야코비안 행렬과 결정인자

벡터 미적분학에서 여러 변수의 벡터 값 함수의 자코비안 행렬(/dʒˈkoʊbiən/,^[1]^[2]^[3] /dʒɪɪ-, jɪ-/)은 모든 1차 부분파생물의 행렬이다. 이 행렬이 정사각형일 때, 즉 함수가 출력의 벡터 성분의 수와 같은 수의 변수를 취할 때, 그 결정 인자를 야코비안 결정 인자라고 한다. 행렬과 (해당되는 경우) 결정인자를 모두 문학에서 흔히 간단히 자코비안이라고 부른다.^[4]

$f$ : $R n$ → $R$ 은^m 각각의 1차 부분파생상품이 $R$ 에ⁿ 존재하는 함수라고 가정하자. 이 함수는 포인트 $x$ ∈ $R$ 을ⁿ 입력값으로 삼고 $벡터$ f $(x) output m$ R을 출력값으로 생산한다. 그 다음에 $f$ 의 Jacobian 행렬은 $J$ 가 가리키는 $m \times n$ 행렬로 정의된다. JJ의 ( $i, j)$ 번째 항목은 ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$ = ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$ f ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$ ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$ ${\$ 또는 명시적으로 나타난다.

\mathbf{J}={\begin{bmatrix}{\dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_{1}}}&\cdots &,{\dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm{T}}f_{1}\\\vdots(^{\mathrm{T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &,{\dfrac. {\partial f_{1}}{\cHB x_{n}}\\vdots &\\vdots \\\\vdots \\\\\dfrac {\cHB_{1}{1}}}\dfrac {\cdots {\\\cHB_{m}}}{bmatrix}}}}}}}}}}}}

여기서 $\nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}$ $\nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}$ $\nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}$ $\nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}$ ${\$ 는 $i$ $i$ 성분의 $i$ 경사로의 전치(행 벡터)이다 $\nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}$ .

x의 항목 기능은 야코비안 행렬, 다양한 방법으로;일반적인 기호, 그리고}(f1,.., fm)∂(x1,.. xn){\displaystyle{\frac{\partial(f_{1},..,f_{m})}{(x_{1},..,x_{n})\partial}∂}Df, Jf,∇ f{\displaystyle \nabla \mathbf{f}}include[표창 필요한]. 몇몇 a표시됩니다.uthors를 정의하 Jacobian은 위에 주어진 형태의 전치물로써.

Jacobian 매트릭스는 $f$ 가 다른 모든 점에서 $f$ 의 차이를 나타낸다. 세부적으로 $h$ 가 컬럼 매트릭스로 대표되는 변위 벡터인 경우, 매트릭스 $제품$ $J (x$ ) $h$ h는 또 다른 변위 벡터로서, $f (x$ )가 x에서 상이한 경우 $x$ 의 근방에서 $f$ 의 변동에 대한 최선의 선형 근사치인 것이다.^[a] 즉, $y$ 를 $f (x)$ + $J (x) \cdot(y$ – x $)$ 에 매핑하는 함수가 $x$ 에 가까운 모든 $점$ 에 대해 $f (y)$ 의 최적 선형 근사치임을 의미한다. 이 선형 함수는 $x$ 에서 $f$ 의 파생 또는 차등이라고 알려져 있다.

$m$ = $n일$ 때 자코비안 행렬은 정사각형이기 때문에 그 결정 인자는 $f$ 의 자코비안 결정 인자로 $알려진$ x의 잘 정의된 함수다. $그것$ 은 f의 지역적 행동에 대한 중요한 정보를 담고 있다. 특히 $f함수$ 는 점 $x점$ 근처에 국소적으로 존재하며, 만약 자코비안 결정요소가 $x$ 에서 0이 아닌 경우에만 차이가 나는 역함수를 가지고 있다(자코비안 추측 참조). Jacobian 결정 인자는 다중 통합에서 변수를 변경할 때도 나타난다(다중 변수에 대한 대체 규칙 참조).

언제 m)1일부터 f:Rn → R은scalar-valued 작용, 야코비 행렬이 줄로 ∇ Tf{\displaystyle \nabla ^{\mathrm{T}}f};f의 Jf포지티브 구배의 f의 모든 일차 일부 파생 상품의 이 행 벡터는 바꿔 놓다)∇ Tf{\displaystyle \mathbf{J}_{f}=\nabla ^{T}f}벡턴다. $\mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f$ . 더 나아가 $m$ = $n$ = $1일$ 때, 즉 $f$ : $R$ → $R$ 이 단일 변수의 스칼라 값 함수인 경우, Jacobian 행렬은 단일 엔트리를 가지고 있다. 이 엔트리는 f $함수$ 의 파생어다.

이 개념들은 수학자 칼 구스타프 제이콥 자코비(1804–1851)의 이름을 따서 명명되었다.

자코비 행렬

여러 변수의 벡터 값 함수의 자코비안은 여러 변수의 스칼라 값 함수의 구배를 일반화하며, 이는 다시 단일 변수의 스칼라 값 함수의 파생을 일반화한다. 즉, 여러 변수의 스칼라 값 함수의 자코비안 행렬은 그 구배(전치)이며, 단일 변수의 스칼라 값 함수의 구배가 그 파생이다.

함수가 서로 다른 각 지점에서, 함수가 그 지점 근처에 국부적으로 부과하는 "스레칭", "회전" 또는 "변환"의 양을 설명하는 것으로도 생각할 수 있다. 예를 들어 ( $x',$ $y')$ = $f (x,$ $y)$ 를 사용하여 이미지를 매끄럽게 변환하는 경우, Jacobian $매트릭스 f J (x,$ y)는 $(x,$ y) 주변의 이미지가 변환되는 방법을 설명한다.

한 점에서 어떤 함수가 서로 다른 경우, 그 차이는 자코비안 행렬에 의해 좌표로 주어진다. 그러나 함수의 1차 부분파생상품만 존재하도록 요구되기 때문에 함수의 Jacobian 매트릭스가 정의되는 데 차이가 있을 필요는 없다.

$만약$ $f$ 가ⁿ $R$ 의 p 지점에서 구별이 가능하다면, 그 차이는 $J f (p$ )로 표현된다 $.$ 이 경우 $J f (p)$ 로 표현되는 선형 변환은 다음과 같은 의미에서 $p점$ 근처에 있는 $f$ 의 가장 좋은 선형 근사치라고 할 수 있다.

\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\ \mathbf {x} -\mathbf {p} \ )\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),

여기서 $o ((x$ - p $‖)$ 는 $x$ 와 p 사이의 거리보다 훨씬 빠르게 0에 접근하는 수량으로, $x$ 가 p에 접근함에 따라 x와 $p$ 사이의 거리보다 훨씬 빠르다. 이 근사치는 도 1의 테일러 다항식(Taylor 다항식)에 의해 단일 변수의 스칼라 함수의 근사치를 전문으로 한다.

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

( x

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

)

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

-

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

( p

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

)

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

=

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

(

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

p

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

) (

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

- p ) +

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

(

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

→ p ) (

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

→

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

)

{\displaystyle f(x)-f(p)=f'=f'(p

)+

o(

x-p

)\p (\text{}x\to

p

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)

이런 의미에서 자코비안은 여러 변수의 벡터 값 함수의 일종인 "1차 파생상품"으로 간주될 수도 있다. 특히 이는 여러 변수의 스칼라 값 함수의 구배도 그 "1차 파생상품"으로 간주할 수 있음을 의미한다.

Composable 구별할 수 있는 기능 f:Rn → 자기 레이놀즈 수와 g:Rm→ Rk, 즉 J감속 ∘ f()))연쇄 법칙 J을 만족시키 g(f()))Jf()){\displaystyle \mathbf{J}_{\mathbf{g}\circ \mathbf{f}}(\mathbf{x})=\mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{f}(\mathbf{x}))\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})}. 항의라도 $r n$ x $in$ R.

여러 변수의 스칼라 함수의 경사로의 자코비안에는 특별한 이름이 있는데, 어떤 의미에서 헤시안 행렬은 문제의 함수의 "제2의 파생형"이다.

야코비안 결정인자

비선형 지도

f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}

: R

f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}

→ R

f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}

{\

2}}:

작은

사각형(왼쪽, 빨간색)을 왜곡된 병렬로그램(오른쪽, 빨간색)으로 보낸다

f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}

. 어떤 점에서 Jacobian은 그 지점 근처에 있는 왜곡된 평행사변형의 가장 좋은 선형 근사치(오른쪽, 반투명 백색)를 제공하며, Jacobian 결정요소는 원래 정사각형에 가까운 근사 평행사변형의 면적 비율을 제공한다.

$m$ = $n이면$ $f$ 는 $R$ 부터ⁿ 그 자체까지의 함수이고 자코비안 행렬은 제곱 행렬이다. 그리고 나서 우리는 제이콥의 결정인자로 알려진 그것의 결정인자를 형성할 수 있다. 자코비안 결정요인은 때때로 단순히 "자코비안"이라고 불린다.

주어진 지점에서의 제이콥의 결정요인은 그 지점 근처의 $f$ 의 행동에 관한 중요한 정보를 준다. 예를 들어, 연속적으로 다른 $함수$ f는 Jacobian $결정요소$ 가 p가 0이 아닌 $경우$ p $near n$ R 지점 근처에서 변위할 수 없다. 이것이 역함수 정리다. 더욱이, 만약 Jacobian 결정인 $p$ 가 양수라면, $f$ 는 p $근처$ 의 방향을 유지하고, 만약 음수라면, $f$ 는 방향을 반대로 한다. $p$ 에서 Jacobian 결정요소의 절대값은 함수 $f$ 가 p $근처$ 의 볼륨을 확장하거나 축소하는 인자를 우리에게 준다; 이것이 일반적인 대체 규칙에서 발생하는 이유다.

Jacobian 결정요소는 한 함수의 영역 내 한 영역에 걸쳐 함수의 복수 적분을 평가할 때 변수를 변경할 때 사용된다. 좌표 변화를 수용하기 위해 Jacobian 결정요소의 크기는 적분 내 승수 인자로 발생한다. 왜냐하면 n차원 dV $요소$ 는 일반적으로 새로운 좌표계에서 평행하게 분포되어 있고, 평행하게 분포된 n-량은 가장자리 벡터의 결정 요인이기 때문이다.

또한 제이코비안은 평형점 근처의 근사거동에 의해 미분방정식의 시스템에 대한 평형성의 안정성을 결정하는 데 사용될 수 있다. 그것의 적용은 질병 모델링에서 질병이 없는 평형의 안정성을 결정하는 것을 포함한다.^[5]

반비례

역함수 정리에 따르면, 반전함수의 자코비안 행렬의 역행렬은 역함수의 자코비안 행렬이다. 즉, $f$ : $R n$ → R $함수$ 의ⁿ 자코비안이 $R$ 의ⁿ $p$ 지점에서 연속적이고 비정규적인 경우, $f$ 는 $p$ 와 p의 일부 근방에 제한될 때 변위가 불가능하다.

\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}={\mathbf {J} _{\mathbf{f}}} ^{-1}.

반대로, 제이콥의 결정요소가 한 점에서 0이 아닌 경우, 함수는 이 지점, 즉 이 지점 근처에 국소적으로 변환할 수 없으며, 함수가 변위할 수 없는 지점의 인접 지역이 있다.

(확증되지 않은) 자코비안 추측은 다항함수의 경우, n 변수의 n 다항식들에 의해 정의된 함수인 전지구적 역직성과 관련이 있다. 그것은 자코비안 결정요인이 0이 아닌 상수(또는 동등하게, 복잡한 0이 없는 경우)라면, 함수는 변위성이며 그 역은 다항함수라고 주장한다.

임계점

$f$ : $R n$ → $R$ 이^m 서로 다른 함수라면 $f$ 의 임계점은 자코비안 행렬의 순위가 최대가 아닌 지점이다. 이것은 중요한 지점의 순위가 어떤 인근 지점의 순위보다 낮다는 것을 의미한다. 즉, $k$ 는 $f$ 의 이미지에 포함된 오픈볼의 최대 치수가 되게 하고, $f$ 의 등급 $k$ 의 모든 미성년자가 0이면 포인트가 중요하다.

$m$ = $n$ = $k$ 인 경우, Jacobian 결정요소가 0이면 점이 중요하다.

예

예 1

$f$ : $R 2$ → $R 2$ 함수 $,$ ( $x,$ $y$ ) $($ ( $f 1 (x,$ y $),$ $f 2 (x,$ $y))$ 가 주어지는 것을 고려한다.

\mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.

그러면 우리는

f_{1}(x,y)=x^{2}y

그리고

f_{2}(x,y)=5x+\sin y

$그리고$ 제이콥의 f 매트릭스는

\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}

제이콥의 결정요인은

\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f}}(x,y)=2xy\cos y-5x^{2}.

예제 2: 극-카르트 변환

극좌표 $(r,$ $φ)$ 에서 데카르트 좌표(x, y)로 변환하는 것은 $F :$ $R + \times [0, 2π]$ → R $함수$ 에² 의해 주어진다.

{\displaysty}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\ended}}}

\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}

Jacobian 결정요소는 $r$ 과 같다. 이를 통해 두 좌표계 간의 통합을 변환할 수 있다.

\iint_{\mathbf {F}(A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint_{A}f(r\cos \varphi,r\sin \varphi )\,r\,d\d\varphi.

예제 3: 구면-카르트 변환

구형 좌표 $($ (, $φ$ , $θ)$ ^[6]에서 데카르트 좌표(x, y, z)로의 변환은 $F :$ $R + \times [0,$ $π)$ × [0, $π$ ) × [ $0$ , 2π $)]$ → R $함수$ 에³ 의해 주어진다.

{\displaysty}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\z&=\rho \cos \varphi .\ended}}}

이 좌표 변화에 대한 자코비안 행렬은

\mathbf{J}_{\mathbf{F}}(\rho ,\varphi ,\theta)={\begin{bmatrix}{\dfrac{\partial)}{\rho\partial}}&{\dfrac{\partial)}{\varphi\partial}}&{\dfrac{\partial)}{\theta\partial}}\\[1em]{\dfrac{\partial y}{\rho\partial}}&{\dfrac{\partial y}{\varphi\partial}}&{\dfrac{\partial y}{\theta\partial}}\\[1em]{.\dfrac{\partial Z}{\rho\partial}}&{\dfrac{z\partial}{\varphi\partial}}&{\dfrac{z\partial}{\theta\partial}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin\varphi\cos \theta&\rho \cos\varphi\cos \theta&-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin\theta&\rho \cos\varphi\sin \theta&\rho\sin \varphi \cos\theta \\\cos &am \varphi.p/&-\rho\sin \varphi&0\end{bmatrix}.

결정요인은 $ρ 2 죄악$ $φ$ 이다. $dV$ = $dx$ $dy$ $dz$ 는 직사각형 차동 체적 원소의 체적이기 때문에(직사각형 프리즘의 체적은 그 옆면의 산물이기 $때문$ 에), $dV 2$ = $sin$ sin $φ$ dθ $dθ$ dθ를 구면 차동 체적 원소의 체적으로 해석할 수 있다. 직사각형 차동량 원소의 부피와는 달리 이 차동량 원소의 부피는 상수가 아니며 좌표( $ρρ$ , $φ$ )에 따라 달라진다. 두 좌표계 간의 통합을 변환하는 데 사용할 수 있다.

\iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .

예 4

구성요소를 갖는 $F$ : R → R $함수$ 의³⁴ Jacobian 행렬

{\regated}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end}}}}}

이다

\mathbf{J}_{\mathbf{F}}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac{\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac{\partial y_{2}}{\partial x_{3}}.}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac{\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac{\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac{\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac{\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac{\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&, 0&, 0\\0&, 0&, 5\\0&, 8x_{2}&, -2\\x_{.3}\cos x_{1}&, 0&, \sin x_{1}\end{bmatrix}}.

이 예는 자코비안 행렬이 정사각형 행렬이 될 필요는 없다는 것을 보여준다.

예 5

구성요소를 갖는 $F$ : R → R $함수$ 의³³ Jacobian 결정요인

{\displaysty}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}\y_{3}&={2}x_{3}\ended}}}}}}}

이다

{\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.

여기서 우리는 $f$ 가 $x$ 와₁ $x$ 가₂ 같은 부호를 갖는 지점 근처에서 방향을 반전시킨다는 것을 알게 된다; $함수$ 는₁x = $0$ $또는 2$ x = $0$ 의 가까운 지점을 제외한 모든 곳에서 국소적으로 반전될 수 있다. 직감적으로 점 주위의 작은 물체( $1,$ 2 $, 3$ )로 시작해서 그 물체에 $F$ 를 적용하면, 방향성이 반대로 되어 $원래$ 물체의 약 $40$ × $1$ × 2 = $80배$ 인 결과 물체를 얻게 된다.

기타 용도

회귀 및 최소 제곱 적합

Jacobian은 통계적 회귀 분석과 곡선 적합에서 선형화된 설계 행렬의 역할을 한다. 비선형 최소 제곱을 참조한다.

다이너믹 시스템

Consider a dynamical system of the form ${\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )$ , where ${\dot {\mathbf {x} }}$ is the (component-wise) derivative of $\mathbf {x}$ with respect to the evolution parameter $t$ (time), and $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ : $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ → $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ n ${\$ 은(는) 다를 수 있다 $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ . $F(\mathbf {x} _{0})=0$ $F(\mathbf {x} _{0})=0$ 0 $F(\mathbf {x} _{0})=0$ ) $F(\mathbf {x} _{0})=0$ = $F(\mathbf {x} _{0})=0$ ${\displaystyle$ F $(\mathbf {x} _{0}=0$ 이면 $\mathbf {x} _{0}$ $\mathbf {x} _{0}$ ${\$ 은 정지점(안정 상태라고도 함)이다 $\mathbf {x} _{0}$ . 하트만-그로브만 정리에 의해 정지점 근처에서 시스템의 동작은 정지점에 있는 $F$ $F$ ${\$ 의 고유값 $\mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)$ 즉 F ${\displaysty F}$ 의 Jacobian과 관련이 있다.^[7] 구체적으로 고유값이 모두 음의 실제 부분을 가지고 있다면, 시스템은 정지점 근처에서 안정적이며, 만일 어떤 고유값이 양인 실제 부분을 가지고 있다면, 그 점은 불안정하다. 고유값의 가장 큰 실제 부분이 0이면, 자코비안 행렬은 안정성에 대한 평가를 허용하지 않는다.^[8]

뉴턴의 방법

결합된 비선형 방정식의 사각 시스템은 뉴턴의 방법으로 반복적으로 풀 수 있다. 이 방법은 방정식 시스템의 자코비안 행렬을 사용한다.

참고 항목

메모들

^ $x$ 에서의 차별성은 $x$ 에서의 모든 1차 부분파생상품의 존재를 의미하지만 암시하지는 않으며, 따라서 더 강한 조건이다.

참조

^ "Jacobian - Definition of Jacobian in English by Oxford Dictionaries". Oxford Dictionaries - English. Archived from the original on 1 December 2017. Retrieved 2 May 2018.
^ "the definition of jacobian". Dictionary.com. Archived from the original on 1 December 2017. Retrieved 2 May 2018.
^ Team, Forvo. "Jacobian pronunciation: How to pronounce Jacobian in English". forvo.com. Retrieved 2 May 2018.
^ W., Weisstein, Eric. "Jacobian". mathworld.wolfram.com. Archived from the original on 3 November 2017. Retrieved 2 May 2018.
^ Smith? RJ (2015). "The Joys of the Jacobian". Chalkdust. 2: 10–17.
^ 조엘 하스, 크리스토퍼 힐, 모리스 위어. 토마스 미적분 초기 초월체, 14e. 피어슨, 2018년 959페이지
^ Arrowsmith, D. K.; Place, C. M. (1992). "The Linearization Theorem". Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. London: Chapman & Hall. pp. 77–81. ISBN 0-412-39080-9.
^ Hirsch, Morris; Smale, Stephen (1974). Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. ISBN 0-12-349550-4.

추가 읽기

Gandolfo, Giancarlo (1996). "Comparative Statics and the Correspondence Principle". Economic Dynamics (Third ed.). Berlin: Springer. pp. 305–330. ISBN 3-540-60988-1.
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.

외부 링크

"Jacobian", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Mathworld Jacobians에 대한 좀 더 기술적인 설명

[5] $x$ 에서의 차별성은 $x$ 에서의 모든 1차 부분파생상품의 존재를 의미하지만 암시하지는 않으며, 따라서 더 강한 조건이다.

[1] "Jacobian - Definition of Jacobian in English by Oxford Dictionaries". Oxford Dictionaries - English. Archived from the original on 1 December 2017. Retrieved 2 May 2018.

[2] "the definition of jacobian". Dictionary.com. Archived from the original on 1 December 2017. Retrieved 2 May 2018.

[3] Team, Forvo. "Jacobian pronunciation: How to pronounce Jacobian in English". forvo.com. Retrieved 2 May 2018.

[4] W., Weisstein, Eric. "Jacobian". mathworld.wolfram.com. Archived from the original on 3 November 2017. Retrieved 2 May 2018.

[6] Smith? RJ (2015). "The Joys of the Jacobian". Chalkdust. 2: 10–17.

[7] 조엘 하스, 크리스토퍼 힐, 모리스 위어. 토마스 미적분 초기 초월체, 14e. 피어슨, 2018년 959페이지

[8] Arrowsmith, D. K.; Place, C. M. (1992). "The Linearization Theorem". Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. London: Chapman & Hall. pp. 77–81. ISBN 0-412-39080-9.

[9] Hirsch, Morris; Smale, Stephen (1974). Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. ISBN 0-12-349550-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[a]

[5]

[6]

[7]

[8]

show v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제한된 항목	(0,1) 교번트 반대각형 반헤르미티아누스 반대칭 화살촉 밴드 비다이각형 이진수 이대칭 블록 대각선 블록 블록삼각형 부울 카우치 중심대칭 회의 콤플렉스 하다마드 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초급 등가 프로베니우스 일반화 순열 하다마드 행클 에르미트어 헤센베르크 할로우 정수 논리적인 메츨러 무어 비음성 펜타디각형 순열 당칭 다항식 쿼터니온어 서명 싱글 엔트 스큐헤르미티안 스큐 대칭 스카이라인 스파스 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형 삼두각형 유니타리 반데르몽드 월시 Z
상수	교환 힐베르트 아이덴티티 레머 1개 중 파스칼 파울리 레데퍼 시프트 영
고유값 또는 고유벡터 조건	동반자 수렴성 결함이 있는 대각선 가능 후르비츠 포지티브-확정성 슈틸트제스
제품 또는 역에 대한 만족도 조건	컨그루엔트 Idempotent 또는 Projection 되돌릴 수 없는 비자발적 닐포텐트 정상 직교 단모듈라 전지전능 완전히 단변성 체중 측정
특정 애플리케이션 사용	애드주게이트 교대 부호 증강됨 베주트 칼레만 카르탄 서큘런트 공동 인자 정류 혼란 콕시터 거리 중복 및 제거 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 제너레이터 그램 헤시안 세대주 야코비안 모멘트 모두 다 갚다, 청산하다 뽑다 무작위 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 완전히 긍정적이다. 변환
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 디자인 이중 확률적 피셔 정보 모자 정밀도 스토카스틱 전이
그래프 이론에 사용됨	인접 바이애드제이컨시 정도 에드먼즈 발생 라플라시안 사이델 인접 투테
이공계에 사용됨	카비보-코바야시-마사와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연관성 감마 겔만 해밀턴어 불규칙한 겹치다 S 국가전환 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정상 형태 선형독립 행렬 지수 원뿔 단면의 행렬 표현 퍼펙트 매트릭스 사이비인버스 쿼터니온 행렬 행 에슐론 양식 룬스키안
행렬 목록 범주:행렬

Search