

텐서 공식과 유사하게, 필드용과 전류용 두 개의 객체가 도입된다.기하학 대수학(GA)에서 이것들은 다중 벡터입니다.리만-실버슈타인 벡터로 알려진 필드 멀티벡터는

\mathbf {F} =\mathbf {E} + Ic\mathbf {B} = E^{k} \sigma _{k} + IcB^{k} \sigma _{k}

현재 멀티벡터는

c\rho -\mathbf {J} = c\rho - J^{k}\sigma _{k

여기서 물리공간(APS)

C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )

에서는 벡터 기저

\{\sigma _{k}\}

{ {

\{\sigma _{k}\}

}({

displaystyle \{\sigma

_

{k

의 C

C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )

3,

C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )

R)

{

displaystyle

C

\ell

_{3,

0}(\mathbb {R})

이다

C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )

.pseudoscalar는 I

I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}

I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}

I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}

2

I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}

{

displaystyle

I = \

sigma

_ {

1}

\

sigma

_ {

2}

\

scal

I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}

_

{

3} 입니다(직교 정규 기준).직교 정규 기저 벡터는 파울리 행렬의 대수를 공유하지만, 보통 그들과 동일하지는 않다.도함수 정의 후

(\displaystyle\boldsymbol\symbol\symbol\symbol\symbol\symbla }=

맥스웰 방정식은 단일^[3] 방정식으로 환원된다.

맥스웰 방정식 (APS 공식화)

$\leftfrac {1}{c}{\dfrac}{\flac t}}+{\boldsymbol {\bla }}\mathbf {F} =\mu _{0}c(c\rho -\mathbf {J})$

3차원에서 파생상품은 다음과 같은 교차곱을 도입할 수 있는 특수 구조를 가지고 있다.

\displaystyle \boldsymbol \mathbf {F} =\boldsymbol \mathbf {F} + {\boldsymbol \mathbf {F} =\boldsymbol \mathbf {F} + {\cdot\mboldsymbol}

여기서 가우스의 법칙은 스칼라 부분이고, 앰퍼-맥스웰 법칙은 벡터 부분이며, 패러데이의 법칙은 의사벡터 부분이며, 가우스의 자기 법칙은 방정식의 의사벡터 부분임을 쉽게 알 수 있다.확장 및 재배열 후에는 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

\displaystyle \left({\boldsymbol\nabla}}\cdot \mathbf {E}-{\frac {rho }{\varepsilon _{0}\right}-c\left({\boldsymbol\nabla}}})-times \mathbf {B}-{0}_frapsymbf {E} - 0}_fr}I\left({\boldsymbol\nabla}}}\times \mathbf {E} +{\frac {\mathbf {B}}}{\partial {t}}\오른쪽)+Ic\left({\boldsymbol\cdot\mathbf {B}\right)=0}

APS는 시공간 대수(STA) $C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )$ $C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )$ 1, $C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )$ ( $C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )$ (\ $displaystyle$ C $\$ $ell$ _ ${1,3}$ (\ $mathbb {R$ 의 하위 대수로 식별할 수 있으며, $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}$ : k $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}$ k $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}$ 0 \ $displaystyle$ \ = \ $display$ { $k }$ \ $time$ {k} _ 0 $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}$ $I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$ $I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$ 를 $\sigma_k=\gamma_k\gamma_0$ $I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$ 합니다. $\gamma _{\mu }$ μ {\ $displaystyle \gamma$ _ ${\mu}}$ 는 $\gamma_\mu$ 감마 행렬의 대수적 특성이 동일하지만 행렬 표현은 필요하지 않다.이제 파생상품은

\displayla =\display ^{\mu}\display_{\mu}

리만-실버스타인은 바이벡터가 된다.

F=\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{1}\gamma _{0}\gamma _{2}\gamma _{0}\gamma _{3}\gammathbf {B}_{1

전하와 전류 밀도가 벡터가 되고

J=J^{\mu}\sigma_{\mu}=c\rho\gamma_{k}=\gamma_{0}(c\rho -J^{k}\sigma_{k}).

정체성 때문에

\displaystyle _{0}\displayla =\display _{0}\display _{0}\display ^{k}\display _{k}=\display _{k}+\display _{k}=display frac {1}{c}\displayla ^{0}\d} ^{k} } } } }

맥스웰 방정식은 단일 방정식으로 환원된다.

맥스웰 방정식 (STA 공식화)

$(\displaystyle\sla F=\mu_{0}cJ).}$

차등 양식 접근

필드 2 폼

모든 곳에서 $θ$ = $θ 0 0$ 및 μ = μ가 일정한 자유 공간에서, 맥스웰 방정식은 일단 미분 기하학과 미분 형식의 언어를 사용하면 상당히 단순화된다.다음 예에서는 SI 단위가 아닌 cgs-Gaussian 단위가 사용됩니다.(SI로 변환하려면 여기를 참조하십시오.)이제 전기장과 자기장이 4차원 시공간 매니폴드에서 2-폼 F로 함께 설명됩니다.패러데이 $F_{\mu \nu }$ $F_{\mu \nu }$ μ $F_{\mu \nu }$ {\ $displaystyle F_{\mu \nu$ }}( $F_{\mu \nu }$ 전자파 텐서)는 다음과 같이 미터법 기호 $(-$ + $+)$ 를 사용하여 민코프스키 공간에서 2-형식으로 쓸 수 있다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{F}&\equiv{\frac{1}{2}}F_{\mu \nu}\mathrm{d}x^{\mu}\wedge\mathrm{d}x^{\nu}\\&amp을 말한다.=B_{)}\mathrm{d}\mathrm{d}z+B_{y}\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x+B_{z}\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y+E_{)}\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}t+E_{y}\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}t+E_{z}\mathrm{d}z\wedge \m y\wedge.athrm {d} t\end {aligned}}

곡률 형태에 따라 전자파 4극자의 외부 파생물이 된다.

\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {A} =(\mathbf {A}_{\nu})\mathrm {d} x^{\mu}\mathrm {d} x^{\nu}}}}

선원 자유 방정식은 이 2-양식에 대한 외부 도함수의 작용에 의해 작성될 수 있습니다.그러나 소스 항이 있는 방정식(가우스의 법칙 및 Ampere-Maxwell 방정식)의 경우 이 2-형태의 Hodge 쌍이 필요합니다.Hodge 별 연산자는 p-형식을 ( $n$ - p)-형식으로 변환합니다. 여기서 n은 차원의 수입니다.여기서, 2가지 형태(F)를 취하고 또 다른 2가지 형태(4차원, $n$ - $p$ $= 4$ - 2= $2$ )를 나타낸다.기저 코탄젠트 벡터의 경우, 호지 이중은 다음과 같이 주어진다. (호지 별 연산자 four 4차원 참조)

\displaystyle {star}(\mathrm {d} x\mathrm {d} y)=-\mathrm {d} z\mathrm {d} t,\mathrm {d} x\mathrm {d} t)=\mathrm {d} y\mathrm {d} z

기타 등등.이러한 관계를 이용하여 패러데이 2-형태의 쌍대는 맥스웰 텐서이다.

{\star}\mathbf {F} =-B_{x}\mathrm {d} t-B_{y}\mathrm {d} y\mathrm {d} t-B_{z}\mathrm {d} z\mathrm {d} t-mathrm {d} \m {d

전류 3-폼, 이중 전류 1-폼

여기서 3가지 형태 J를 전류 형태 또는 전류 3가지 형태라고 합니다.

\displaystyle \mathbf {J} =\rho,\mathrm {d} y\mathrm {d} z-j_{x}\mathrm {d} t\mathrm {d} y\mathrm {d} t\mathrm {d} t\m {d} t\mathrm {d}

해당하는 듀얼 1-폼:

\displaystyle {{\star}\mathbf {J}=-\rho,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z}

맥스웰 방정식은 비앙키 항등식과 소스 방정식으로 각각 ^[4]축소된다.

맥스웰 방정식(전류 3-형식)

$\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} = 0}$

$\displaystyle \mathrm {d}\mathbf {F} =\mathbf {J}$

여기서 d는 형태에 작용하는 자연 좌표 및 미터법에 의존하지 않는 미분 연산자이며, (이중) 호지 별 연산자 ${\star }$ δ(\ $displaystyle\star})$ 는 ${\star }$ 민코프스키 공간의 미터법에 의해 정의된 2가지 형태의 공간에서 (4 - 2) 형태의 공간으로의 선형 변환이다.이 메트릭에 준거한 메트릭).필드는 자연 단위로 1/ $4µ 0 = 1$ 입니다.

이후 d2)0, 3-form J가 현재(연속 방정식)의 보존:.

{\displaystyle \mathrm{d}{\mathbf{J}}=\mathrm{d}.}{F}=0 ^{2}{\star}\mathbf.

현재의 3-양식은 3차원 시공간 영역에 통합될 수 있습니다.이 적분의 물리적 해석은 공간적이라면 해당 영역의 전하, 공간적이라면 일정 시간 내에 표면을 통과하는 전하량입니다.외부 도함수는 모든 매니폴드에 정의되므로, 비앙치 항등식의 미분 형식 버전은 모든 4차원 매니폴드에 의미가 있는 반면, 다지관이 지향하고 로렌츠 메트릭을 갖는 경우 소스 방정식이 정의됩니다.특히 맥스웰 방정식의 미분 형식 버전은 일반 상대성 이론에서 맥스웰 방정식의 편리하고 직관적인 공식입니다.

그래서 J{\displaystyle \mathbf{J}}이 1-form에 전화를 걸고⋆ 현재 J({J}}를 3-form라는 이중 현재 양이: 많은 문헌들에서 J{\displaystyle \mathbf{J}}과⋆ J({J}}, 전환할 수 있다.[5]

물질의 선형 거시적 영향

선형, 거시적 이론적으로 물질의 전자기장에 미칠 영향은 더 일반적인 선형 변환을 통해 2-forms의 공간에 설명되어 있다.우리는 부른다

{\displaystyle C:\Lambda ^{2}\ni \mathbf{F}\mapsto \mathbf{G}\in \Lambda ^{(4대 2로)}}.

구성 변형이 변환의 역할은 Hodge 이중성 변환과 유사합니다.물질이 존재하는 경우의 맥스웰 방정식은 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} = 0}

{\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{G}=\mathbf{J}}.

여기서 전류 3-폼 J는 여전히 연속성 방정식

dJ

=

0

을 만족한다.

기초 형태의 선형 조합(외부 제품의)θp, 때 들판이 표현된다.

\mathbf{F}={\frac{1}{2}}F_{pq}\mathbf{\theta}\mathbf{\theta}^{q}^{p}\wedge.

헌법상의 관계가 성립하다

G_{pq}=C_{pq}^{중성자의 정지 질량}F_{중성자의 정지 질량}

여기서 필드 계수 함수는 지수에서 반대칭이고 구성 계수는 해당 쌍에서 반대칭입니다.특히 위에서 논의된 진공 방정식으로 이어지는 호지 이중성 변환은 다음을 통해 얻어진다.

{\displaystyle C_{pq}^{중성자의 정지 질량}={\frac{1}{2}}g^{엄마}g^{nb}\varepsilon _{abpq}{\sqrt{-g}}}.

스케일링까지 메트릭으로 정의할 수 있는 이 유형의 유일한 불변 텐서이다.

이 입안에서, 전자기 generalises 즉시4-dimensional 지향 매니폴드에 또는 작은 각색도 많다.

예비 미터 서명

미터 법 서명(+− − −)의 입자 물리학자의 부호 규약에서, 잠재적 1-form 있다.

\displaystyle \mathbf {A} =\phi,\mathrm {d} t-A_{x}\mathrm {d} x-A_{y}\mathrm {d} y-A_{z}\mathrm {d} z.}

패러데이 곡률 2-양식은

{\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{F}\equiv&{\frac{1}{2}}F_{\mu \nu}\mathrm{d}x^{\mu}\wedge\mathrm{d}x^{\nu}\\=&amp을 말한다.E_{)}\mathrm\mathrm{d}x+E_{y}\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}y+E_{z}\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}z-B_{)}\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z-B_{y}\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x-B_{z}\mathrm{d}x\wedge \m t\wedge{d}.athrm {d} y\end {aligned}}

맥스웰 텐서는

{{\star}\mathbf {F}}=-E_{x}\mathrm {d} y\mathrm {d} z\mathrm {d} x-E_{z}\mathrm {d} y\mathrm {d

현재의 3폼 J는

\displaystyle \mathbf {J} =-\rho,\mathrm {d} y\mathrm {d} z+j_{x}\mathrm {d} t\mathrm {d} y\mathrm {d} t\mathrm {d} t\mathrm {d} \m {d}

대응하는 듀얼 1-폼은

\displaystyle {{\star}\mathbf {J}=-\rho,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z.}

현재의 규범은 현재 긍정적이며 동등하다.

{\displaystyle\mathbf {J}\mathbf {J}=(\rho ^{2}+j_{x}^{2}+j_{y)}^{2}+j_{z}^{2},{\star}(1)

표준 볼륨

{\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

{\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

{\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

1 ） = d

{\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

dx

{\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

dx

{\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

dx

{\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

dxisplaystyle

{

star

} (1)

=

\

mathrm {d}

t\ display \

mathrm {d}

x

\ display

\

mathrm

{d} y \

mathrm

{

d}

z

{\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

입니다.

곡선 시공간

종래의 제제

물질과 에너지는 시공간의 곡률을 만들어 낸다.이것은 일반 상대성 이론의 주제이다.시공간 곡률은 전기역학에 영향을 미친다.에너지와 운동량을 가진 전자장도 시공간에서 곡률을 발생시킨다.곡면 시공간에서의 맥스웰 방정식은 평탄한 시공간에서의 방정식의 도함수를 공변 도함수로 대체함으로써 얻을 수 있다.(이것이 적절한 일반화인지 아닌지는 별도 조사가 필요합니다.)소스 및 소스 프리 방정식은 다음과 같습니다(cgs-Gaussi 단위).

{4\pi \over c}j^{\alpha }=\display_{\alpha }F^{\gamma }+{\mu \alpha }{\gamma ^{\mu }F^{\gampa }}{\stack

그리고.

0=\displays}F_{\alpha \displays}+\displays}F_{\gamma \alpha }+\displays_{\displays}F_{\displays}F_{\displays}F_{\alpha

여기서,

(\displaystyle\Gamma^{\alpha}}_{\mu\beta}})

는 시공간 곡률을 특징짓는 크리스토펠 기호이고 _αθ는 공변 도함수입니다.

미분 형식의 공식화

미분 형식의 맥스웰 방정식의 공식은 일반 상대성 이론의 변화 없이 사용될 수 있다.공변량 도함수를 미분 공식과 사용하는 보다 전통적인 일반 상대론적 공식의 등가성은 다음과 같이 볼 수 있다.좌표가 정의된 열린 집합의 모든 점에서 1-폼 dx를^α 기준으로 하는 로컬 좌표^α x를 선택합니다.이 기준과 cgs-Gaussi 단위를 사용하여 정의합니다.

필드 2-폼 F에 해당하는 대칭 필드 텐서_αβ F ${\displaystyle \mathbf {F} = flac {1}{2}},\mathrm {d} x^{\alpha }\display \mathrm {d} x^{\alpha }.}.$
전류-벡터 무한소 3-폼 J $\mathbf {J} = {4\pi \over c}\left\frac {6} j^{\alpha }{\alpha },\varepsilon _{\alpha \display \d} x^{\mathrm } x\mathrm {\rm } {\rm} {\rm} \rmath} {\rm} \rm }\right)$

미분 3-양식으로 계약된 엡실론 텐서는 필요한 항의 6배를 생성한다.

여기서 g는 통상적으로 메트릭 텐서를 나타내는 행렬의 행렬식이다. 예를_αβ 들어 크리스토펠 기호(즉, Levi-Civita 연결의 비틀림 없음)의 대칭과 호지 별 연산자의 공분산 상수성을 사용하는 작은 계산은 이 좌표 근방에서 다음을 갖는다는 것을 보여준다.

비앙치족 $\displaystyle \mathbf {F} = 2(\display_{\display} F_{\gamma \alpha }+\display_{\display} F_{\gamma \alpha }+\display_{\mathrm }) F_{\mathrm {d} {d}$
근원 방정식 $\displaystyle \mathrm {d} {star \mathbf {F} = flac {1} {6} {F^{\alpha \alpha }}_{;\alpha }{\alpha }{\varepsilon _{\alpha \alpha \g}\mathrm {d}x^{\alpha }\mathrm {d}x^{\alpha}\mathb},$
연속 방정식 $\mathbf {J} = {4\pi \over c} {j^{\alpha }}_{;\alpha }{\alpha } {\varepsilon _{\alpha } \syslog \s } \mathrm {d} \mathrm {d } \m {\mathrm {d } } } } \silon {\silon {\selon {\selon {\selon } {\selon }$

선다발의 곡률로서의 고전 전기역학

맥스웰 방정식을 공식화하는 우아하고 직관적인 방법은 U(1)가 규칙적으로 작용하는 섬유에 복잡한 선다발 또는 주요 U(1)-다발을 사용하는 것입니다.선다발상의 주요 U(1)-접속θ는 곡률 F = ²θ를 가지며 $이$ 는 $dF$ = 0을 자동적으로 만족시키는 2가지 형태이며 전계강도로 해석할 수 있다.선다발이 평탄한 기준 연결 d로 사소한 경우 A로 θ $= d$ + $A$ $및$ F = $dA$ 를 전위와 자기 벡터 전위로 구성된 1-형식으로 쓸 수 있습니다.

양자역학에서 연결 자체는 시스템의 역학을 정의하기 위해 사용됩니다.이 공식은 아로노프-봄 효과를 자연스럽게 묘사할 수 있게 한다.이 실험에서는 정적 자기장이 긴 자기선(예: 세로 방향으로 자화된 철선)을 통과합니다.이 와이어의 외부에서는 벡터 전위와 대조적으로 자기 유도는 0입니다. 벡터 전위는 기본적으로 와이어의 단면을 통과하는 자속에 의존하며 외부에서 사라지지 않습니다.전기장도 없기 때문에 실험 중 튜브 바깥 시공간 영역 전체에 걸쳐 맥스웰 $텐서$ F = $0$ 이다.즉, 정의상 접속 is는 거기서 평평합니다.

단, 앞에서 설명한 바와 같이 튜브를 둘러싼 수축 불가능한 곡선을 따르는 홀로노미는 튜브를 통과하는 자속이기 때문에 튜브를 통과하는 자계에 따라 연결된다.이것은 튜브 주위를 도는 전자파에 대한 이중 슬릿 전자 회절 실험을 통해 양자역학적으로 검출할 수 있다.홀로노미는 추가 위상 시프트에 해당하며, 이는 회절 ^[6]^[7]패턴의 시프트로 이어집니다.

논의

이러한 제제를 사용하는 이유는 다음과 같습니다.

잠재적 제제

진보된 고전 역학에서는 맥스웰의 방정식을 전위(스칼라 전위라고도 함) θ와 자기 전위(벡터 전위) A를 포함하는 전위 공식으로 표현하는 것이 종종 유용하고 자주 필수적입니다.예를 들어, 무선 안테나의 분석은 변수를 분리하기 위해 맥스웰의 벡터와 스칼라 전위를 최대한 활용하는데, 이는 미분 방정식의 해법을 공식화하는 데 사용되는 일반적인 기술이다.잠재력은 균질 방정식에 Poincaré rema를 사용하여 보편적 방식으로 해결할 수 있다(이는 위상학적으로 단순한, 예를 들어 수축 가능한 공간을 고려한다고 가정한다).전위는 위의 표와 같이 정의되어 있습니다.또는 이러한 방정식은 전기 및 자기 전위의 관점에서 E와 B를 정의하며, 그 후 E와 B에 대한 균질한 방정식을 항등식으로 만족시킨다.치환은 비균질 맥스웰 방정식을 전위 형태로 제공한다.

A와 δ의 많은 다른 선택은 주어진 관측 가능한 전기장과 자기장 E와 B와 일치하기 때문에 잠재력은 더 많은 관측 불가능한 정보를 포함하는 것으로 보인다.그러나 잠재력의 비고유성은 잘 알려져 있다.위치 및 시간 $θ$ ( $x,$ $t)$ 의 모든 스칼라 함수에 대해 다음과 같이 게이지 변환을 통해 전위를 변경할 수 있습니다.

\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac \mathbf {A}',\mathbf {A} +\mathbf {A} \frac t}

전기장과 자기장을 바꾸지 않고요.게이지 변환 전위

(,,

A)

와

(

φ,

A)

의 2쌍을 게이지 등가라고 하며 게이지 등가 등급에서 임의의 전위 쌍을 선택할 수 있는 자유를 게이지 자유도라고 한다.다시 한 번 Poincaré lema(및 그 가정 하에서)에 따르면 게이지 자유도는 불확실성의 유일한 원천이므로, 잠재적 방정식을 게이지 등가 등급에 대한 방정식으로 간주할 경우, 필드 공식은 잠재적 공식과 동등하다.

게이지 고정이라는 절차를 사용하여 전위 방정식을 단순화할 수 있습니다.전위는 게이지 등가까지만 정의되므로 모든 전위 쌍에 대해 추가 방정식을 충족하는 게이지 등가 쌍이 존재하는 한 전위에 추가 방정식을 적용할 수 있습니다(즉, 게이지 고정 방정식이 게이지 동작에 대한 슬라이스를 정의하는 경우).게이지 고정 전위는 게이지 고정 방정식을 불변하게 하는 모든 게이지 변환에서도 게이지 자유도를 유지합니다.전위 방정식을 검사하면 두 가지 자연 선택이 제시됩니다.쿨롱 게이지에서는 c $2 aA / tt 2$ $항$ 을⁻² 무시할 수 있는 자기 정적인 경우에 주로 사용되는 $\nabla$ ⋅ $A$ = $0$ 을 부과합니다.로렌츠 게이지(데인 루드비그 로렌츠의 이름을 따서 명명됨)에서, 우리는 다음을 부과한다.

\displaystyle \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}{\frac \varphi}{\frac t}=0,}

로렌츠 게이지 조건은 로렌츠 불변성이며 전위에 대한 로렌츠 불변 방정식으로 이어진다는 장점이 있습니다.

명백한 공변(텐서) 접근법

맥스웰 방정식은 특수 상대성 이론과 정확히 일치한다. 즉, 한 관성 기준 프레임에서 유효하다면 다른 모든 관성 기준 프레임에서 자동으로 유효하다.사실, 맥스웰의 방정식은 특수 상대성 이론의 역사적 발전에 결정적이었다.하지만, 맥스웰 방정식의 일반적인 공식에서, 특수 상대성 이론과의 일관성은 명백하지 않다; 그것은 힘든 계산에 의해서만 증명될 수 있다.

예를 들어,^[8] 자석의 장에서 움직이는 도체를 생각해 봅시다.자석의 프레임에서, 그 도체는 자력을 경험합니다.그러나 자석에 대해 움직이는 도체의 프레임에서는 전계에 의한 힘이 발생합니다.이 두 개의 다른 기준 프레임에서는 움직임이 정확히 일치하지만 수학적으로는 상당히 다른 방식으로 발생합니다.

이러한 이유와 다른 이유로, 맥스웰 방정식을 공변적이고 반변적인 4개의 벡터와 텐서를 사용하여 특수 상대성 이론과 명백히 일치하는 방식으로 다시 쓰는 것이 종종 유용하다.이는 4-전류 J와 함께 전자파 텐서 F 또는 4-전위 A를 사용하여 수행할 수 있다. 고전 전자기학의 공변 공식 참조.

차등 양식 접근

가우스의 자기 법칙과 패러데이-맥스웰 법칙은 방정식이 동질적이기 때문에 함께 그룹화될 수 있으며, 4전위 A에서 도출될 수 있는 필드 F(2-형태)를 나타내는 기하학적 동일성으로 볼 수 있다.가우스의 전기 법칙과 암페어-맥스웰 법칙은 최소 작용의 라그랑지안 원리를 통해 얻은 장 운동 방정식으로 볼 수 있으며, "상호작용 항" AJ(게이지 공변량 도함수를 통해 도입됨)에서 장과 물질을 결합한다.극한 작용 원리에 관한 맥스웰 방정식의 현장 공식은 전자기 텐서를 참조하십시오.

종종 패러데이-맥스웰 방정식의 시간 도함수는 이 방정식을 "역학적"이라고 부르는 동기를 부여하는데, 이는 이전 분석의 의미에서는 다소 오해의 소지가 있다.이것은 오히려 선호되는 시간 방향을 선택함으로써 상대론적 공분산을 깨는 인공물이다.이러한 필드 방정식에 의해 전파되는 물리적 자유도를 가지려면 A에 대한 운동 $용어$ F $µF$ 를 포함해야 하며 게이지 $변환$ A $µ$ A - $dα$ 에 의해 제거될 수 있는 비물리적 자유도를 고려해야 한다.게이지 고정 및 Faddeev – Popov 고스트도 참조하십시오.

기하학 미적분법

이 공식은 기하학적 곱이라고 불리는 분포, 연관적(가환적이 아닌) 곱의 도입을 통해 시공간이 생성하는 대수를 사용한다.대수의 요소와 연산은 일반적으로 기하학적 의미와 연관될 수 있다.대수의 구성원은 등급에 따라 분해될 수 있으며 (미분 형식의 형식에서와 같이) k-벡터를 가진 벡터의 (기하학) 곱은 ( $k$ - $1)-$ 벡터와 ( $k$ + $1)-$ 벡터로 분해된다. $(k$ - $1)-$ 벡터 구성 요소는 내부 제품과, ( $k$ + $1)-$ 벡터 구성 요소는 외부 제품과 구별할 수 있습니다.기하학적 곱은 반전할 수 있는 반면 내적과 외적 곱은 반전할 수 없는 것이 대수적 편리함이다.맥스웰 방정식에 나타나는 도함수는 벡터이며 전자기장은 패러데이 바이벡터 F로 표현된다.이 공식은 미터법 텐서가 있는 다양체에 대한 미분 형식만큼 일반적이며, 이러한 공식은 자연스럽게 r-형식으로 식별되며 이에 상응하는 연산이 있다.맥스웰 방정식은 이 형식주의에서 하나의 방정식으로 요약된다.이 방정식은 비교적인 이유로 위와 같이 여러 부분으로 나눌 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 그리피스의 전기역학 입문
^ 양자전기역학, 수학세계
^ Oersted 메달 강의 David Hestenes "물리학의 수학적 언어 개혁" (Am.J. Phys. 71 (2), 2003년 2월, 페이지 104–198 )온라인 : http://geocalc.clas.asu.edu/html/Oersted-ReformingTheLanguage.html p26
^ Harley Flanders (1963) 자연과학에 응용하는 차등 양식, 44~46페이지, 학술 출판사
^ Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W. H. Freeman. p. 81. ISBN 978-0-7167-0344-0.
^ M. Murray (5 September 2008). "Line Bundles. Honours 1996" (PDF). University of Adelaide. Retrieved 2010-11-19.
^ R. Bott (1985). "On some recent interactions between mathematics and physics". Canadian Mathematical Bulletin. 28 (2): 129–164. doi:10.4153/CMB-1985-016-3.
^ 알버트 아인슈타인(1905) 움직이는 물체의 전기역학에 대하여

레퍼런스

Warnick, Karl; Russer, Peter (2014). "Differential Forms and Electromagnetic Field Theory" (PDF). Progress in Electromagnetics Research. 148: 83–112. doi:10.2528/PIER14063009.
Russer, Peter (2006). Electromagnetics, Microwave Circuit and Antenna Design for Communications Engineering (2nd ed.). Artech House. ISBN 978-1-58053-907-4. (Warnick, Russer 2006 ISBN 1-59693-096-9에서의 작업상의 문제)
Hehl, Friedrich; Obukhov, Yuri (2003). Foundations of Classical Electrodynamics. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4222-8.
Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Geometric Algebra for Physicists. Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-71595-9.

[1] 그리피스의 전기역학 입문

[2] 양자전기역학, 수학세계

[3] Oersted 메달 강의 David Hestenes "물리학의 수학적 언어 개혁" (Am.J. Phys. 71 (2), 2003년 2월, 페이지 104–198 )온라인 : http://geocalc.clas.asu.edu/html/Oersted-ReformingTheLanguage.html p26

[4] Harley Flanders (1963) 자연과학에 응용하는 차등 양식, 44~46페이지, 학술 출판사

[5] Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W. H. Freeman. p. 81. ISBN 978-0-7167-0344-0.

[6] M. Murray (5 September 2008). "Line Bundles. Honours 1996" (PDF). University of Adelaide. Retrieved 2010-11-19.

[7] R. Bott (1985). "On some recent interactions between mathematics and physics". Canadian Mathematical Bulletin. 28 (2): 129–164. doi:10.4153/CMB-1985-016-3.

[8] 알버트 아인슈타인(1905) 움직이는 물체의 전기역학에 대하여

[1]

[2]

[3]

[4]

[6]

[7]

[8]

Search

전자기장에 대한 수학적 설명

네임스페이스

더

목차

벡터장접근법

벡터장 접근법에서의 맥스웰 방정식

잠재적인 필드 어프로치

맥스웰 방정식

게이지의 자유도

쿨롱 게이지

로렌츠 게이지 조건

양자 전기역학으로의 확장

기하학 대수 공식

차등 양식 접근

필드 2 폼

전류 3-폼, 이중 전류 1-폼

물질의 선형 거시적 영향

예비 미터 서명

곡선 시공간

종래의 제제

미분 형식의 공식화

선다발의 곡률로서의 고전 전기역학

논의

잠재적 제제

명백한 공변(텐서) 접근법

차등 양식 접근

기하학 미적분법

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

Search

전자기장에 대한 수학적 설명

벡터장접근법

벡터장 접근법에서의 맥스웰 방정식

잠재적인 필드 어프로치

맥스웰 방정식

게이지의 자유도

쿨롱 게이지

로렌츠 게이지 조건

양자 전기역학으로의 확장

기하학 대수 공식

차등 양식 접근

필드 2 폼

전류 3-폼, 이중 전류 1-폼

물질의 선형 거시적 영향

예비 미터 서명

곡선 시공간

종래의 제제

미분 형식의 공식화

선다발의 곡률로서의 고전 전기역학

논의

잠재적 제제

명백한 공변(텐서) 접근법

차등 양식 접근

기하학 미적분법

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

「」를 참조해 주세요.