곡선 좌표

기하학에서, 곡선 좌표계는 좌표선이 곡선일 수 있는 유클리드 공간의 좌표계이다.이러한 좌표는 각 점에서 국소적으로 반전할 수 있는 변환(일대일 지도)을 사용하여 데카르트 좌표 집합에서 파생될 수 있습니다.이것은 데카르트 좌표계에서 주어진 점을 곡선 좌표로 변환하고 다시 되돌릴 수 있다는 것을 의미한다.프랑스 수학자 라메에 의해 만들어진 곡선 좌표라는 이름은 곡선계의 좌표 표면이 곡면이라는 사실에서 유래했다.

3차원 유클리드 공간(R³)에서 잘 알려진 곡선 좌표계의 예는 원통 좌표계와 구면 좌표계이다.이 공간의 데카르트 좌표 표면이 좌표 평면입니다. 예를 들어 z = 0은 x-y 평면을 정의합니다.같은 공간에서 구면 좌표의 좌표면 r = 1은 곡면인 단위구면이다.곡선 좌표의 형식주의는 표준 좌표계에 대한 통일되고 일반적인 설명을 제공한다.

곡선 좌표는 종종 스칼라, 벡터 또는 텐서와 같은 물리적 양의 위치 또는 분포를 정의하는 데 사용됩니다.벡터 미적분과 텐서 분석(구배, 발산, 컬, 라플라시안 등)에서 이러한 수량을 포함하는 수학식은 스칼라, 벡터 및 텐서의 변환 규칙에 따라 하나의 좌표계에서 다른 좌표계로 변환될 수 있다.그런 표현은 모든 곡선 좌표계에 유효하다.

일부 어플리케이션에서는 곡선 좌표계가 데카르트 좌표계보다 사용하기 더 간단할 수 있다.중심력의 영향을 받는 입자의 운동은 보통 데카르트 좌표보다 구면 좌표에서 더 쉽게 풀 수 있다; 이것은 R에서 정의된³ 구면 대칭과 관련된 많은 물리적인 문제에 적용된다. 특정한 곡선 좌표계를 위해 좌표 표면을 따르는 경계 조건과 방정식은 쉬울 수 있다.r을 클릭합니다.데카르트 좌표를 사용하여 직사각형 상자 안의 입자의 움직임을 묘사할 수 있지만, 구면 좌표가 있으면 구면에서의 움직임이 더 쉽다.구면 좌표는 가장 일반적인 곡선 좌표계이며 지구 과학, 지도 제작, 양자 역학, 상대성 이론, 공학에서 사용됩니다.

3차원 직교 곡선 좌표

좌표, 기준 및 벡터

우선 3D 공간을 고려해 보십시오.3d 공간의 점 P(또는 그 위치 벡터 r)는 r ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ y + ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {}_{}}${$displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {e} _x\mathbf$ {e} $_mathbf$ {e} $_mathbf$ {$e}$ _x$,$ z} _discertictain (x²³, y$,$ z)를¹ 사용하여 정의할 수 있습니다.

또한 이 세 개의 숫자가 명확한 방법으로 단일 점을 정의하는 경우 곡선 좌표¹(q², q³, q)에 의해 정의될 수 있습니다.그런 다음 좌표 간의 관계는 가역 변환 함수에 의해 제공됩니다.

$\displaystyle x=f^{1}(q^{1},q^{3}),,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),,z=f^{3}(q^{1},q{2},q^{3})$

$({displaystyle q^{1}=g^{1}(x,y,z),,q^{2}=g^{2}(x,y,z),,q^{3}=g^{3}(x,y,z)})$

표면¹ q = 상수², q = 상수³, q = 상수를 좌표 표면이라고 하며, 쌍으로 교차하여 형성된 공간 곡선을 좌표 곡선이라고 합니다.좌표 축은 세 지표면의 교차점에서 좌표 곡선에 대한 접선에 의해 결정됩니다.그것들은 우주에서 일반적으로 고정된 방향이 아니며, 이것은 단순한 데카르트 좌표의 경우이며, 따라서 일반적으로 곡선 좌표에 대한 자연적인 전역 기초가 없다.

데카르트 시스템에서 표준 기저 벡터는 국소 좌표에 대한 점 P의 위치의 도함수로부터 도출될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{x} = displaydfrac {\mathbf {r} ;\mathbf {e} _{y} = displaydfrac {e} _\mathbf {e} = displaydfrac {e} _{\mathb}}$

P 지점에서 곡선 시스템에 동일한 도함수를 국소적으로 적용하면 자연 기저 벡터가 정의됩니다.

$(\displaystyle \mathbf {h} _{1} = displaydfrac {\mathbf {r} } ; \mathbf {h} ) = displaydfrac {\displaystyle \mathbf {r} ;\mathbf {r} {h} = displaydfrac = displac}$

벡터가 지점마다 방향 및/또는 크기를 변경하는 이러한 기초를 국소 기저라고 한다.곡선 좌표와 관련된 모든 베이스는 필연적으로 로컬입니다.모든 점에서 동일한 기저 벡터는 전역 베이스이며 선형 또는 아핀 좌표계에만 연관될 수 있습니다.

이 글의 경우 e는 표준 기준(카르트)을 위해, h 또는 b는 곡선 기준을 위해 남겨둔다.

이러한 값은 단위 길이가 없을 수도 있고 직교할 수도 없습니다.도함수가 잘 정의된 모든 점에서 직교하는 경우, 다음과 같이 라메 계수(가브리엘 라메 이후)를 정의한다.

$\displaystyle h_{1}= \mathbf {h} _{1} ;\;h_{2}= \mathbf {h} _{2} ;\;h_{3}= \mathbf {h} _{3} }$

그리고 곡선 직교 정규 기저 벡터는

${\displaystyle \mathbf {b} _{1} = dfrac {{1} }, \;\mathbf {b} _{2} = dfrac {{2} }, \;\mathbf {b} = dfrac {3}}$

이러한 기저 벡터는 P의 위치에 따라 크게 달라질 수 있으므로 영역 상에서 일정하다고 가정하지 않을 필요가 있습니다.(기술적으로는 P에서 $R3의$탄젠트$번들$에 대한 $기초$가 되며$, P$에 대해 로컬입니다$.)$

일반적으로, 곡선 좌표는 자연 기저_i 벡터 h가 서로 모두 수직이 아니며 단위 길이일 필요가 없다: 그것들은 임의의 크기와 방향을 가질 수 있다.직교 베이스를 사용하면 벡터 조작이 비직교보다 간단해집니다.그러나 물리학과 공학의 일부 영역, 특히 유체 역학과 연속체 역학은 물리량의 복잡한 방향 의존성을 설명하기 위해 변형과 유체 수송을 기술하기 위해 비직교 베이스를 필요로 한다.일반적인 사례에 대한 설명은 이 페이지의 뒷부분에 나와 있습니다.

벡터 미적분

미분 요소

직교 곡선 좌표에서, r의 전체 미분 변화는

${\displaystyle d\mathbf {r} = displaydfrac {\display q^{1} + {\dfrac {\display q^{2} + {\dfrac {\dfrc} q^{1} }$

$scale{\displaystyle {}_{}}$ factors는 ${\displaystyle {hi}_{}}$ ${\displaystyle =\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{hi\mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{=}{\mathrm{}}}$ ri ${\displaystyle \frac{q^{}}{}\frac{{}^{}}{}}$i { $displaystyle h_{i$ } = \$left${ $frac$ \$mathbf${ $r }$ { \ $frac q^$ { $i}$ } \ right $}$입니다.

비직교 좌표에서 d ${\displaystyle r\mathbf{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbf{}}_{}}$ h${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$2 + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $({$ d$\mathbf {r} =dq^{1}+dq^{2}\mathbf {h})$의 길이는 $다음$과 같다$.$$ot$ d$\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h}$ _${j}$ (아인슈타인 합계 규칙 사용).자연 기저 벡터의 6개의 독립적인 스칼라 곱_ij g=h_i.h는_j 직교 좌표에 대해 위에서 정의한 세 가지 척도 인자를 일반화한다.9개의_ij g는 직교 좌표에서 0이 아닌 3개의₁₁ 성분, 즉 g₁₁=hhh₂₂₂₂, g=hhh₃₃₃₃, g=hhh만을 갖는 메트릭 텐서의 성분이다.

공변 기저 및 반변 기저

공간 구배, 거리, 시간 도함수 및 축척 인자는 두 개의 기저 벡터 그룹에 의해 좌표계 내에서 상호 연관된다.

1. 연관된 좌표 경로선에 로컬로 접하는 기준 벡터:
   $$({displaystyle \mathbf {b} _{i}={displaydfrac \mathbf {r}}{\displayq^{i}}})$$

   
   역변 벡터(낮은 지수에 의해 증가)이다.
2. 다른 좌표에 의해 생성된 등각면에 국소적으로 정규인 기저 벡터:
   $$\displaystyle \mathbf {b}^{i}=\displayla q^{i}$$

   
   공변 벡터(상승된 지수에 의해 계산됨)이고, θ는 디오퍼레이터입니다.

아인슈타인의 합산 규칙 때문에 벡터 지수의 위치는 좌표의 위치와 반대입니다.

따라서 일반 곡선 좌표계는 모든 점에 대해 2조의 기저 벡터를 가진다.{b₁, b₂, b₃}는 반변 기저이고 {b¹, b², b³}는 공변(a.k.a. 상호) 기저이다.공변 및 반변 기저 벡터 유형은 직교 곡선 좌표계에 대해 동일한 방향을 가지지만, 평소처럼 서로에 대한 반전 단위를 가집니다.

다음의 중요한 동등성에 주의해 주세요.

여기서 ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ i$$\ $displaystyle \delta$ _${j}^i}$는 일반화 크로네커 델타입니다.

벡터 v는 다음 중 하나의 기준으로 지정할 수 있다.

$\displaystyle \mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b}_{3}=v_{1}\mathbf {b}^{1}+v_{2}\mathbf {b}^{2}+v_{3}}\mathbf {b}^{3}$

아인슈타인 합산 규칙을 사용하여, 기본 벡터는 다음과 같은 성분과^{[2]: 30–32} 관련됩니다.

$\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i} = v^{k} \cdot \mathbf {b} ^{i} = v^{k}\cdot _{k} ^{i} = v^{i} = v^{i}}}$

$\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i} = v_{k} \mathbf {b} ^{k} \cdot \mathbf {b} _{i} = v_{k} \mathbf {b}$

그리고.

$\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}}}$

여기서 g는 미터법 텐서이다(아래 참조).

벡터는 공변 좌표(낮은 지수, 기록된_k v) 또는 반변 좌표(높은 지수, 기록된^k v)로 지정할 수 있다.상기 벡터 합계에서 반변 좌표가 공변 기저 벡터와 관련지어지고 공변 좌표가 반변 기저 벡터와 관련지어지는 것을 알 수 있다.

지수화된 성분 및 기저 벡터의 관점에서 벡터 및 텐서를 표현하는 주요 특징은 공변(또는 반변) 방식으로 변환하는 벡터 성분이 반변(또는 공변) 방식으로 변환하는 기저 벡터와 쌍을 이룬다는 점에서 불변성이다.

통합

1차원에서 공변량 기준 구성

그림 3과 같은 1차원 곡선을 고려한다.점 P에서, 원점으로 취해진 x는 데카르트 좌표의 하나이고¹, q는 곡선 좌표의 하나이다.로컬(비단위) 베이스 벡터는 b₁(위의 h에 주해₁, b는 단위 벡터용으로 예약)이며, 점 P의 해당 좌표선에 접선인 q축에¹ 구축됩니다.축¹ q와 벡터₁ b는 데카르트 x축 및 데카르트 기저 벡터₁ e와 $각도{\displaystyle }$α(\$displaystyle \alpha)$를 형성합니다.

삼각형 PAB에서 알 수 있듯이

${\displaystyle \cos \alpha = scosac {\mathbf {e} _{1} } {\mathbf {b} _{1} = \mathbf {e} \cos \alpha }$

여기서₁ e, b는₁ 2개의 기본 벡터, 즉 스칼라 가로채기 PB와 PA의 크기입니다.PA는 x축에 b를 투영한₁ 것이기도 합니다.

그러나 방향 코사인을 사용한 기저 벡터 변환 방법은 다음과 같은 이유로 곡선 좌표에는 적용할 수 없습니다.

1. P에서 거리를 늘리면 곡선 q와¹ 데카르트 축 x 사이의 각도가 α$${\$displaystyle \alpha$에서 점점 벗어납니다.
2. 거리 PB에서 참 각도는 점 C의 탄젠트가 x축과 형성하는 각도이며, 후자의 각도는$$α(\$displaystyle \alpha$와는 확연히 다릅니다.

q선과¹ 그 축이 x축과 이루는 각도는 P점을 향해 가까워질수록 값이 가까워지고 P에서 정확히 같아집니다.

점 E를 P에 매우 가깝게 위치시키고, 거리 PE가 무한히 작을 정도로 가깝다고 가정합니다.다음으로¹ q축에서 측정된 PE와 q라인에서¹ 측정된 PE가 거의 일치합니다.동시에 PD/PE 비율(PD는 PE의 x축 투영)은 cos $(\displaystyle \cos \alpha$와 거의 동일하게 됩니다.

극소량의 절편 PD와 PE에 각각 dx와¹ dq로 라벨을 붙입니다.그리고나서

${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \alpha =}$ ${\displaystyle \frac{d{\mathbf{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{q\mathrm{}}^{}}{}}$ 1 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{e1{}_{}}{{\mathbf{}}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}_{}}{}}$ 1 {$displaystyle \cos \alpha$=$paramic {$ } { $dq$^{1}} =$paramic${ \ $mathbf${$e } _$ { \ $mathbf${ $b }$ _ { { { { } $}$} $\}$ } }

따라서 방향 코사인은 변환에서 극히 작은 좌표 절편 사이의 보다 정확한 비율로 대체될 수 있습니다.따라서 x축에 있는 b의 성분₁(투영)은 다음과 같습니다.

$=$$$$ot {\mathbf {e} _{1} {\mathbf {e} _{1}$}$$= \$mathbf {b} _{1} {\mathbf {e} _{1$} {\$cos$ \$alpha = \mathbf${$b} _{1}$ {$d}$ {q$}$

만약 키)qi(x1, 미국, x3)과 자이)xi(q1, q2, q3) 매끄러우나(연속 미분 가능)기능 q 나는 ∂)j{\displaystyle{\cfrac{\partial q^{나는}}{\partial x_{j}변환 비율 ∂로 쓸 수 있습니다.}}}과∂ x나는}{\partialq j{\displaystyle{\cfrac{\partial x_{나는}∂.q^{j}}}} $$즉, 이 비율은 다른 계에 속하는 좌표에 대한 한 계에 속하는 좌표의 부분 도함수이다.

3차원에서 공변량 기준 구성

다른 2차원의 좌표에 대해 동일한 작업을 수행하면₁ b는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

$\displaystyle \mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e}_{1}+p^{2}\mathbf {e}_{2}+p^{3}}\mathbf {e}_{3}=matac {\matrix q^{1}\mathbf {e}_{1}+{\matrix q^{1}\matbf {e}_{2}+{\matrix x_{1}\matbf {e} {e}\matac {e}_{\mathb}$

다음과 같은 방정식 체계에 의해 표준 기저 {e₁, e₂, e₃}가 국소(질서 및 정규화) 기저 {b₁, b₂, b₃}로 변환되도록 b와₃ b에 대해서도₂ 유사한 방정식이 유지된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{b}_{1}&, ={\cfrac{\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf{e}_{1}+{\cfrac{\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf{e}_{2}+{\cfrac{\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf{e}_{3}\\\mathbf{b}_{2}&, ={\cfrac{\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf{e}_{1}+{\cfrac{\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}년.mathbf{e} _{2}+{\mathbf {e} _{3} \mathbf {e} _{3} \\mathbf {b} _{3} &=mathbf {e} _{1} {\mathbf {e} _{1} {\mathbf {e}$

유사한 추론을 통해 국소 기준에서 표준 기준까지의 역변환을 얻을 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{e}_{1}&, ={\cfrac{\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf{b}_{1}+{\cfrac{\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf{b}_{2}+{\cfrac{\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf{b}_{3}\\\mathbf{e}_{2}&, ={\cfrac{\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf{b}_{1}+{\cfrac{\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}년.mathbf{b} _{2}+{\mathbf {b}_{3}\mathbf {e}_{3}\mathbf {e}_{3}&=mathbf {{1}{\mathbf {b}+{1}\mathbf {{2}\mathbf {b}$

변형의 야코비안

위의 선형 방정식의 시스템은 아인슈타인 합산 규칙을 사용하여 행렬 형태로 쓰여질 수 있습니다.

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ i${\displaystyle \frac{}{{}_{}}}$、 $q$k ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle {}_{}}$ k ,${\displaystyle \frac{\mathrm{}{q}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ 、 ${\displaystyle {}_{}}$x k ${\displaystyle {}_{}}$= e$$k \ display { $style$ {$display }$ { \$mathbf${ e } _ { i }$$= \$mathbf${ $b } _${ k }$、$ \ $display$ { display q x$k$}

선형 시스템의 이 계수 행렬은 변환의 야코비 행렬(및 그 역행렬)입니다.이것들은 데카르트 베이스를 곡선 베이스로 변환하는 데 사용할 수 있는 방정식이며, 그 반대도 마찬가지입니다.

3차원에서, 이러한 행렬의 확장된 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf{J}={\begin{bmatrix}{\cfrac{\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac{\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac{\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac{\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac{\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac{\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac{\partial x_{3}}{\partial q^.{1}}}&,{\cfrac{)부분 x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac{\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad\mathbf{J}^{)}={\begin{bmatrix}{\cfrac{\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac{\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac{\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac{\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac{\partial q^{2}}{\partial x라_{2}}}&,{\cfrac{\capac q^{2}}{\capac {\capac x_{3}}{\capac {\capac x_{3}}&{\capac {\capac x_{2}}&{\capac {\capac x_{3}}\capac {\capac {\capac}}$

역변환(제2방정식계)에서 미지수는 곡선 기저 벡터이다.모든 특정 위치에 대해 하나의 기준 벡터 세트만 존재할 수 있습니다(단, 그 시점에서 기준이 잘 정의되지 않음).이 조건은 방정식 시스템이 단일 해를 갖는 경우에만 충족됩니다.선형 대수학에서, 선형 방정식 시스템은 시스템 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우에만 단일 해(비삼차적)를 갖는다.

$\displaystyle \det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0}$

이것은 역 야코비안 행렬식에 관한 위의 요구 조건의 근거를 보여준다.

n차원으로의 일반화

형식주의는 다음과 같이 유한한 차원으로 확장된다.

실제 유클리드 n차원 공간, 즉 Rⁿ = R × R × ...을 고려해보자.× R (n회) 여기서 R은 실수의 집합이고 ×는 벡터 공간인 데카르트 곱을 나타낸다.

이 공간의 좌표는 x = (x₁, x₂, ...,x_n)로 나타낼 수 있습니다.이것은 벡터(벡터 공간의 요소)이기 때문에 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e}^{i}$

여기서¹ e = (1,0,0...,0), e²³ = (0,1,0...,0), e = (0,0,1...,0)은ⁿ 공간ⁿ R에 대한 벡터의 표준 기저 세트이고, i = 1,2,...n은 지수 라벨 성분이다.각 벡터는 각 차원(또는 "축")에 정확히 하나의 성분을 가지며 서로 직교(수직)하고 정규화(단위 크기가 있음)됩니다.

보다 일반적으로, 기저 벡터_i b를 정의하여 q = (q_12n, q, ..., q), 즉 점마다 변화하도록_i 할 수 있다: b = b_i(q).이 경우, 이 대체 기준의 관점에서 동일한 점 x를 정의하려면: 이 기준의_i 좌표 v도 반드시 x에 의존해야 한다. 즉, v_i = v_i(x)이다.그런 다음 이 공간의 벡터 v는 이 기준에서 선형 조합으로 확장될 수 있다(즉, 단순히 각 기본 벡터_i e에 숫자_i v – 스칼라 곱셈을 곱하는 것을 의미한다).

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{b}_{j}=\sum _{j=1}^{n}{v}^{j}(\bar {q})\mathbf {b}_{j}(\mathbf {q})$

새로운 기저에서 v를 설명하는 벡터 합은 합 자체는 동일하지만 다른 벡터들로 구성됩니다.

좌표 변환

좀 더 일반적이고 추상적인 관점에서, 곡선 좌표계는 ^[3]다지관상의 데카르트 좌표 패치와 미분 형상인 미분 가능한 다지관ⁿ E(n차원 유클리드 공간) 상의 좌표 패치일 뿐이다.미분 다지관의 두 미분 동형 좌표 패치가 차등적으로 겹칠 필요는 없다.이 간단한 곡선 좌표계의 정의로, 아래의 모든 결과는 단순히 미분 위상에서의 표준 정리의 적용이다.

변환 함수는 "구" 좌표와 "신" 좌표의 점 사이에 일대일 관계가 존재하도록 합니다. 즉, 이러한 함수는 분사이며 해당 영역 내에서 다음과 같은 요구사항을 충족합니다.

3차원 곡선 좌표에서의 벡터 및 텐서 대수

참고: 반복 지수에 대한 합계의 아인슈타인 합산 규칙은 다음과 같습니다.

곡선 좌표의 기본 벡터와 텐서 대수는 역학과 물리학의 오래된 과학 문헌 중 일부에서 사용되며, 예를 들어 그린과 제르나의 ^[5]텍스트와 같은 1900년대 초중반의 작업을 이해하는 데 필수적일 수 있습니다.이 절에서는 벡터 대수와 곡선 좌표의 2차 텐서의 몇 가지 유용한 관계가 제시된다.표기법과 내용은 주로 Ogden,^[6] Naghdi,^[7] Simmonds,^[2] Green과 Zerna,^[5] Basar와 Weichert,^[8] 그리고 Ciarlet에서 ^[9]왔다.

곡선 좌표의 텐서

2차 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b}_{i}\otimes\mathbf {b}_{j}=S^{i}_{j}\mathbf {b}_{i}\otimes\mathbf {b}^{j}=S_{i}{j}^{j}\mathbf {b}^{i}\otimes\mathbf {b}_{j}=S_{ij}\mathbf {b}^{i}\otimes\mathbf {b}^{j}$

여기서 ${\$ { $displaystyle \scriptstyle \otimes }$는 텐서 곱을 나타냅니다.성분^ij S는 반변량 성분, S는ⁱ 혼합된 오른쪽 공변량 성분_i, S는 혼합된 왼쪽 공변량 성분, S는_ij 2차 텐서의 공변량 성분이라고 합니다.2차 텐서의 구성요소는 다음과 같이 관련된다.

${\displaystyle S^{ij}=g^{ik}S_{k}{j}=g^{jk}S^{i}_{k}=g^{ik}g^{j\ell}S_{k\ell}}$

직교 곡선 좌표의 메트릭 텐서

각 점에서 작은 선요소 dx를 구성할 수 있으므로 선요소 길이의 제곱은 스칼라 곱 dx • dx이며 다음과 같이 공간의 메트릭이라고 한다.

${\displaystyle d\mathbf{}}$ x ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle d\mathbf{}}$ x ${\displaystyle \frac{=\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ i $q$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ k d ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ \ $displaystyle$d \ $mathbf${ $x }$ \ $cdot d$ \ $mathbf$ { x } =$displayac${ \ $displaystyle x _${ $i$} { \ $displac q$^ { $j}$} { \ d$}$

위의 방정식의 다음 부분은

${\displaystyle {\displayac x_{k}{\display q^{i}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b}_{i}\cdot \mathbf {b}_{j}}$

는 곡선 좌표에서 유클리드 공간의 기본(또는 미터법) 텐서라고 불리는 대칭 텐서입니다.

지표는 다음 메트릭으로 상승 및 하강할 수 있습니다.

$\displaystyle v^{i}=g^{ik}v_{k}$

라메 계수와의 관계

축척_i 요인 h의 정의:

$\displaystyle h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b}_{j}\cdot \mathbf {b}_{j}\cdarrow \mathbf {b}=cdarrow \mathrt {g_{i}_{i}=\cdisplayrt {gh}\mathb}\mathbf {b}\mathb}\cdi}\cdi}\cd}\cdi}\cdi}\cd}\c$

미터법 텐서와 라메 계수 사이의 관계를 제공한다.

$({displaystyle g_{ij}=cdac {\display q^{i}}\cdot {\display q^{x}}=\left(h_{ki}\mathbf {e}\right)\cdot \left(h_mathbf {x})$

여기서_ij h는 라메 계수입니다.직교 기준의 경우 다음 항목도 있습니다.

${\displaystyle g=g_{11}g_{33)g=h_{1}^{2}h_{2}^{2}\rightw\rt {g}=h_{1}h_{3}=J}$

예: 극좌표

R에 대한² 극좌표를 고려한다면

$(\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta,r\sin \theta)}$

(r, θ)는 곡선 좌표이며, 변환(r,θ) → (r cos θ, r sin θ)의 야코비 행렬식은 r이다.

직교 기저 벡터는 b = (cos θ, sin θ), b_θ = (-r sin θ, r cos θ)입니다_r.척도 인자는 h = 1 및_θ h = r입니다_r.기본 텐서는 g =1, g₂₂ =r², g₁₂ = g₂₁ =0이다₁₁.

교대 텐서

직교 정규 오른손잡이 기준에서 3차 교대 텐서는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e}^{i}\times \mathbf {e}^{j}\times \mathbf {e}^{k}}$

일반적인 곡선 베이스에서 동일한 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {E}=mathcal {E}_{ijk}\mathbf {b}^{j}\otimes \mathbf {b}^{k}=mathcal {E}^{ijk}\mathb}\mathbf {b}_mathb}_mathb}_mathbimes$

라는 것도 알 수 있다.

$({displaystyle {mathcal {E}}^{ijk}=cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}=cfrac {1}{+{\cfrt {g}}}}}\varepsilon _{ijk}})$

크리스토펠 기호

제1종 크리스토펠 기호 ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{ki}}_{}}$j \ $displaystyle$\$Gamma$_ { $kij}$

$\displaystyle \mathbf {b} _{i,j} =\mathbf {b} ^{k} \gamma _{kij}\display \rightarrow \mathbf {b} _{k} \cdot \mathbf {b} {b} _b}$

여기서 쉼표는 편도함수를 나타냅니다(Ricci 미적분 참조).γ를_kij g로_ij 표현하자면,

${\displaystyle{\begin{정렬}g_{ij,k}&, =(\mathbf{b}_{나는}\cdot \mathbf{b}_{j})_{,k}=\mathbf{b}_{i,k}\cdot \mathbf{b}_{j}+\mathbf{b}_{나는}\cdot \mathbf{b}_{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&, =(\mathbf{b}_{나는}\cdot \mathbf{b}_{k})_{,j}=\mathbf{b}_{i,j}\cdot \mathbf{b}_{k}+\mathbf{b}_{나는}\cdot \mathbf{b}_{k,j}=\Gamma._{kij}+\Gamma _{ikj}\g_{jk,i}&=(\mathbf {b}_{j}\cdot \mathbf {b}_{j}_{j,i}\cdot \mathbf {b}_{k}+\mathbf}_mathbot {b}_mathbf {cdot})$

부터

$\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\display \오른쪽 화살표 \gamma _{kij}=\Gamma _{kji}}$

위의 관계를 재정렬하기 위해 이것들을 사용한다.

$(\displaystyle \Gamma _{kij}=paramfrac {1}{2}) (g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k}=paramf {1}{2})[(\mathbf {b}_{k}_{b})_{j,{b}_mathb})$

제2종 크리스토펠 기호 ${\displaystyle {\gamma }^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{ji}}_{}}$\ $displaystyle$\ $Gamma$^ { $k }$ _ { $ji$}

$\Displaystyle \Gamma ^{k}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}_{ji},\displaystyle \gambf {b}=\mathbf {k}_{k}_gama ^{k}{k}$

이는 을 암시한다.

${\displaystyle {}^{}\frac{{\mathbf{}}_{}}{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$i j ${\displaystyle \frac{=\mathrm{}}{}}$ b i ${\displaystyle \frac{q^{}}{}}$q ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$b k${\displaystyle }$= -${\displaystyle {}_{}}$b i${\displaystyle \frac{\mathrm{}{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathbf{}}^{}}{}}$ k = b b${\displaystyle \frac{}{{}^{}}\frac{{}^{}}{}}{\displaystyle \frac{q^{}}{}}$ 、 q$j$（ $display$ style \$Gamma$^ { $k$} _ { $ij$} =$cdot$ \$mathbf { b$} = {$ij}$\ mathb = $cdot$ \ mathbf = { bcdisplaystyp$}$${\displaystyle \frac{}{\partial }}$ ${\displaystyle \frac{j^{}}{}{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ （ ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$⋅${\displaystyle {}^{}}$ k$）$ = $0$( $displaystyle$\ $displayac partial$ { \ displaysq } { \ $displaysq$} { \ $sq ^$ { j $} （ mathbf$ { b } _ { i$$} \ $cdot$ \ $mathbf$ { b $^$ { k }$$= 0$$）${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$。

그 외의 관계는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {displaystyle \mathbf {b} {\gamma ^{i} = - \Gamma ^{i} _ {jk} \ mathbf {b} _ { boldsymbol { b} 、 \ mathbf = \ Gamma ^ { k } { j}$

벡터 연산

3차원 곡선 좌표에서의 벡터와 텐서 미적분

참고: 반복 지수에 대한 합계의 아인슈타인 합산 규칙은 다음과 같습니다.

라인, 표면 및 볼륨 적분을 계산할 때 조정이 필요합니다.단순성을 위해 다음은 3차원 및 직교 곡선 좌표로 제한합니다.그러나 n차원 공간에도 동일한 인수가 적용됩니다.좌표계가 직교하지 않으면 식에 몇 가지 추가 항이 있습니다.

심몬즈는 ^[2]텐서 분석에 관한 그의 책에서 알버트 아인슈타인의^[10] 말을 인용한다.

이 이론의 마법은 그것을 진정으로 이해한 모든 사람에게 부과될 것이다; 그것은 가우스, 리만, 리치, 그리고 레비 시비타에 의해 설립된 절대미적분법의 진정한 승리를 나타낸다.

일반 곡선 좌표의 벡터와 텐서 미적분은 일반 상대성 ^[11]이론의 4차원 곡선 다양체에 대한 텐서 분석, 곡면 ^[9]셸의 역학, 메타물질과^[12][13] 많은 다른 분야에서 관심을 가져 온 맥스웰 방정식의 불변성 특성을 조사하는데 사용된다.

이 절에서는 벡터 및 곡선 좌표의 2차 텐서의 미적분에서의 몇 가지 유용한 관계가 제시된다.표기법과 내용은 주로 Ogden,^[14] Simmonds,^[2] Green과 Zerna,^[5] Basar와 Weichert,^[8] Ciarlet에서 ^[9]가져온 것입니다.

θ = θ(x)를 잘 정의된 스칼라 필드, v = v(x)를 잘 정의된 벡터 필드, θ₁, θ₂...를 좌표의 매개 변수라고 하자.

기하학적 요소

통합

교환입니다.	[ Scalar ]필드	벡터 필드
라인 적분	$\displaystyle \int _{C}\varphi(\mathbf {x})ds=\int _{a}^{b}\varphi(\mathbf {x}(\varphi)\left \displaystyle \mathbf {x}\da}\varphi}\right d\lashd\mathbf {x}$	$\displaystyle \int _{C}\mathbf {v}(\mathbf {x})\cdot d\mathbf {s} =\int _{a}^{b}\mathbf {v}(\mathbf {x}(\cda})\cdot \mathbf {x} \over \da} \cda} \da})$
표면적분	$\displaystyle \int _{S}\varphi(\mathbf {x})dS=\iint _{T}\varphi(\mathbf {x}(\displayda _{1},\displayda _{2})\left \display\mathbf {x}\times\mathbf}\times \mathbf {{x})$	$\displaystyle \int _{S}\mathbf {v}(\mathbf {x})\cdot dS=\iint _{T}\mathbf {v}(\mathbf {x}(\displayda _{1},\displayda _mathbf {x} \over})\cdot \times {times} \da {times} \times} \da {tembf {v} \tes} \times}$
볼륨 적분	$\displaystyle \iint _{V}\varphi (x,y,z)dV=\iint _{V}\chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}$	${\displaystyle \iint _{V}\mathbf {u}(x,y,z)dV=\iint _{V}\mathbf {v}(q_{1},q_{2}dq_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}}$

차별화

그라데이션, 발산 및 라플라시안 표현식은 n차원으로 직접 확장할 수 있지만 컬은 3D로만 정의됩니다.

벡터 필드_i b는 qⁱ 좌표 곡선에 접하며 곡선의 각 점에서 자연스러운 기초를 형성합니다.이 기사의 첫머리에서 논의한 바와 같이, 이 기저를 공변 곡선 기저라고도 한다.우리는 또한 역근거 또는 반변곡선근거 b를ⁱ 정의할 수 있다.텐서 대수에 관한 절에서 논의된 바와 같이, 기저 벡터 사이의 모든 대수적 관계는 각 점 x에서의 자연 기저와 그 역수에 적용된다.

교환입니다.	[ Scalar ]필드	벡터 필드	2차 텐서장
그라데이션	$\displaystyle \varphi = displayac {1}{h_{i}}{\display \varphi \over \display q^{i}}\mathbf {b}^{i}}$	$\displaystyle \mathbf {v} = displayac {1} {h_{i}^{2}} {\displays \mathbf {v} \over \mathbf {b} \otimes \mathbf {b} _{i}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=cfrac {\partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} ^{i}$
발산	없음	${\displaystyle \cdot \mathbf {v} = snapac {1} {\snaph _ {j}} {\frac {\snaph } {\snaph q^{i}}}(v^{i}\snaph_j})}$	$\displaystyle({\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a}=\cdot {\boldsymbol {S}\cdot \mathbf {a})$ 여기서 a는 임의의 상수 벡터입니다.곡선 좌표에서 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}=왼쪽 [{\cfrac {\partial q^{k}}-\Gamma _{ki}^{l}-S_{lj}-\Gamma _{k}{l}-{l}-{l}-\gamma _{l}{l}{\l}\l}{\l}\l}\l}\l}\g}\l}\l\l\l\l\l\l\l\l\l\l\l\l\$
라플라시안	${\displaystyle \displayla ^{2}\varphi=displayac {1}{j}{\displays q^{j}{\displays q } {\displays } {\displays q^{i} {\displaystyle } {\frac q } {{j}$
컬	없음	3D 벡터 필드의 경우, $(\displaystyle \times \mathbf {v} = displayfrac {1}h_{1}h_{2}h_{3}}\mathbf {e}_{i}\clac {{ijk}h_{i}{\frac(h_k}v_{k}}}}}})$ 여기서 ${\displaystyle i_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$\ $displaystyle \epsilon$_ { $ijk}$는 Levi-Civita 기호입니다.	텐서 필드 컬 참조

일반 곡선 좌표에서의 가공력

정의에 따르면, 작용력이 없는 입자가 관성 좌표계(x₂, x₃, x, t)로₁ 표현된 위치를 갖는다면, 그 입자는 가속도가 없을 것이다(θ²_j/dt² = 0).^[15]이 맥락에서 좌표계는 비직선 시간 축 또는 비직선 공간 축(또는 둘 다) 때문에 "관성"되지 않을 수 있습니다.즉, 좌표의 기저 벡터는 고정된 위치에서의 시간이나 고정된 시간에서의 위치에 따라 또는 둘 다 다를 수 있다.운동 방정식이 비관성 좌표계로 표현될 때(이러한 의미에서), 크리스토펠 기호라고 하는 추가 항이 나타납니다.엄밀히 말하면, 이러한 용어는 절대 가속도의 구성 요소(고전 역학에서)를 나타내지만, 우리는 dx²/dt를 가속도로 간주하고²_j(좌표가 관성인 것처럼) 추가 항을 힘인 것처럼 취급하는 것을 선택할 수도 있다.이 경우,^[16] 이러한 항을 가공력이라고 부른다.입자의 경로와 경로의 곡률 평면에 수직인 가공력의 성분을 ^[17]원심력이라고 합니다.

이 보다 일반적인 맥락은 회전 좌표계와 정지 곡선 좌표계에서의 원심력 개념 사이의 대응관계를 명확히 한다. (이 두 개념은 문헌에 자주 나타난다.)^[18][19][20]간단한 예로, 각속도 W로 회전하는 극좌표계에 대해 각속도 w로 반지름 r의 원을 따라 이동하는 질량 m 입자를 생각해 보자.운동의 반경 방정식은 mr" = F_r + mr(w + W)²이다.따라서 원심력은 입자의 절대 회전 속도 A = w + W의 제곱에 mr을 곱한 것입니다.입자의 속도로 회전하는 좌표계를 선택하면 W = A, w = 0으로, 이 경우 원심력은 mrA이고², 정지 좌표계를 선택하면 W = 0, w = A로 원심력은 다시 mrA가² 된다.결과가 동일한 이유는 두 경우 모두 입자의 위치에 있는 기저 벡터가 시간에 따라 정확히 같은 방식으로 변화하기 때문입니다.따라서 이것들은 정확히 같은 것을 설명하는 두 가지 다른 방법일 뿐입니다. 하나는 회전 좌표의 관점에서, 다른 하나는 정지 곡선 좌표의 관점에서 설명됩니다. 둘 다 그 용어의 더 추상적인 의미에 따라 비관성적입니다.

일반적인 운동을 기술할 때, 입자에 작용하는 실제 힘은 종종 운동 경로에 접하는 순간적인 접촉 원을 가리키며, 일반적인 경우 이 원은 고정된 위치에 중심을 두지 않기 때문에 원심 성분과 코리올리 성분으로의 분해는 끊임없이 변화하고 있다.이것은 움직임이 정지 좌표와 회전 좌표 중 어느 쪽으로 설명되든 상관없습니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

추가 정보

외부 링크

• Planetmath.org 곡선 좌표에서의 단위 벡터 유도
• 곡선 좌표에 대한 MathWorld 페이지
• R. Brannon 교수의 곡선 좌표 전자책
• Wiki 다양성:탄성/텐서 소개#텐서 필드의 차이 – Wikdiversity, 탄력성/텐서 입문.