위상다양체

위상다양체는 수학의 한 분야인 위상수학에서 실제 n차원 유클리드 공간과 국소적으로 유사한 위상공간입니다.위상다양체는 수학 전반에 걸쳐 응용되는 위상공간의 중요한 부류입니다.정의상 모든 다양체는 위상다양체입니다.다른 유형의 매니폴드는 위상 매니폴드에 구조를 추가하여 형성됩니다(예: 미분 가능 매니폴드는 차동 구조가 장착된 위상 매니폴드).모든 다양체는 단순히 추가된 구조를 "잊음"으로써 얻는 "기초" 위상 다양체를 가지고 있습니다.^[1]그러나 모든 위상다양체가 특정한 추가 구조를 가질 수 있는 것은 아닙니다.예를 들어, E8 다양체는 미분 가능한 구조를 가질 수 없는 위상 다양체입니다.

형식적 정의

위상 공간 X는 X의 모든 점이 실수 n-공간 R과ⁿ 동형인 이웃을 갖는 음이 아닌 정수 n이 존재할 경우 국부적으로 유클리드라고 불립니다.^[2]

위상다양체는 국소적으로 유클리드 하우스도르프 공간입니다.위상다양체에 추가적인 요구사항을 두는 것이 일반적입니다.특히 많은 저자들이 파라콤팩트^[3] 또는 세컨더리로 정의하고 있습니다.^[2]

이 글의 나머지 부분에서 매니폴드는 위상 매니폴드를 의미합니다.n-매니폴드는 모든 점이 R과ⁿ 동형인 이웃을 갖는 위상 다양체를 의미합니다.

예

n-매니폴드

실제 좌표 공간 R은ⁿ n-매니폴드입니다.
임의의 이산 공간은 0차원 다양체입니다.
원은 컴팩트한 1-매니폴드입니다.
토러스와 클라인 병은 콤팩트한 2-매니폴드(또는 표면)입니다.
n차원 구 S는ⁿ 콤팩트한 n-매니폴드입니다.
n차원 토러스 Tⁿ(n 원의 곱)는 콤팩트한 n-매니폴드입니다.

투영 다양체

실제, 복합체 또는 쿼터니언 위의 투영 공간은 콤팩트한 다양체입니다.
- 실제 투영 공간 RP는ⁿ 1차원 다양체입니다.
- 복소 투영 공간 CP는ⁿ 2n차원 다양체입니다.
- 4차 이온 투영 공간 HP는ⁿ 4n차원 다양체입니다.
투영 공간과 관련된 다양체로는 그라스마니안(Grasmannians), 플래그 다양체(flag manifold), 슈티펠 다양체(Stiefel manifolders) 등이 있습니다.

기타다양체

미분 다양체는 미분 구조를 갖춘 위상 다양체의 한 종류입니다.
렌즈 공간은 홀수차원 구의 몫인 미분 가능한 다양체의 종류입니다.
리 군(lie group)은 호환 가능한 군 구조를 갖춘 미분 가능한 다양체의 종류입니다.
E8 매니폴드는 위상 매니폴드로, 미분 가능한 구조를 부여할 수 없습니다.

특성.

국소 유클리드인 속성은 국소 동형에 의해 보존됩니다.즉, 만약 X가 차원 n의 국소 유클리드이고 f: Y → X가 국소 동형이면 Y는 차원 n의 국소 유클리드입니다.특히 국소적으로 유클리드가 되는 것은 위상학적 특성입니다.

다양체는 유클리드 공간의 많은 국소적인 특성을 이어받습니다.특히 로컬로 콤팩트하고 로컬로 연결되며 최초로 셀 수 있고 로컬로 수축할 수 있으며 로컬로 계량할 수 있습니다.국부적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간인 다양체는 반드시 타이코노프 공간입니다.

하우스도르프 조건을 추가하면 여러 특성이 다양체에 대해 동등해질 수 있습니다.예를 들어 하우스도르프 다양체의 경우 σ 콤팩트성과 세컨더리 가산성의 개념이 동일하다는 것을 보여줄 수 있습니다.실제로 하우스도르프 다양체는 국부적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간이므로 (완전히) 규칙적입니다.^[4]그러한 공간 X가 σ 콤팩트하다고 가정합니다.그렇다면 린델뢰프이며, 린델뢰프 + 정칙은 파라콤팩트를 의미하므로 X는 계량 가능합니다.그러나 측정 가능한 공간에서 두 번째 가산성은 린델뢰프와 일치하므로 X는 두 번째 가산성입니다.반대로, 만약 X가 하우스도르프 2계수 다양체라면, 그것은 σ 콤팩트해야 합니다.

다양체가 연결될 필요는 없지만, 모든 다양체 M은 연결된 다양체들의 서로소 결합입니다.이것들은 단지 M의 연결된 구성요소들일 뿐이며, 이는 매니폴드들이 국부적으로 연결되기 때문에 열린 집합입니다.매니폴드는 로컬 경로로 연결되어 있고 연결되어 있는 경우에만 경로로 연결된 경우에만 매니폴드가 연결됩니다.경로 성분이 성분과 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

하우스도르프 공리

하우스도르프 속성은 로컬 속성이 아니므로 유클리드 공간이 하우스도르프일지라도 로컬 유클리드 공간은 그럴 필요가 없습니다.그러나 모든 국소 유클리드 공간이 T인₁ 것은 사실입니다.

비 하우스도르프 국소 유클리드 공간의 예로는 두 개의 기원을 가진 선이 있습니다.이 공간은 실제 선의 원점을 두 개의 점으로 대체하여 생성되며, 그 중 하나는 0이 아닌 모든 숫자를 0으로 중심을 맞춘 열린 간격으로 포함합니다.이 공간은 두 원점을 분리할 수 없기 때문에 하우스도르프가 아닙니다.

콤팩트성 및 가산성 공리

다양체는 파라콤팩트한 경우에만 계량 가능합니다.긴 선은 계량 가능하지도 않고 파라콤팩트하지도 않은 정상적인 하우스도르프 1차원 위상 다양체의 예입니다.계량성은 위상 공간에 매우 바람직한 성질이므로, 다양체의 정의에 파라콤팩트성을 추가하는 것이 일반적입니다.어떤 경우에도, 파라콤팩트하지 않은 다양체는 일반적으로 병리학적인 것으로 간주됩니다.파라콤팩트하지 않은 다양체의 예는 긴 선에 의해 제시됩니다.파라콤팩트 다양체는 미터법 공간의 위상학적 특성을 모두 가지고 있습니다.특히, 그들은 완벽하게 정상적인 하우스도르프 공간입니다.

또한 매니폴드는 일반적으로 두 번째 계수가 필요합니다.이것은 정확히 다양체가 유한 차원 유클리드 공간에 내장되도록 하기 위해 필요한 조건입니다.임의의 다양체에 대해 2계수인 린델뢰프와 σ 콤팩트의 성질은 모두 동등합니다.

모든 두 번째 계산 가능한 다양체는 파라콤팩트하지만, 그 반대는 아닙니다.그러나 그 반대는 거의 사실입니다. 파라콤팩트 다양체는 연결된 성분이 셀 수 있는 경우에만 두 번째로 셀 수 있습니다.특히 연결된 다양체는 두 번째 계수일 경우에만 파라콤팩트합니다.모든 초계수 매니폴드는 분리 가능하고 파라콤팩트합니다.또한 다양체가 분리 가능하고 파라콤팩트한 경우 두 번째 계수도 가능합니다.

모든 콤팩트 매니폴드는 두 번째로 세고 파라콤팩트합니다.

차원성

도메인의 불변성에 따라 비어 있지 않은 n-매니폴드는 n ≠ m에 대한 m-매니폴드가 될 수 없습니다.비어 있지 않은 n-매니폴드의 차원은 n입니다.n-매니폴드가 된다는 것은 위상 속성이며, n-매니폴드와 동형인 위상 공간 또한 n-매니폴드가 된다는 것을 의미합니다.^[7]

좌표 차트

정의에 따라, 국소 유클리드 공간의 모든 점은 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 열린 부분 집합과 동형인 이웃을 갖습니다 $\mathbb {R} ^{n}$ 그러한 이웃을 유클리드 이웃이라고 합니다.유클리드 이웃은 항상 열린 집합이라는 것은 정의역의 불변성으로부터 따랐습니다. $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 "nice" 열린집합과 동형인 유클리드 이웃을 항상 찾을 수 있습니다. 실제로 $\mathbb {R} ^{n}$ 공간 M은 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 성립하는 경우에만 국소적으로 유클리드입니다.

M의 모든 점은 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 열린 공과 동형인 이웃을 갖습니다 $\mathbb {R} ^{n}$
M의 모든 점은 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}$ 자신과 $\mathbb {R} ^{n}$ 동형인 이웃을 갖습니다.

$\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}}$ 의 열린 공과 동형인 유클리드 이웃을 유클리드 공이라고 합니다 $\mathbb {R} ^{n}$ .유클리드 공은 국소 유클리드 공간의 위상에 대한 기초를 형성합니다.

유클리드 이웃 U에 대하여, 동형 ϕ : $\phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}$ → ϕ $\phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}$ ⊂ $\phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}$ n ${\displaystyle \phi$ : $U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R}^{n}$ 를 U의 $\phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}$ 좌표 차트라고 합니다(이러한 맵의 도메인 또는 범위를 나타내는 데 단어 차트가 자주 사용됨).공간 M은 유클리드 이웃에 의해 커버될 수 있는 경우에만 국소적으로 유클리드입니다.좌표 차트와 함께 M을 포함하는 유클리드 이웃의 집합을 M의 아틀라스라고 합니다. (용어는 평평한 지도 또는 차트의 아틀라스로 구면 지구를 설명할 수 있는 지도 작성법과의 유사성에서 비롯됩니다.

도메인 U와 V가 중복되는 두 개의 차트 ϕ $\phi$ 및 ψ $\psi$ 이(가) 지정된 경우 전환 함수가 있습니다.

\psi \phi ^{-1}:\phi \left(U\cap V\right)\right 화살표 \psi \left(U\cap V\right)

이러한 맵은 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}}$ 의 열린 부분 집합 사이의 동형 사상입니다 $\mathbb {R} ^{n}$ 즉, 좌표 차트는 동형 사상까지 겹칩니다.다양한 유형의 매니폴드는 허용된 전이 맵의 유형에 제한을 두어 정의할 수 있습니다.예를 들어, 미분 가능한 다양체의 경우 전이 지도가 매끄러워야 합니다.

다지관 분류

이산 공간(0-매니폴드)

0-매니폴드는 분리된 공간일 뿐입니다.이산 공간은 셀 수 있는 경우에만 두 번째로 셀 수 있습니다.^[7]

원곡선(1-매니폴드)

비어 있지 않은 모든 파라콤팩트 연결된 1-매니폴드는 R 또는 원과 동형입니다.^[7]

표면(2-매니폴드)

모든 비어 있지 않은 컴팩트하고 연결된 2-매니폴드(또는 표면)는 구, 연결된 토리의 합 또는 투영 평면의 연결된 합과 동형입니다.^[8]

볼륨(3-매니폴드)

3-매니폴드의 분류는 2003년 그리고리 페렐만에 의해 증명된 서스턴의 기하학 추측에서 비롯됩니다.보다 구체적으로, Perelman의 결과는 두 개의 세 개의 매니폴드가 서로 동형인지 여부를 결정하는 알고리즘을 제공합니다.^[9]

일반 n-매니폴드

n보다 큰 n에 대한 n-매니폴드의 완전한 분류는 불가능한 것으로 알려져 있습니다; 그것은 적어도 알고리즘적으로 결정할 수 없는 것으로 알려진 그룹 이론에서 단어 문제만큼 어렵습니다.^[10]

실제로 주어진 다양체가 단순히 연결되어 있는지 여부를 결정하는 알고리즘은 없습니다.그러나, 차원 ≥ 5의 단순히 연결된 다양체의 분류가 있습니다.

경계가 있는 다양체

조금 더 일반적인 개념이 유용할 때도 있습니다.경계가 있는 위상 다양체는 모든 점이 유클리드 반공간의 열린 부분집합과 동형인 하우스도르프 공간입니다.

\mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathbb {R}^{n}:x_{n}\geq 0\

모든 위상다양체는 경계가 있는 위상다양체이지만, 그 반대는 아닙니다.^[7]

시공

다른 매니폴드에서 매니폴드를 생성하는 몇 가지 방법이 있습니다.

제품 다지관

M이 m-매니폴드이고 N이 n-매니폴드인 경우 데카르트 곱 M×N은 제품 토폴로지가 주어졌을 때 (m+n)-매니폴드입니다.^[13]

디스조인트 유니언

수 많은 n-매니폴드 계열의 분리 결합은 n-매니폴드(조각들이 모두 동일한 차원을 가져야 함)^[7]입니다.

연결 합계

두 n-매니폴드의 연결 합은 각 매니폴드에서 열린 공을 제거하고 제거된 공의 경계 구 간의 동형화에 대한 몫을 취하여 경계와 함께 결과적인 다양체의 분리 결합 몫을 취함으로써 정의됩니다.그러면 다른 n-매니폴드가 생성됩니다.^[7]

서브매니폴드

n-매니폴드의 열려 있는 부분 집합은 부분 공간 토폴로지와 함께 n-매니폴드입니다.^[13]

각주

^ Rajendra Bhatia (6 June 2011). Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Hyderabad, August 19-27, 2010. World Scientific. pp. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9.
^ ^a ^b John M. Lee (6 April 2006). Introduction to Topological Manifolds. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6.
^ Thierry Aubin (2001). A Course in Differential Geometry. American Mathematical Soc. pp. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7.
^ 하위위키를 배치하려면 로컬 콤팩트 하우스도르프가 완전히 규칙적임을 암시합니다.
^ 스택 익스체인지, Hausdorff 로컬 콤팩트 및 두 번째 카운트 가능한 것은 시그마 콤팩트
^ Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society. pp. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f John Lee (25 December 2010). Introduction to Topological Manifolds. Springer Science & Business Media. pp. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7.
^ Jean Gallier; Dianna Xu (5 February 2013). A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-34364-3.
^ Geometrisation of 3-manifolds. European Mathematical Society. 2010. ISBN 978-3-03719-082-1.
^ Lawrence Conlon (17 April 2013). Differentiable Manifolds: A First Course. Springer Science & Business Media. pp. 90–. ISBN 978-1-4757-2284-0.
^ žubr A.V.(1988) 단순 연결 위상학적 6-매니폴드 분류In: Viro O.Y., Vershik A.M. (eds) 토폴로지 및 기하학 — Rohlin 세미나수학 강의 노트 vol 1346스프링어, 베를린, 하이델베르크
^ 바든, D. "단순히 연결된 다섯 개의 매니폴드"수학 연보, vol. 82, no. 3, 1965, pp. 365-385. JSTOR, www.jstor.org/stable/1970702
^ ^a ^b Jeffrey Lee; Jeffrey Marc Lee (2009). Manifolds and Differential Geometry. American Mathematical Soc. pp. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9.

참고문헌

Gauld, D. B. (1974). "Topological Properties of Manifolds". The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 81 (6): 633–636. doi:10.2307/2319220. JSTOR 2319220.
Kirby, Robion C.; Siebenmann, Laurence C. (1977). Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations (PDF). Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-08191-3.
Lee, John M. (2000). Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 202. New York: Springer. ISBN 0-387-98759-2.

외부 링크

Wikimedia Commons의 수학다양체 관련 매체

[Bhatia2011-1] Rajendra Bhatia (6 June 2011). Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Hyderabad, August 19-27, 2010. World Scientific. pp. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9.

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[4] 하위위키를 배치하려면 로컬 콤팩트 하우스도르프가 완전히 규칙적임을 암시합니다.

[5] 스택 익스체인지, Hausdorff 로컬 콤팩트 및 두 번째 카운트 가능한 것은 시그마 콤팩트

[Dieck2008-6] Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society. pp. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7.

[Lee2010-7] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f John Lee (25 December 2010). Introduction to Topological Manifolds. Springer Science & Business Media. pp. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7.

[GallierXu2013-8] Jean Gallier; Dianna Xu (5 February 2013). A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-34364-3.

[9] Geometrisation of 3-manifolds. European Mathematical Society. 2010. ISBN 978-3-03719-082-1.

[Conlon2013-10] Lawrence Conlon (17 April 2013). Differentiable Manifolds: A First Course. Springer Science & Business Media. pp. 90–. ISBN 978-1-4757-2284-0.

[11] žubr A.V.(1988) 단순 연결 위상학적 6-매니폴드 분류In: Viro O.Y., Vershik A.M. (eds) 토폴로지 및 기하학 — Rohlin 세미나수학 강의 노트 vol 1346스프링어, 베를린, 하이델베르크

[12] 바든, D. "단순히 연결된 다섯 개의 매니폴드"수학 연보, vol. 82, no. 3, 1965, pp. 365-385. JSTOR, www.jstor.org/stable/1970702

[LeeLee2009-13] Jeffrey Lee; Jeffrey Marc Lee (2009). Manifolds and Differential Geometry. American Mathematical Soc. pp. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9.

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