정형성

선형 대수학에서 내부 제품 공간의 두 벡터가 직교(또는 선을 따라 직각) 단위 벡터인 경우 직교(또는 직각)이다. 세트의 모든 벡터가 서로 직교하고 모든 단위 길이가 서로 다른 경우 벡터 집합이 직교하는 직교 세트를 형성한다. 기초를 이루는 정사각형 집합은 정사각형 집합이라고 불린다.

직관적 개요

벡터의 직교성 구조는 수직 벡터의 직관적인 개념을 고차원 공간까지 확장하려는 욕구에 의해 동기 부여된다. 데카르트 평면에서 두 벡터는 그 사이의 각도가 90°(즉, 직각을 이루는 경우)이면 수직이라고 한다. 이 정의는 도트 제품을 정의하고 평면의 두 벡터가 도트 제품이 0인 경우 직교하도록 지정함으로써 데카르트 공간에서 공식화할 수 있다.

마찬가지로 벡터 표준의 구성은 벡터 길이에 대한 직관적인 개념을 고차원적 공간으로 확장하려는 욕구에 의해 동기 부여된다. 카르테시아 공간에서 벡터의 규범은 그 자체에 점점이 있는 벡터의 제곱근이다. 그것은

${\displaystyle \mathbf {x} \ ={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x}}}}$

선형대수의 많은 중요한 결과는 둘 이상의 직교 벡터 모음을 다룬다. 그러나 종종 단위 길이의 벡터를 다루는 것이 더 쉽다. 즉, 표준이 1인 벡터만 고려하는 것이 종종 일을 단순화시킨다. 직교 벡터 쌍을 단위 길이의 벡터 쌍으로만 제한하는 개념은 특별한 이름이 부여될 만큼 충분히 중요하다. 직교와 길이 1의 두 벡터는 직교라고 한다.

간단한 예

2-D 유클리드 공간에 있는 정형외과적 벡터는 어떻게 생겼을까?

u = (x₁, y₁) 및 v = (x₂, y)로₂ 설정하십시오. u와 v를 정형화된 쌍으로 만드는 데 필요한 x₁, x, y₂, y의₁₂ 제한을 고려하십시오.

• 직교성 제한에서 u • v = 0.
• u에 대한 단위 길이 제한으로부터, u = 1.
• v에 대한 단위 길이 제한으로부터 v = 1.

이러한 항을 확장하면 다음과 같은 3가지 방정식이 제공된다.

1. ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{1}y_{2}=0\properties }$
2. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{1}^{2}}+{y_{1}^{2}}=1}$
3. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}=1}$

데카르트 좌표에서 극좌표로 변환하고 방정식${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle (2)}$ 및 방정식$$ $3$) ${\displaystyle$(3$)}$을(를) 고려하면 즉시$$ 결과₁ r = r = 1이₂ 된다. 즉, 벡터를 단위 길이로 요구하면 벡터가 단위 원 위에 놓이는 것을 제한한다.

After substitution, Equation ${\displaystyle (1)}$ becomes ${\displaystyle \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0}$. Rearranging gives ${\displaystyle \tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}}$. Using a trigo등축 항을 변환하기 위한 nometric identity는 다음과 같다.

${\displaystyle \tan(\theta _{1}=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {}{pi }2}}\오른쪽)}$

${\displaystyle \Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}:}$

평면에서 직교 벡터는 각도 차이가 90°인 단위 원의 반지름일 뿐이라는 것은 분명하다.

정의

$V{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 내부 제품 공간이 되도록$$ 한다. 벡터 세트

${\displaystyle \left\{u_{1},u_{2},\ldots,u_{n},\ldots \right\}\\mathcal {V}}}}$

정형외과라고 불리우는 것은 만약의 경우 그리고 단지

${\displaystyle \all i,j:\langle u_{i}u_{j}\angle =\ij}}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$displaystyle \delta_{ij}\}}$은(는) 크론커 델타 및 $⟨⟨{\displaystyle }$ is$$${\displaystyle ,}$,${$ {\$displaystyle$ $\langle \cdot \cdot \$$mathcal {V}$에 걸쳐 정의된 내부 제품이다$.$

의의

정형외과는 그 자체로 특별히 중요한 것은 아니다. 그러나 벡터 공간에 있는 특정 연산자의 대각선성 개념을 탐구하는 데 있어 기본이 되는 특정 특징을 나타낸다.

특성.

정형외과 세트는 매우 매력적인 특성을 가지고 있어서, 특히 작업하기가 쉽다.

• 정리. {e₁, e₂, ..., e_n}이(가) 벡터의 정형 목록이면
  $${\displaystyle \forall {\textbf {a}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \ a_{1}{\textbf{e}}_{1}+a_{2}}}{\textbf{e}_{2}}+\cdots +a_{n}{\textbf{e}}\{n}\^{2}= a_{1}}+ a_{2}+ ^{2}+ ^{2}+ ^{2}+ ^{n} ^{n}}}}^{1}}}}}}}}:{2}}:$$

  
• 정리. 벡터의 모든 정형화된 목록은 선형적으로 독립적이다.

존재

• 그람-슈미트 정리. If {v₁, v₂,...,v_n} is a linearly independent list of vectors in an inner-product space ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, then there exists an orthonormal list {e₁, e₂,...,e_n} of vectors in ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ such that span(e₁, e₂,...,e_n) = span(v₁, v₂,...,v_n).

그램-슈미트 정리의 증명은 건설적이며, 다른 곳에서 상세히 논의된다. 그람-슈미트 정리는 선택의 공리와 함께 모든 벡터 공간이 정형화된 기초를 인정한다는 것을 보장한다. 이 사실은 내부 제품 공간의 운영자들이 공간의 정형 기반 벡터에 대한 작용 측면에서 논의될 수 있도록 허용하기 때문에, 이것은 아마도 정형성의 가장 중요한 사용일 수 있다. 결과는 연산자의 대각선성과 그것이 직교 기준 벡터에 작용하는 방법 사이의 깊은 관계다. 이 관계는 스펙트럼 정리에 의해 특징지어다.

예

표준기준

좌표 공간 F의ⁿ 표준 기준은

{e1, e2, ..., en} 어디서	e1 = (1, 0, ..., 0)
	e2 = (0, 1, ..., 0)
	$\displaystyle \vdots }$
	en = (0, 0, ..., 1)

임의의 두 벡터 e_i, i_j≠j가 직교하고 모든 벡터는 분명히 단위 길이에 있다. 그래서 {e₁, e₂,...e_n}이(가) 정형외과적 기초를 형성한다.

실제값 함수

실제 가치 함수를 언급할 때, 일반적으로 달리 명시되지 않은 한 L² 내부 제품을 가정한다. $\varphi {\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \phi (x)}$ 및$$ $\psi {\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \psi (x)}$은(는$$) ${\displaystyle \mathrm{간격}}$ 동안 직교한다$.{\displaystyle }$ [${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystystyle [a,b]).$

${\displaystyle (1)\langle \phi(x)\langle(x)\angle =\int_{a}^{b}\pi(x)\dx=0,\rm {and}}}}}}$

${\displaystyle (2)\quad \phi (x) _{2}= \psi (x) _{2}=\left[\int _{a}^{b} \phi (x) ^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b} \psi (x) ^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.}$

푸리에 시리즈

푸리에 시리즈는 정현상 염기함수의 관점에서 주기함수를 표현하는 방법이다. C[-computer,computer]를 간격 [-computer,computer]에 연속되는 모든 실제값 함수의 공간으로 가져가고 내부 제품이 될 수 있도록 함수는 [-computer,computer]

${\displaystyle \langle f,g\angle =\int _{-\pi }^{\f(x)g(x)dx}$

라는 것을 알 수 있다

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N} }$

정사각형을 이루다

단, C[-discell,filename]는 무한 차원이고, 유한 벡터 세트가 그것을 스팬할 수 없기 때문에 이것은 별로 중요하지 않다. 그러나 n이 유한하다는 제약을 제거하면 집합이 C[-189,189]로 밀도가 높아져 C[-189,199]의 정형근거가 된다.

참고 항목

• 직교화

원천

• Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 106–110, ISBN 978-0-387-98258-8
• Chen, Wai-Kai (2009), Fundamentals of Circuits and Filters (3rd ed.), Boca Raton: CRC Press, p. 62, ISBN 978-1-4200-5887-1