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십이진법

Duodecimal
Dewey Decimal Classification 또는 Duodecimo와 혼동하지 마십시오.
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십이진법(十二 dozen法, )은 십이진법을 기본으로 하는 위치 표기법의 숫자 체계입니다.숫자 12(십진수 체계에서 "12"로 표기되는 숫자)는 십진수로 "10"으로 표기되는 반면, 숫자열 "12"는 "10과 0의 단위"가 아닌 "10"으로 표기됩니다(십진수 14.마찬가지로 십이진법에서 "100"은 "1gross", "1000"은 "1great gross", 그리고 "0.1"은 "112"를 의미합니다 (각각 100, 1,000, 1/10).

십이지장 표기법에서 10과 11을 나타내는 데 다양한 기호가 사용되었습니다. 이 페이지에서는 16진수와 같이 A와 B를 사용하여 0에서 12까지의 십이지장 수를 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10으로 읽습니다.미국과 영국의 12개 협회(십진법의 사용을 장려하는 단체들)는 그들의 출판물에서 돌린 숫자를 사용합니다: 2(2)는 10을 나타내고 3(3)은 11을 나타냅니다.

상위 합성수인 숫자 12는 4개의 자명하지 않은 인자(2, 3, 4, 6)를 가진 가장 작은 수이며, 부비화 범위 내에 있는 4개의 수(1~4)를 모두 인자로 포함하는 가장 작은 수이며, 풍부한 수 중 가장 작은 수입니다.3-평활한 수의 역수(abc/2·3, a,b,c는 정수)의 모든 배수는 십이진법으로 끝을 나타냅니다.특히.+1 ⁄4(0.3), +1 ⁄3(0.4), +1 ⁄2(0.6), +2 ⁄3(0.8) 및 +3 ⁄4(0.9)는 모두 십진수로 짧은 종단 표현을 갖습니다.십진법 곱셈표에서도 관측 가능한 규칙성이 더 높습니다.결과적으로 십이진법은 최적의 수 체계로 설명되어 왔습니다.[1]

이런 점에서 십진법은 십진법(인자로 2와 5만 있음)과 팔진법이나 육진법과 같은 다른 제안된 기본법보다 우수하다고 여겨집니다.60진법은 이 점에서 훨씬 더 뛰어나지만(모든 5개의 매끄러운 숫자의 역수는 끝납니다), 무리한 곱셈표와 기억해야 할 훨씬 더 많은 수의 기호를 희생해야 합니다.

기원.

이 절에서는 숫자가 십진법으로 되어 있습니다.예를 들어, "10"은 9+1을 의미하고 "12"는 9+3을 의미합니다.

십이지장계의 기원은 일반적으로 네 개의 큰 손가락의 너클 뼈를 기반으로 한 손가락 세는 체계로 거슬러 올라갑니다.엄지를 포인터로 사용하면 다섯 번째 손가락에서 가장 먼 뼈부터 시작해 각 손가락 뼈를 만지고 세는 방식으로 12까지 셀 수 있습니다.이 시스템에서 한 손은 12까지 반복적으로 세고 다른 손은 5개의 수십 개, 즉 60개가 가득 찰 때까지 반복 횟수를 표시합니다.이 시스템은 아시아의 많은 지역에서 여전히 사용되고 있습니다.[2][3][4]

십이지수 체계를 사용하는 언어는 흔하지 않습니다.잔지어, 그비리니라구어, 피티어, 관다라어의[6] 님비아 방언과 네팔의 체팡어는 십이진법 숫자를 사용하는 것으로 알려져 있습니다.[5]

게르만족 언어들은 영어에서 11과 12와 같은 11과 12를 위한 특별한 단어들을 가지고 있습니다.그들은 독일조어 *ainlif와 *tallif(각각 왼쪽 하나와 왼쪽 두 개를 의미함)에서 왔는데, 십진법의 기원이 아닌 십진법을 암시합니다.[7][8]그러나, 고대 노르드어는 200을 의미하는 "180"과 240을 의미하는 "200"을 뜻하는 "200"을 뜻하는 "200"과 함께 십진법과 십이진법의 혼합된 숫자 체계를 사용했습니다.[9]브리튼 제도에서는, 이런 방식의 셈법이 중세 시대까지 100년 동안 잘 남아있었습니다.

역사적으로, 많은 문명에서 시간의 단위는 십이진법입니다.12궁도에는 12개의 별자리가 있는데, 1년에 12개월이 있고, 바빌로니아 사람들은 하루에 12시간이 있었습니다(어느 시점에서 24시간으로 바뀌기도 했습니다).전통적인 중국 달력, 시계, 그리고 나침반은 열두 개의 지구의 가지 또는 24 (12×2)개의 태양 용어에 기초합니다.제국의 발에는 12인치, 트로이 파운드에는 12트로이 온스, 실링에는 12개의 오래된 영국 펜스, 하루에 24시간(12×2시간); 다른 많은 항목들은 십여 개, 총합(144, 12의 제곱) 또는 총합(1728, 12의 세제곱)으로 계산됩니다.로마인들은 영어 단어 온스(ons)와 인치(inch)가 된 운시아(uncia)를 포함하여 12개를 기준으로 한 분수 체계를 사용했습니다.십진법 이전에, 아일랜드와 영국은 십진법-비기말 혼합 통화 시스템(12펜스 = 1실링, 20실링 또는 240펜스)을 사용했고, 샤를마뉴는 또한 12와 20의 혼합 기반을 가진 통화 시스템을 구축했고, 그 나머지는 많은 곳에 남아 있습니다.

12의 밑면으로부터 단위표
관련있는
가치		 프렌치 유닛
길이가 긴		 영어단위
길이가 긴		 영어
(트로이)단위
무게가 있는		 로마자 단위
무게가 있는		 영어단위
질량이 큰
120 피투성이의 발 파운드 천칭의
12−1 주머니에 넣다 인치로 온스 유니시아 가느다란
12−2 갈기질을 하다 선 양심의 가책 2개 스크루풀라 2개 민달팽이
12−3 점을 점을 씨를 뿌리다 실리쿠아

표기법 및 발음

숫자 체계에서, 밑수(십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지분의 십이지만,[10]

표기법
⟨텐,11 배경 메모 타고
건반을
전용 문자별
⟨A,B 16진수에서와 같이 타자기 입력을 허용합니다. Green tickY
⟨T,E 텐과 일레븐의 이니셜 Green tickY
⟨X,E 로마 숫자 10에서 X, 영어 일레븐에서 E. Green tickY
⟨X,Z Z의 기원은 알려지지 않았지만, 미국 십이지회(DSA)에 의해 "달람베르 [sic] & Buffon"에 기인한 것으로 추정됩니다.[10] Green tickY
⟨δ, ε⟩ Greek δ, ε, from δέκα "ten" and ένδεκα "eleven"[10]
⟨τ, ε⟩ 그리스 τ, ,
⟨W, , W는 로마 숫자를 5에 곱하는 것에서 비롯됩니다; ∂는 진자에 기초합니다. 칼콜로 데시도지날레의 실비오 페라리 (1854).[11]
⟨X, ℰ x,
U+2130 ℰ스크립트 대문자 E 		프랭크 에머슨 앤드루스, 뉴 넘버즈 (1935).[12]
⟨⚹, #⟩ 6분의 1 또는 6 pointed의 별표,
해시 또는 옥토소프		 에드나 크레이머 수학의 주류 (1951)
1974년부터 2008년까지 DSA(Denzal Society of America)의 출판물에 사용되었으며,[13][14] 푸시버튼 전화기에서도 사용되었습니다.[10] 		Green tickY
⟨↊, ↋⟩
  • U+218A ↊ 2자리 방향 전환,
  • U+218B ↋ 숫자 3으로 돌림
⟨, ⟩ deck, el로 발음
기표기[19] 기준
십이진법 ⇔ 십진수 배경 메모 타고
건반을
54 = 64
54;6 = 64.5 		이탤릭체로
소수점 대신 세미콜론 사용
험프리 점 		–
Green tickY
*54 = 64
54;6 = 64.5 		전체 숫자는 별표로 표시하고 험프리는 다른 숫자를 가리킵니다. DSGB에서 사용합니다.[19] –
Green tickY
54z = 64d 첨자 "z" '십여 개'에서.DSA에서 2015년부터 사용.[19]
5412 = 6410 구독기준번호 수학자와 수학 교과서의[19] 공통적인 사용법
54twelve = 64ten 첨자 밑줄 맞춤법 지정 학교 교과서에서[19] 가끔 발견되는 위의 내용의 변형
doz 54 = dec 64 Green tickY

십진법 기호

↊ ↋
십이진법 ⟨텐,11
유니코드에서
  • U+218A ↊ 방향이 바뀐 숫자 2
  • U+218B ↋ 숫자 3으로 돌림
블록 번호 양식
메모

타자기 입력을 허용하기 위해 ⟨ A, B ⟩(16진수에서와 같이), ⟨ T, E ⟩(10과 11의 이니셜), ⟨ X, E ⟩ 또는 ⟨ X, Z ⟩(10의 로마 숫자에서 X)와 같은 문자가 사용됩니다.Some employ Greek letters, such as ⟨δ, ε⟩ (from Greek δέκα "ten" and ένδεκα "eleven") or ⟨τ, ε⟩.[10]초기 미국의 십이진법 옹호자인 Frank Emerson Andrews는 그의 책 New Numbers ⟨ X, ℰ ⟩ (대본 대문자 E, U+2130)에서 제안하고 사용했습니다.

Edna Kramer는 1951년 그녀의 책 The Memain Stream of Mathematics에서 ⟨⚹ #⟩ (6등분 또는 6등분 별표, 해시 또는 팔색소프)를 사용했습니다.이 기호들은 몇몇 타자기에서 사용할 수 있기 때문에 선택되었습니다; 그것들은 누름 버튼 전화기에도 있습니다.[10]이 표기법은 1974년부터 2008년까지 미국 십여 개 협회(DSA)의 출판물에서 사용되었습니다.[21][22]

2008년부터 2015년까지 DSA는 윌리엄 애디슨 드위긴스가 고안한 상징인 ⟨, ⟩을 사용했습니다.

영국 십여 개 협회(DSGB)는 ⟨ 2, 3 ⟩ 기호를 제안했습니다.아랍어 숫자를 180° 회전시켜 유도한 이 표기법은 아이작 피트먼이 도입했습니다.[23][10][15]2013년 3월, 유니코드 표준에 십여 개 협회에서 전파하는 10과 11의 숫자 형태를 포함하는 제안서가 제출되었습니다.[24]이 중 영국/피트먼 양식은 코드 포인트 U+218A ↊ TURN DIGIT TWO와 U+218B ↋ TURN DIGIT THI에서 문자로 인코딩하기 위해 승인되었습니다.이들은 유니코드 8.0 (2015)에 포함되었습니다.[16][25]

피트만 숫자가 유니코드에 추가된 후 DSA는 투표를 실시하고 대신 피트만 숫자를 사용하여 콘텐츠를 게시하기 시작했습니다.[26]그들은 여전히 ASCII 텍스트에서 X와 E 문자를 사용합니다.유니코드 문자가 제대로 지원되지 않기 때문에 이 페이지에서는 "A"와 "B"를 사용합니다.

다른 제안들은 더 창의적이거나 미학적입니다. 예를 들어, 많은 것들이 "분리된 동일성"의 원칙 하에 어떠한 아라비아 숫자도 사용하지 않습니다.[10]

기표기

십진수와 십진수를 구별하는 방법에 대해서도 다양한 제안이 있습니다.[19]여기에는 12진수 "54 = 64"를 이탤릭체화하고 "Humphrey point"(소수점 대신 세미콜론)를 12진수 "54;6 = 64.5"에 추가하거나 둘의 일부 조합이 포함됩니다.다른 문자들은 첨자나 부착된 라벨을 사용하여 기본을 나타내는데, 십진법과 십진법 이상을 나타낼 수 있습니다(단일 문자의 경우 "d"는 십진법을 의미하므로 "54 = 64", "54 = 64" 또는 "doz 54 = dec 64"와 같이 "dozen"의 "z"가 사용됩니다).

발음

미국 십여 개 협회는 10과 11의 발음을 "덱"과 "엘"로 제안했습니다.열두 개의 힘의 이름에는 두 개의 두드러진 체계가 있습니다.

십이진법

이 시스템에서는 분수에 접두사 e-가 추가됩니다.[18][27]

십이진법 숫자 십이지 숫자 이름 십이진법 숫자 분수 십이진법 분수 이름
1; 하나.
10; do 0;1 에도
100; gro 0;01 영지의
1,000; mo 0;001 이모
10,000; 도모 0;000,1 에도모
100,000; 그로모 0;000,01 에그로모
1,000,000; 바이모 0;000,001 에비모
10,000,000; 도비모 0;000,000,1 에도비모
100,000,000; 그로비모 0;000,000,01 에그로비모
1,000,000,000; 삼모의 0;000,000,001 에트리모
10,000,000,000; 도트라이모 0;000,000,000,1 에도삼모
100,000,000,000; 그로트라이모 0;000,000,000,01 에그로 트라이모
1,000,000,000,000; 쿼드모 0;000,000,000,001 등모의
10,000,000,000,000; 도 quad모 0;000,000,000,000,1 에도 quad모
100,000,000,000,000; 그로 quad모 0;000,000,000,000,01 에그로 quad모
1,000,000,000,000,000; 펜타모 0;000,000,000,000,001 에펜타모
10,000,000,000,000,000; 도펜타모 0;000,000,000,000,000,1 에도펜타모
100,000,000,000,000,000; 그로펜타모 0;000,000,000,000,000,01 에그로펜타모
1,000,000,000,000,000,000; 육모 0;000,000,000,000,000,001 에헥사모

이 시리즈의 여러 자리 숫자는 다르게 발음됩니다: 12는 "두", 30은 "세", 100은 "그로", BA9는 "엘 그로덱 두 나인", B86은 "엘 그로에이트 두 여섯", 8BB,15A는 "에이트 그로겔 두, 1 그로파이브 두", ABA는 "데크 그로겔 두", BBB는 "엘 그로겔 두", 0.06은 "6 에그로"[27] 등입니다.

체계적 십진법 명명법(SDN)

이 시스템은 12의 양의 거듭제곱에 "-qua" 어미를 사용하고 12의 음의 거듭제곱에 "-cia" 어미를 사용하며, IUPAC 체계 요소 이름의 확장(십진법에 필요한 두 개의 추가 자릿수에 대한 음절 dec 및 lev)을 사용하여 어떤 거듭제곱을 의미하는지를 표현합니다.[28][29]

십이진법 이름. 십진법 십이지분율 이름.
1; 하나. 1
10; 언콰의 12 0;1 유니시아
100; 비쿠아 144 0;01 비시아의
1,000; 트라이콰 1,728 0;001 삼위일체의
10,000; 쿼드쿼 20,736 0;000,1 쿼드시아
100,000; 펜트콰 248,832 0;000,01 펜티아
1,000,000; 육각형의 2,985,984 0;000,001 육각형의
10,000,000; 셉콰 35,831,808 0;000,000,1 셉티아
100,000,000; 옥타 429,981,696 0;000,000,01 옥시아
1,000,000,000; 엔콰 5,159,780,352 0;000,000,001 엔시아의
10,000,000,000; 데카 61,917,364,224 0;000,000,000,1 데치아
100,000,000,000; 레프쿠아 743,008,370,688 0;000,000,000,01 레브시아
1,000,000,000,000; 언일쿠아 8,916,100,448,256 0;000,000,000,001 언일리시아의
10,000,000,000,000; 언쿠아한 106,993,205,379,072 0;000,000,000,000,1 운치 없는

옹호와 "십진주의"

윌리엄 제임스 시디스(William James Sidis)는 1906년 자신이 만든 언어 벤더굿(Vendergood)의 기초로 12를 사용했으며, 이는 4가지 요소로 가장 적은 수이며 상업에서 널리 퍼져 있다고 지적했습니다.[30]

십이진법에 대한 사례는 프랭크 에머슨 앤드루스의 1935년 저서 뉴 넘버즈에서 상세히 소개되었습니다. 십이진법 기저의 수용이 수학을 단순화하는 방법.Emerson은 많은 전통적인 무게 및 측정 단위에서 12개의 인자가 널리 보급되어 있기 때문에 미터법에 대해 주장되는 많은 계산 이점이 10개 기반의 무게 및 측정의 채택 또는 십진수 시스템의 채택으로 실현될 수 있다고 언급했습니다.[12]

미국 십이지 협회의 로고와 같은 십이지장 시계면, 여기서 음악적 키를 나타내기 위해 사용되는.

미국 십이지회와 영국 십이지회 모두 십이지십 체계의 광범위한 채택을 촉진합니다.그들은 더 노골적으로 십진법 용어를 피하기 위해 십이지장 대신에 십이지장이라는 단어를 사용합니다.그러나 "dozenal"의 어원 자체도 십진법 용어에 기반을 둔 표현인데, 이는 프랑스어로 라틴어 duodecim에서 유래한 douze의 12를 뜻하는 douze에서 직접적으로 파생된 것이기 때문입니다.

수학자이자 정신 계산자인 알렉산더 크레이그 아이트켄은 십이지장수를 거침없이 옹호했습니다.

십이진표는 십진표보다 숙달하기 쉽고, 십진표보다 더 쉽습니다. 어린 아이들은 열 개보다 열 두 개의 막대나 블록으로 더 흥미로운 일을 찾을 수 있기 때문에, 초등교육에서는 훨씬 더 흥미로울 것입니다.이 표들을 사용하는 사람은 십진법 눈금보다 1.5배 이상 빠르게 계산합니다.5배 이상 빠르게 계산할 것입니다.이것은 저의 경험입니다. 저는 더 많은 것이 다른 사람들의 경험이 될 것이라고 확신합니다.

— A. C. Aitken, "Twelves and Tens" in The Listener (January 25, 1962)[31]

하지만 제 경험으로 볼 때, 마지막 양적인 이점은 이렇습니다. 지나치게 복잡하지 않은 평범하고 광범위한 종류의 계산을 수년에 걸쳐 수행한 결과, 십진법의 효율성은 약 65 이하로 평가될 수도 있다는 결론에 도달했습니다. 만약 우리가 십진법에 100을 할당한다면 말이죠.

— A. C. Aitken, The Case Against Decimalisation (1962)[32]

미디어에서

"Little Twebtoes"에서, 미국의 텔레비전 시리즈인 스쿨하우스 락!은 십이진법 산술을 사용하는 외계인을 묘사했고, "덱"과 "el"을 10과 11의 이름으로 사용했고, 앤드류스의 스크립트 X와 스크립트 E를 숫자 기호로 사용했습니다.[33][34]

십이진법 측정 시스템

12명의 분석가들이 제안한 측정 시스템은 다음과 같습니다.

  • 톰 펜들베리의 TGM 시스템[35][29]
  • 스가 다카시의 유니버설 유닛 시스템[36][29]
  • 존 볼란의 프리멜 체계[37]

다른 수 체계와 비교

이 절에서는 숫자가 십진법으로 되어 있습니다.예를 들어, "10"은 9+1을 의미하고 "12"는 6x2를 의미합니다.

미국 십여 개 협회는 밑수가 너무 작으면 숫자를 위해 상당히 더 긴 확장이 필요하고, 밑수가 너무 크면 산술을 수행하기 위해 큰 곱셈표를 기억해야 한다고 주장합니다.따라서 "숫자의 기저는 약 7 또는 8에서 약 16(18과 20을 포함) 사이에 있어야 한다"고 가정합니다.[38]

숫자 12에는 1, 2, 3, 4, 6, 12의 6개의 인자가 있고, 그 중 2와 3이 소수입니다.6개의 인자를 갖는 가장 작은 수이고, 그 아래에 있는 수의 절반 이상을 나눗셈으로 갖는 가장 큰 수이며, 10보다 약간 큽니다. (숫자 18과 20도 6개의 인자를 가지지만 훨씬 큽니다.)반면 10은 1, 2, 5, 10의 4개의 인자만 있고, 그 중 2와 5는 소수입니다.[38]6은 소인수 2와 3을 12와 공유하지만, 10과 마찬가지로 6은 6개가 아닌 4개의 인자(1, 2, 3, 6)만 가지고 있으므로 해당 기초인 세뇨리는 DSA의 명시된 임계값보다 낮습니다.

8에는 4개의 요인(1, 2, 4, 8)이 있지만 1개의 주요인(2)만 있습니다.16은 5번째 인자로 추가되지만 추가적인 소수는 없습니다.이는 = 8× 2 {\displaystyle 16=8\times 2}, 그리고 8에는 이미 2가 인자로 포함되어 있기 때문입니다.따라서 8진수와 16진수에서 반복되는 유일한 숫자는 2개의 역수 중 거듭제곱입니다.

30은 세 개의 서로 다른 소인수(2, 3, 5, 처음 세 개의 소인수)를 갖는 가장 작은 수이며, 총 8개의 소인수(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30)를 갖습니다.60진법은 사실 고대 수메르인과 바빌로니아인들에 의해 사용되었습니다; 60진법의 기본은 4, 12, 20, 60~30의 네 편리한 인자를 더하지만 새로운 소수 인자는 없습니다.네 개의 다른 소인수를 갖는 가장 작은 수는 210입니다. 패턴은 소인수를 따릅니다.그러나 이 숫자들은 매우 큰 기본값을 갖게 됩니다.

모든 기저 시스템에서, 기저보다 하나가 적거나 하나가 더 많은 수의 수를 나타내는 것과 유사한 점이 있습니다.

다음 곱셈표에서 숫자는 십진수를 기준으로 합니다.예를 들어, "10"은 12를 의미하고 "12"는 14를 의미합니다.

십진법 곱셈표
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100

10진수로의 변환표 및 변환표

밑면 사이의 숫자를 변환하려면 일반 변환 알고리즘을 사용할 수 있습니다(위치 표기의 관련 섹션 참조).또는 숫자 변환 테이블을 사용할 수도 있습니다.아래에 제공된 것은 0;01과 BBB,BBB 사이의 임의의 십진수를 변환하는 데 사용할 수 있습니다.BB에서 십진수, 또는 0.01에서 999,999.99에서 십진수 사이의 임의의 숫자.이 숫자들을 사용하려면 먼저 주어진 숫자를 각각 유효한 숫자 하나만 포함한 숫자의 합으로 분해해야 합니다.예를 들어,

123,456.78 = 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0.7 + 0.08

이 분해는 숫자를 어떤 밑으로 표현하든 동일하게 작동합니다.각각의 0이 아닌 숫자를 분리하고 각각의 자리값을 보존하기 위해 필요한 만큼의 0을 추가합니다.지정된 숫자에 0이 포함된 경우(예: 102,304.05), 숫자 분해(102,304.05 = 100,000 + 2,000 + 300 + 4 + 0.05)에서 제외됩니다.그런 다음 자릿수 변환 테이블을 사용하여 각 자릿수에 대해 대상 기준에 해당하는 값을 얻을 수 있습니다.지정된 숫자가 십진수이고 타겟 베이스가 십진수이면 다음을 얻을 수 있습니다.

(십진수) 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0;7 + 0;08 = (decimal) 248,832 + 41,472 + 5, 184 + 576 + 60 + 6 + 0.5833333333... + 0.0555555555555...

합은 이미 십진법으로 변환되었기 때문에, 일반적인 십진법 산술은 덧셈을 수행하고 숫자를 재구성하여 변환 결과에 도달합니다.

십이진법 -----> 십진수
100,000     =    248,832    20,000     =     41,472     3,000     =      5,184       400     =        576        50     =         60  +      6     =   +      6         0;7   =          0.583333333333...0;08  =          0.055555555555... --------------------------------------------   123,456;78  =    296,130.638888888888...

즉, (십진수) 123,456.78은 (십진수) 296,130.638 ≈ 296,130.64와 같습니다.

지정된 숫자가 십진수이고 대상 베이스가 십진수인 경우 방법은 동일합니다.숫자 변환 테이블 사용:

(decimal) 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0.7 + 0.08 = (십진수) 49,A54 + B,6A8 + 1,8A0 + 294 + 42 + 6 + 0;849724972497249724972497249724972497249724972497249724972497...+ 0;0B62A68781B05915343A0B62...

그러나 이 합을 만들고 숫자를 다시 계산하기 위해서는 대부분의 사람들이 이미 익숙한 십진법의 덧셈표 대신 십진법의 덧셈표를 사용해야 합니다.이것은 합이 이제 십이진법으로 되어 있기 때문입니다. 따라서 합이 있는 산술도 십이진법으로 되어 있어야 합니다.십진법에서는 + = displaystyle + 6 = 12}이고 십진법에서는 6 + 6 = 10 {\displaystyle 6 + 6 = 10}입니다. 따라서 십진법 숫자와 함께 십진법 산술을 사용하면 잘못된 결과를 얻을 수 있습니다.십이진법으로 산술을 제대로 수행하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

십진수 -----> 십진수
100,000 = 49,A54 20,000 = B,6A8 3,000 = 1,8A0 400 = 29450 = 42 + 6 = + 60.7 = 0;8497249724972497249724972497249724972497...0.08 = 0;0B62A68781B05915343A0B62...--------------------------------------------------123,456.78 = 5B,540;943A0B62A68781B05915343A...

즉, (십진수) 123,456.78은 (십진수) 5B,540;943과 같습니다.A0B62A68781B059153...≈ 5B,540;94

십진수-십진수 변환

듀오. 십진법 듀오. 십진법 듀오. 12월에 듀오. 12월에 듀오. 12월에 듀오. 12월에 듀오. 12월에 듀오. 12월에 듀오. 12월에
1,000,000 2,985,984 100,000 248,832 10,000 20,736 1,000 1,728 100 144 10 12 1 1 0;1 0.083 0;01 0.00694
2,000,000 5,971,968 200,000 497,664 20,000 41,472 2,000 3,456 200 288 20 24 2 2 0;2 0.16 0;02 0.0138
3,000,000 8,957,952 300,000 746,496 30,000 62,208 3,000 5,184 300 432 30 36 3 3 0;3 0.25 0;03 0.02083
4,000,000 11,943,936 400,000 995,328 40,000 82,944 4,000 6,912 400 576 40 48 4 4 0;4 0.3 0;04 0.027
5,000,000 14,929,920 500,000 1,244,160 50,000 103,680 5,000 8,640 500 720 50 60 5 5 0;5 0.416 0;05 0.03472
6,000,000 17,915,904 600,000 1,492,992 60,000 124,416 6,000 10,368 600 864 60 72 6 6 0;6 0.5 0;06 0.0416
7,000,000 20,901,888 700,000 1,741,824 70,000 145,152 7,000 12,096 700 1,008 70 84 7 7 0;7 0.583 0;07 0.04861
8,000,000 23,887,872 800,000 1,990,656 80,000 165,888 8,000 13,824 800 1,152 80 96 8 8 0;8 0.6 0;08 0.05
9,000,000 26,873,856 900,000 2,239,488 90,000 186,624 9,000 15,552 900 1,296 90 108 9 9 0;9 0.75 0;09 0.0625
A,000,000 29,859,840 A00,000 2,488,320 A0,000 207,360 A,000 17,280 A00 1,440 A0 120 A 10 0;A 0.83 0;0A 0.0694
B,000,000 32,845,824 B00,000 2,737,152 B0,000 228,096 B,000 19,008 B00 1,584 B0 132 B 11 0;B 0.916 0;0B 0.07638

십진수에서 십진수로 변환

12월에 듀오. 12월에 듀오. 12월에 듀오. 12월에 듀오. 12월에 듀오. 12월에 듀오. 12월에 듀오. 12월에 십이진법 12월에 십이진법
1,000,000 402,854 100,000 49,A54 10,000 5,954 1,000 6B4 100 84 10 A 1 1 0.1 0;12497 0.01 0;015343A0B62A68781B059
2,000,000 805,4A8 200,000 97,8A8 20,000 B,6A8 2,000 1,1A8 200 148 20 18 2 2 0.2 0;2497 0.02 0;02A68781B05915343A0B6
3,000,000 1,008,140 300,000 125,740 30,000 15,440 3,000 1,8A0 300 210 30 26 3 3 0.3 0;37249 0.03 0;043A0B62A68781B059153
4,000,000 1,40A,994 400,000 173,594 40,000 1B,194 4,000 2,394 400 294 40 34 4 4 0.4 0;4972 0.04 0;05915343A0B62A68781B
5,000,000 1,811,628 500,000 201,428 50,000 24,B28 5,000 2,A88 500 358 50 42 5 5 0.5 0;6 0.05 0;07249
6,000,000 2,014,280 600,000 24B,280 60,000 2A,880 6,000 3,580 600 420 60 50 6 6 0.6 0;7249 0.06 0;08781B05915343A0B62A6
7,000,000 2,416,B14 700,000 299,114 70,000 34,614 7,000 4,074 700 4A4 70 5A 7 7 0.7 0;84972 0.07 0;0A0B62A68781B05915343
8,000,000 2,819,768 800,000 326,B68 80,000 3A,368 8,000 4,768 800 568 80 68 8 8 0.8 0;9724 0.08 0;0B62A68781B05915343A
9,000,000 3,020,400 900,000 374,A00 90,000 44,100 9,000 5,260 900 630 90 76 9 9 0.9 0;A9724 0.09 0;10B62A68781B05915343A

나눗셈 규칙

이 절에서 숫자는 십이진법으로 되어 있습니다.예를 들어, "10"은 6x2를 의미하고, "12"는 7x2를 의미합니다.

이 절은 십진법의 나눗셈 규칙에 관한 것입니다.

1

임의의 정수는 1로 나뉠 수 있습니다.

2

숫자가 2로 나눌 수 있는 경우 해당 숫자의 단위 숫자는 0, 2, 4, 6, 8 또는 A가 됩니다.

3

숫자가 3으로 분할될 경우 해당 숫자의 단위 숫자는 0, 3, 6 또는 9가 됩니다.

4

숫자가 4로 분할될 경우 해당 숫자의 단위 숫자는 0, 4 또는 8이 됩니다.

5

5로 나뉠 수 있는지 검정하려면 단위 숫자를 두 배로 늘리고 나머지 숫자로 구성된 숫자에서 결과를 빼십시오.결과가 5로 나뉠 경우, 주어진 숫자는 5로 나뉠 수 있습니다.

이 규칙은 21( 에서 나옵니다.

예:
13 규칙 → - 2× = displaystyle 1-2\times 3 = 5}, 5로 나눌 수 있습니다.
2BA5 규칙 → A -2× = 5 ) {\displaystyle 2{\texttt {B}}{\texttt {A}}-2\times 5 = 2{\texttt {B}}0(5\times 70)}, 이는 5로 분할됩니다(또는 2B0에 규칙 적용).

오어

5로 나뉠 수 있는지 검정하려면 결과의 단위 숫자와 세 배를 나머지 숫자로 구성된 숫자로 빼야 합니다.결과가 5로 나뉠 경우, 주어진 숫자는 5로 나뉠 수 있습니다.

이 규칙은 13(x 에서 유래합니다.

예:
13 규칙 → - × = displaystyle 3-3\times 1 = 0}, 5로 나눌 수 있습니다.
2BA5 규칙 → -3× 2 = 8 ) {\displaystyle 5-3\times 2{\texttt {B}}{\texttt {A}} = 5로 나눌 수 있는 8{\texttt {B}}1(5\times 195)}.

오어

오른쪽에서 왼쪽으로 두 블록의 교대 합을 만듭니다.결과가 5로 나뉠 경우, 주어진 숫자는 5로 나뉠 수 있습니다.

이 규칙은 = ×25 {\displaystyle 101 = 5\times 25}이기 때문에 101에서 유래합니다. 따라서 이 규칙은 25까지 나눗셈을 테스트할 수도 있습니다.

예:

97,374,627 → - + - =- B {\displaystyle 27 - 46 + 37 - 97 = - 7 {\texttt {B}}, 5로 나눌 수 있습니다.

6

숫자가 6으로 나눌 수 있는 경우 해당 숫자의 단위 숫자는 0 또는 6이 됩니다.

7

7로 나뉠 수 있는지 검정하려면 단위 숫자를 세 배로 늘리고 나머지 숫자로 구성된 숫자에 결과를 더합니다.결과가 7로 나뉠 경우, 주어진 숫자는 7로 나뉠 수 있습니다.

이 규칙은 2B(x 에서 나옵니다

예:
12 규칙 → × 2+ = 7 displaystyle 3\times 2 + 1 = 7}, 로 나눌 수 있습니다.
271B 규칙 → × B+ = (7 ) {\displaystyle 3\times {\texttt {B}} + 271 = 29{\texttt {A}} (7\times 4{\texttt {A})}, 즉 7로 분할(또는 29A에서 규칙 적용)됩니다.

오어

7로 나뉠 수 있는지 검정하려면 단위 숫자를 뺀 다음 나머지 숫자로 구성된 숫자에서 결과를 두 배로 늘립니다.결과가 7로 나뉠 경우, 주어진 숫자는 7로 나뉠 수 있습니다.

이 규칙은 12(x 에서 나옵니다.

예:
12 규칙 → - 2× = displaystyle 2-2\times 1 = 0}으로, 7로 나눌 수 있습니다.
271B 규칙 → -2× = 7× 89 ) {\displaystyle {\texttt {B}}-2\times 271 = 513 (7\times 89)}, 이는 7로 분할됩니다 (또는 513에서 규칙 적용).

오어

7로 나뉠 수 있는지 검정하려면 단위 숫자를 네 배로 늘리고 나머지 숫자로 구성된 숫자에서 결과를 빼십시오.결과가 7로 나뉠 경우, 주어진 숫자는 7로 나뉠 수 있습니다.

이 규칙은 41( 에서 유래합니다.

예:
12 규칙 → × 2 - = 7 displaystyle 4\times 2-1 = 7}, 로 나눌 수 있습니다.
271B 규칙 → × B- = × 3B ) {\displaystyle 4\times {\texttt {B}}-271 = 235 (7\times 3{\texttt {B})}, 이는 7로 분할됩니다 (또는 235에 규칙 적용).

오어

오른쪽에서 왼쪽으로 3개씩 블록의 번갈아 가며 합을 만듭니다.결과가 7로 나뉠 경우, 주어진 숫자는 7로 나뉠 수 있습니다.

이 규칙은 = × 11× {\displaystyle 1001 = 7\times 11\times 17}이므로 1001에서 유래합니다. 따라서 이 규칙은 11과 17로 나뉠 수 있는지도 테스트할 수 있습니다.

예:

386,967,443 → - + =- 168{\displaystyle 443 - 967 + 386 = - 168}, 7로 나눕니다.

8

주어진 숫자의 마지막 두 자리로 이루어진 두 자리 숫자가 8로 나뉠 경우, 주어진 숫자는 8로 나뉠 수 있습니다.

예: 1B48, 4120

규칙 =>이므로 48(8*7)을 8로 나눈 다음 1B48을 8로 나눈 다음 20(8*3)을 8로 나눈 다음 4120을 8로 나눈 다음 규칙 =>입니다.
9

주어진 숫자의 마지막 두 자리로 이루어진 두 자리 숫자가 9로 나뉠 경우, 주어진 숫자는 9로 나뉠 수 있습니다.

예: 7423, 8330

규칙 = >이므로 23(9*3)을 9로 나눈 다음 7423을 9로 나눈 다음 30(9*4)을 9로 나눈 다음 8330을 9로 나눈 다음 규칙 = >입니다.
A

숫자가 2와 5로 나뉠 경우, 숫자는 A로 나뉠 수 있습니다.

B

숫자의 숫자의 합이 B로 나뉠 경우, 숫자는 B로 나뉠 수 있습니다(십진법으로 9개를 주조하는 것과 동일).

예: 29, 61B13

규칙 => 2+9 = B, B로 나눌 수 있고 29는 B로 나눌 수 있습니다. 규칙 => 6+1+B+1+3 = 1A, B로 나눌 수 있고 61B13은 B로 나눌 수 있습니다.
10

숫자가 10으로 분할될 경우, 그 숫자의 단위 숫자는 0이 됩니다.

11

대체 숫자를 합하고 합을 뺀다.결과가 11로 나뉠 경우, 숫자는 11로 나뉠 수 있습니다(십진법으로 11로 나뉠 수 있음).

예: 66, 9427

규칙 => 6-6 = 0으로 11로 나눈 다음 66은 11로 나눈다. 규칙 => (9+2)-(4+7) = A-A = 0으로 11로 나눈 다음 9427은 11로 나눈다.
12

숫자가 2와 7로 나뉠 경우, 숫자는 12로 나뉠 수 있습니다.

13

숫자가 3과 5로 나뉠 경우, 숫자는 13으로 나뉠 수 있습니다.

14

주어진 숫자의 마지막 두 자리로 이루어진 두 자리 숫자가 14로 나뉠 경우, 주어진 숫자는 14로 나뉠 수 있습니다.

예: 1468, 7394

규칙 =>이므로 68(14*5)을 14로 나눈 다음 1468을 14로 나눈 다음 94(14*7)을 14로 나눈 다음 7394를 14로 나눈 다음 규칙 =>입니다.

분수와 무리수

분수

3개의 매끄러운 분모를 가진 유리수에 대한 십이지분율은 다음과 같이 끝납니다.

  • 1/2 = 0;6
  • 1/3 = 0;4
  • 1/4 = 0;3
  • 1/6 = 0;2
  • 1/8 = 0;16
  • 1/9 = 0;14
  • 1/10 = 0;1 (이것은 12분의 1, 1/A는 10분의 1)
  • 1/14 = 0;09 (이것은 16분의 1, 1/12는 14분의 1)

다른 유리수들은 반복적인 십이진분수를 가지고 있습니다.

  • 1/5 = 0;2497
  • 1/7 = 0;186A35
  • 1/A = 0;12497(10분의 1)
  • 1/B = 0;1(11분의 1)
  • 1/11 = 0;0B(13분의 1)
  • 1/12 = 0;0A35186 (14번째)
  • 1/13 = 0;09724(15분의 1)
십이진법 예제 십진당량
1 × (5/8) = 0.76 1 × (5/8) = 0.625
100 × (5/8) = 76 144 × (5/8) = 90
576/9 = 76 810/9 = 90
400/9 = 54 576/9 = 64
1A.6 + 7.6 = 26 22.5 + 7.5 = 30

반복 소수점에서 설명된 바와 같이, 어떤 밑면에서 감소할 수 없는 분수가 기수 표기법으로 쓰여질 때마다, 분수는 그 분모의 모든 주요 인자들이 또한 밑면의 주요 인자일 경우에만 정확히 표현될 수 있습니다.

십진법에서 = displaystyle 2\times 5=10}이기 때문에 분모가 2와 5의 배수로만 구성된 분수는 1/8 = 1/(2×2×2), 1/20 = 1/(2×2×5), 1/500 = 1/(2×2×5×5)로 정확히 0.125, 0.05, 0.002로 나타낼 수 있습니다. 그러나 1/3과 1/7은 반복됩니다(0.333..., 0.142857142857...).

십진수 시스템에서 × 2× = displaystyle 2\times 2\times 3=12}이므로 1/8은 정확합니다. 1/20 및 1/500은 5를 인자로 포함하므로 반복됩니다. 1/3은 정확하고 1/7은 십진수에서와 마찬가지로 반복됩니다.

베이스 b에서 지정된 자릿수 내에서 종결 분수를 제공하는 분모의 수, n은 베이스 b의 n번째 거듭제곱인{\b^{의 인자(수)의 수이다(분모로 사용될 때 분수가 생성되지 않는 분모 1도 포함됨). 의 인자 수는 소인수 분해를 사용하여 제공됩니다.

10진수의 경우 = × {\displaystyle 10^{n}=2^{n}\times 5^{n}입니다.각 소수의 각 지수에 하나씩 더해서 그 결과의 양을 곱하면 나눗셈의 수가 나오므로, 의 인자 수는 + 1 )n+ )=(+ 1 ) 2 {\displaystyle (n + 1 ) (n + 1 ) = (n + 1 ) ^{2} 입니다.

예를 들어, 숫자 8은 103(1000)의 배수이므로 {\ 및 분모가 8인 다른 분수는 종료할 때 소수점 이하의 숫자를 3자리 이상 필요로 할 수 없습니다.

십진수의 경우 = × 3n {\displaystyle 10^{n}= 2^{2n}\times 3^{n}입니다. + )( + 1) (개의 분할자가 있습니다.8의 표본 분모는 십진수로 총 = textstyle 12^{2}=144})의 인자이므로, 8분의 1은 소수점 이하의 소수점 두 자리 이상을 사용하여 종료할 수 없습니다.

10과 12 모두 두 개의 고유한 소인수를 가지므로, b = 10 또는 12에 대한 n 의 나눗셈 수는 지수 n(즉, n n에 따라 제곱적으로 증가합니다.

반복되는 숫자

미국 십여 개 협회는 5개 요인보다 3개 요인이 실생활의 분열 문제에서 더 흔하게 마주친다고 주장합니다.[38]따라서 실제 응용에서 십진법 표기법을 사용할 때 십진법을 반복하는 번거로움이 덜하게 발생합니다.십이진법의 지지자들은 이것이 일년의 12개월이 종종 계산에 들어가는 재무 계산의 경우에 특히 해당된다고 주장합니다.

그러나 십진법 표기법에서 반복 분수가 발생할 때 십진법 표기법보다 매우 짧은 주기를 가질 가능성이 적습니다. 12(12)는 11(11)과 13(13)의 두 소수 사이에 있는 반면 10은 합성수 9에 인접하기 때문입니다.그러나, 더 짧거나 더 긴 주기를 갖는 것은 주어진 기저에서 그러한 분수들에 대한 유한한 표현을 얻지 못한다는 주된 불편함에 도움이 되지 않습니다. (그러므로, 부정확성을 도입하는 반올림은 그것들을 계산에서 다루기 위해 필요합니다.) 그리고 전체적인 하나는 분수가 있을 때 무한히 반복되는 숫자들을 다루어야 할 가능성이 더 높습니다.ns는 십진수보다 십진수로 표시됩니다. 연속되는 세 개의 숫자 중 한 개는 소인수 3을 소인수분해에 포함하는 반면, 다섯 개 중 한 개만이 소인수 5를 포함하기 때문입니다.2를 제외한 다른 모든 소인수들은 10개나 12개가 공유하지 않기 때문에 반복되는 숫자를 만나는 상대적인 가능성에 영향을 미치지 않습니다(분모에 이러한 다른 인자들을 포함하는 축소할 수 없는 분수는 어느 한 쪽의 밑에서도 반복됩니다).

또한 소인수 2는 12의 소인수분해에서 두 번 나타나는 반면 소인수 10의 소인수분해에서는 한 번만 나타납니다. 즉, 분모가 2의 거듭제곱인 대부분의 분수는 십진법보다 십진법으로 더 짧고 더 편리한 종결 표현을 갖습니다.

  • 1/(22) = 0.2510 = 0.312
  • 1/(23) = 0.12510 = 0.1612
  • 1/(24) = 0.062510 = 0.0912
  • 1/(25) = 0.0312510 = 0.04612
소수점 이하
베이스의 주요인자 : 2, 5
기저부 아래 1개의 주요인자: 3
베이스 위 1개의 주요 인자: 11
기타 모든 소수: 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31 		십이진기수
베이스의 주요인자 : 2, 3
기저부 아래 1개의 소인수: B
기저부 위 1개의 소인수 : 11 (=13)
다른 모든 소수: 5, 7, 15, 17, 1B, 25, 27
분수 소인수
분모의 		위치표시 위치표시 소인수
분모의 		분수
1/2 2 0.5 0;6 2 1/2
1/3 3 0.3 0;4 3 1/3
1/4 2 0.25 0;3 2 1/4
1/5 5 0.2 0;2497 5 1/5
1/6 2, 3 0.16 0;2 2, 3 1/6
1/7 7 0.142857 0;186A35 7 1/7
1/8 2 0.125 0;16 2 1/8
1/9 3 0.1 0;14 3 1/9
1/10 2, 5 0.1 0;12497 2, 5 1/A
1/11 11 0.09 0;1 B 1/B
1/12 2, 3 0.083 0;1 2, 3 1/10
1/13 13 0.076923 0;0B 11 1/11
1/14 2, 7 0.0714285 0;0A35186 2, 7 1/12
1/15 3, 5 0.06 0;09724 3, 5 1/13
1/16 2 0.0625 0;09 2 1/14
1/17 17 0.0588235294117647 0;08579214B36429A7 15 1/15
1/18 2, 3 0.05 0;08 2, 3 1/16
1/19 19 0.052631578947368421 0;076B45 17 1/17
1/20 2, 5 0.05 0;07249 2, 5 1/18
1/21 3, 7 0.047619 0;06A3518 3, 7 1/19
1/22 2, 11 0.045 0;06 2, B 1/1A
1/23 23 0.0434782608695652173913 0;06316948421 1B 1/1B
1/24 2, 3 0.0416 0;06 2, 3 1/20
1/25 5 0.04 0;05915343A0B62A68781B 5 1/21
1/26 2, 13 0.0384615 0;056 2, 11 1/22
1/27 3 0.037 0;054 3 1/23
1/28 2, 7 0.03571428 0;05186A3 2, 7 1/24
1/29 29 0.0344827586206896551724137931 0;04B7 25 1/25
1/30 2, 3, 5 0.03 0;04972 2, 3, 5 1/26
1/31 31 0.032258064516129 0;0478AA093598166B74311B28623A55 27 1/27
1/32 2 0.03125 0;046 2 1/28
1/33 3, 11 0.03 0;04 3, B 1/29
1/34 2, 17 0.02941176470588235 0;0429A708579214B36 2, 15 1/2A
1/35 5, 7 0.0285714 0;0414559B3931 5, 7 1/2B
1/36 2, 3 0.027 0;04 2, 3 1/30

1/n의 십진법 주기 길이는 (십진법)입니다.

0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 11, 23, 0, 20, 16, 52, 6, 29, 4, 15, 30, 6, 4, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ... (OEIS의 A246004 서열)

1/(n번째 소수)의 십진수 주기 길이는 (십진수)입니다.

0, 0, 4, 6, 1, 2, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 148, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 66, 14, 222, 113, 114, 8, 119, 120, 125, 256, 131, 268, 54, 138, 280, ... (OEIS의 A246489 서열)

십진수 주기가 n인 가장 작은 소수는 (십진수로 표시)

11, 13, 157, 5, 22621, 7, 659, 89, 37, 19141, 23, 20593, 477517, 211, 61, 17, 2693651, 1657, 290436306420266077, 85403261, 8177824843189, 57154490053, 47, 193, 303551, 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 886381, 2551, 71, 73, ... (OEIS 내 시퀀스 A252170)

무리수

임의의 위치 숫자 체계(십진법 및 십진법 포함)에서 무리수의 표현은 종료되거나 반복되지 않습니다.다음 표는 몇몇 중요한 대수적 숫자와 초월적 숫자의 첫 자리를 십진법과 십이진법으로 나타낸 것입니다.

대수적 무리수 십진법으로 십이진법
√2, 2의 제곱근 1.414213562373... 1;4B79170A07B8...
φ (phi), 황금비율 = + displaystyle tfrac {15}}}{2}}} 1.618033988749... 1;74BB6772802A...
초월수 십진법으로 십이진법
π (pi), 원의 지름에 대한 원둘레의 비율 3.141592653589... 3;184809493 B91...
e, 자연 로그의 밑 2.718281828459... 2;875236069821...

참고 항목

참고문헌

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