서명 자리 표시
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숫자에 대한 수학적 표기법에서, 부호 자리 표시는 정수를 인코딩하는 데 사용되는 부호 자리 수를 가진 위치 숫자 시스템이다.
서명 자리 표시는 의존적 운반체 체인을 제거할 수 있기 때문에 정수를 빠르게 추가하는 데 사용될 수 있다.[1] 2진수 체계에서 특별한 케이스 부호 자릿수 표현은 비인접 형태로서 최소한의 공간 오버헤드로 속도 혜택을 제공할 수 있다.
역사
계산상의 난제는 초기 작가 콜슨(1726년)과 카우치(1840년)를 자극해 서명자 표기를 사용하게 했다. 부정된 숫자를 새로운 숫자로 대체하는 추가 단계는 판매(1887년)와 카조리(1928년)가 제안했다.
1928년 플로리안 카조리는 콜슨(1726년)과 카우치(1840년)를 시작으로 사인 자리라는 반복되는 주제를 주목했다.[2] 카조리는 그의 저서 '수학적 공지의 역사'에서 이 단원의 제목을 '음수'라고 지었다.[3] 완전성을 위해 Colson은[4] 예를 사용하고 곱하기(pp. 163–4), 곱하기(pp. 165–6) 및 나누기(pp. 170–1)를 구분자의 곱하기 표를 사용하여 설명한다. 그는 곱셈을 잘라서 근사치의 편리함을 설명한다. 콜슨은 서명된 숫자를 사용하여 계산하는 기기(카운팅 테이블)도 고안했다.
에두아르 셀링은[5] 1, 2, 3, 4, 5자리 숫자를 반전시켜 음의 기호를 나타내기 위해 주장하였다. 그는 또한 snie, jes, jerd, reff, niff를 보컬로 사용할 이름으로 제안했다. 다른 초기 소스들은 그것의 부정적인 기호를 나타내기 위해 숫자에 걸쳐 막대기를 사용했다. 또 다른 독일어로 된 사인 디지트의 사용은 1902년 클라인의 백과사전에서 설명되었다.[6]
정의 및 속성
디지트
로 나는 &l 0≤에}{\displaystyle d_{나는}d와 함께 각 숫자 표시 숫자 숫자의 기수 b>D{\displaystyle{{D\mathcal}}} 유한한 집합 1{\displaystyle b> 1}(b1{\displaystyle b\leq 1}≤, 그 위치 번호 시스템 및 단지 사소한 것들은 반지를 나타내는 하찮은 것),자.t, b. 은(는) radix 또는 number base로 알려져 있다. can be used for a signed-digit representation if it's associated with a unique function such that 모두 i i 이 함수 , {은(는) 의 기호/glyph에 정수 값이 할당되는 방법을 엄격하고 공식적으로 설정하는 것이다.} 이 공식주의의 한 가지 이점은 "정수"의 정의가 p와 혼동되지 않는다는 것이다.그것들을 쓰는/쓰기를 위한 골격 체계; 이런 방식으로, 이 두 개의 구별되는 (상호 밀접하게 관련된) 개념은 분리되어 있다.
은(는) 각각 +{\D D - 세 개의 개별 세트로 분할할 수 있으며 모든 자릿수는 양수 있다.D+∈ D+{\displaystyle d_{+}\in{{D\mathcal}}_{+}}를 알아내D(d+)을을 만족시키다;0{\displaystyle f_{{\mathcal D}}(d_{+})>. 0}일 경우, 모든 손가락 d0∈ D0{\displaystyle d_{0}\in{{D\mathcal}}_{0}}초기 조향 순간 0{\displaystyle f_{{\mathcal D}}(d_{0})=0}과 모든 손가락 d.를 알아내D(d0)을 만족시키− ∈ D−{\displaystyle d_{-}\in{{D\mathcal}}_{-}};0{\displaystyle f_{{\mathcal D}}(d_{-})<. 0}일 경우를 알아내D(d−)<>를 충족해야 한다.D의 카디널리티+{\displaystyle{{D\mathcal}}_{+}}은 b+{\displaystyle b_{+}}, D0의 기수{\displaystyle{{D\mathcal}}_{0}}은 b형이야. 과와) - 의 카디널리티는 b- 0}-}이며 = + + b+ b + -
균형적 형태 표현
Balanced form representations are representations where for every positive digit , there exist a corresponding negative digit such that . It follows that . Only odd bases can have balanced form representations, as when then will be an odd number. In balanced form, the negative digits are usually denoted as positive digits with a bar over the digit, as for . For example, the digit set of balanced ternary would be with , , 및 ( )= 1 이 규칙은 홀수 프라임 순서 의 유한 분야에서 채택된다[7]
이중 서명 자리 표시
Every digit set has a dual digit set given by the inverse order of the digits with an isomorphism defined by . As a result, for any signed-digit representations of a number system ring constructed from with valuation , there exists a dual signed-digit representations of , , constructed from with valuation , and an isomorphism defined by {D 여기서 - -은(는) 의 첨가 역 연산자 균형 잡힌 형태 표현을 위한 숫자 집합은 자가 이중이다.
정수의 경우
Given the digit set and function as defined above, let us define an integer endofunction as the following:
If the only periodic point of is the fixed point , then the set of all signed-digit representations of the integers using is given by the Kleene plus , the set of all finite concatenated strings of digits with at least one digit, with . Each signed-digit representation has a valuation
- )= i= ) b ^{
를 들어 D ={ 자 이(가) 있는 균형잡힌 테르나리가 포함된다
그렇지 않으면, 만약 {\T의 0이 아닌 주기적인 점이 존재한다면, {\{\\D}}에 0이 아닌 숫자의 무한히 많은 숫자로 표현되는 정수가 존재한다 예를 들면 숫자 ={ 1, , 4,,,, 8, {이 있다., which requires an infinite number of the digit to represent the additive inverse , as , and the positi숫자D ={ , 1 을(를) 사용하는 숫자 시스템.( )=- 4 f{\text 무한히 많은 A 은(는) 2을를) D)= 2-(- ) = 2 displaystyle
소수점 분수의 경우
If the integers can be represented by the Kleene plus , then the set of all signed-digit representations of the decimal fractions, or -adic rationals , is given by , the Cartesian product of the Kleene plus , the set of all finite concatenated strings of digits with at least one digit, the singleton consisting of the radix point ( or ), and the Kleene star , the set of all finite concatenated strings of digits , with . Each signed-digit representation has a valuation
실수의 경우
If the integers can be represented by the Kleene plus , then the set of all signed-digit representations of the real numbers is given by , the Cartesian product of the Kleene plus , the set of all finite concatenated strings of digits with at least one digit, the singleton consisting of the radix point ( or ), and the Cantor space , the set of all infinite concatenated strings of digits , with . Each 서명된 자릿수 {R {\ {\ {R의 : R →R {\v_{\ {D}이(가) 있음
- r)= i= - n )
기타 번호 시스템의 경우
All base- numerals can be represented as a subset of , the set of all doubly infinite sequences of digits in , where is the set of integers, and the ring of base-숫자는 공식 파워 링 Z[[ , - 1 두 배의 무한 시리즈로 표시된다.
여기서 의 Z {\ {
Integers b
The set of all signed-digit representations of the integers modulo , is given by the set , the set of all finite concatenated strings of digits of length , with . Each signed-digit representation has a valuation
프뤼퍼 집단
그룹은 및 b {b]/\{의 지수 이다 The set of all signed-digit representations of the Prüfer group is given by the Kleene star , the set of all finite concatenated strings of digits , with . Each signed-digit representation 은(는) : → Z {\{ {이(b}})가 있다
서클 그룹
원 그룹은 정수와 실제 숫자의 지수 = R / Z {T=\} /\ {이다. The set of all signed-digit representations of the circle group is given by the Cantor space , the set of all right-infinite concatenated strings of digits . Each signed-digit representation 의 평가 v : → T {가) 있음
-adic 정수
The set of all signed-digit representations of the -adic integers, is given by the Cantor space , the set of all left-infinite concatenated strings of digits . Each signed-digit representation has a valuation
-adic 솔레노이드
The set of all signed-digit representations of the -adic solenoids, is given by the Cantor space , the set of all doubly infinite concatenated strings of digits . Each signed-digit representation has a valuation
문어와 구어로
인도아리아어족
인도-아리아어족의 구술과 서면 형태의 숫자들은 음수(예: 힌디와 벵갈어로 "un", 푼자비어로 "un" 또는 "unna", 마라티어로 "ekon")를 사용하며, 이 숫자는 9로 끝난다. 이름 뒤에 나오는 숫자는 아래의 펀자비(ik 접두어 "ik"는 "one"[8]을 의미한다)에 표시된다.
- 19 unni, 20 vih, 21 ikki
- 29명, 30명, 31명의 이카티
- 언탈리 39, 찰리 40, 익탈리 41
- 우난자 49명, 판자 50명, 익반자 51명
- 59 unahat, 60 sath, 61 ikahat
- 69명의 무인, 70명의 사타르, 71명의 이카타르
- 79 unasi, 80 assi, 81 ikiasi
- 89번, 90번, 91번 아이킨나븐
마찬가지로 세소토어는 음수를 사용하여 8과 9를 형성한다.
- 8 로벨리(/Robeli(/Robay-dee/)는 "두 손가락을 부러뜨린다"는 의미, 즉 두 손가락을 아래로 내린다.
- 9 로봉(/로봉/)은 "하나를 부러뜨린다"는 뜻, 즉 한 손가락 아래로
고전 라틴어
고전 라틴어에서 18번과 19번 정수는 심지어 구어체도 없었고 실제로 "8"이나 "9"에 해당하는 부분을 포함한 서면 형태도 없었다.[9] 대신 클래식 라틴어로
- 18 = duodēvīgintī("2개에서 20"), (IIIXX 또는 XIIX),
- 19 = undēvīgintī("20"에서 1개), (IXX 또는 XIX)
- 20 = vīgintī("20"), (XX).
다가올 정수 숫자의 경우 [28, 29, 38, 39, ..., 88, 89] 언어의 첨가제 형식이 훨씬 일반적이었지만, 열거된 숫자의 경우 위의 형식이 여전히 선호되었다. 따라서 30에 가까운 숫자들은 다음과 같이 표현되었다.[10]
- 28 = duodētrgginta("30에서 2개"), 덜 자주("208/8 및 20"), (IIIXX 또는 XX)IIX 대 XXVIII, 후자는 완전히 경쟁적이었음.)
- 29 = 선호도가 낮은 형태임에도 불구하고 undtrtrginta("30에서 가져온 형태")도 마음대로 사용할 수 있었다.
이것은 현대 역사학자들의 추론의 주요한 토대 중 하나로, 감산 I-와 II-가 다른 범위에 비해 이 범위의 추기경들에게 왜 그렇게 흔했는지를 설명한다. 숫자 98과 99는 두 가지 형태로 표현될 수 있지만 "2 ~ 100"은 다소 이상하게 들릴 수 있다. 분명한 증거는 이러한 숫자들이 실제 출처에서 감산적으로 기록되는 드문 경우라는 것이다.
핀란드어
그러나, 이 특징을 가진 다른 언어가 있다(지금까지, 단지 추적에 있다), 그러나, 오늘날에도 여전히 활발하게 사용되고 있다. 이것은 핀란드어인데, 8 또는 9의 숫자가 발생할 경우 (발음된) 숫자가 이런 식으로 사용된다. 이 계획은 다음과 같다.[11]
- 1 = "yksi"(참고: yhd- 또는 yht- 대부분 거절하려고 할 때, 예: "yhdessé" = "함께, 하나의 [entity]로서")
- 2 = "kaksi"(또한 참고: 거절 시 kahde-, kahte-)
- 3 = "콜메"
- 4 = "넬자"
...
- 7 = "seitsemén"
- 8 = "kah(d)익산" ([가 닿으려면] 2개 남음)
- 9 = "yh(d)ekshén" (1개만 남아서 그것에 도달)
- 10 = "kymmenen"(10)
위의 목록은 특별한 경우가 아니며, 결과적으로 더 큰 추기경에게도 나타난다. 예:
- 399 = "kolmesataaayhdeksankymmentayhdeksaen"
이러한 속성의 강조는 가장 짧은 구어체 형태의 숫자에서도 존재한다.
- 1 = "yy"
- 2 = "kaa"
- 3 = "구"
...
- 7 = "세이스카"
- 8 = "kasi"
- 9 = "ysi"
- 10 = "키미피"
그러나 이 현상은 문자에 영향을 미치지 않으며 핀란드인들은 표준 서아랍 십진법 표기법을 사용한다.
시간 유지
영어에서는 예를 들어 '7 ~ 3', 부정 수행을 하는 'til'이라고 말하는 것이 일반적이다.
기타 시스템
b+ -+ -+ 1 와 같은 다른 서명 자리 베이스가 존재한다 어떤 숫자 집합 D이 눈에 띄는 예시들은 부스 인코딩,)b와{1¯, 0,1}{\displaystyle{{D\mathcal}}=\lbrace{\bar{1}},0,1\rbrace}+=1{\displaystyle b_{+}=1}와 b−=1{\displaystyle b_{-}=1}, 하지만 어떤 2<기본 b)를 사용하여 3)b++b−+1{\displaystyle b=2&.그것은, 3=. 표준 이진수 시스템은 값{ 0의 숫자만 사용한다
비표준 서명 자리 표시는 고유하지 않다는 점에 유의하십시오. 예를 들어,
부스 인코딩의 비인접 형태(NAF)는 모든 정수 값에 대해 고유한 표현을 보장한다. 그러나 이는 정수 값에만 적용된다. 예를 들어, NAF에서 다음과 같은 반복적인 이진수를 고려해 보십시오.
참고 항목
참고 및 참조
- ^ Dhanjay Phatak, I. Koren(1994) 하이브리드 서명 번호 시스템: 경계 운반 전파 체인을 포함한 중복 번호 표시를 위한 통합 프레임워크
- ^ 아우구스틴-루이 카우치(1840년 11월 16일) "Sur les moyens d'eviter les erreur dans les calculs mumique", Comptes rendus 11:789. 또한 Oevres에서 1, 5, 페이지 434–42 경을 완성한다.
- ^ Cajori, Florian (1993) [1928-1929]. A History of Mathematical Notations. Dover Publications. p. 57. ISBN 978-0486677668.
- ^ 존 콜슨 (1726) "네그타티보-아피르마티보 산술에 대한 짧은 설명", 왕립학회 철학적 거래 34:161–173. JSTOR의 초기 저널 컨텐츠로 이용 가능
- ^ Eduard Selling (1887) Eine Nue Rechenmachine, 페이지 15–18, 베를린
- ^ Rudolf Mehmke(1902) "Numerisches Rechen", §4 Beschrenkung in den verwendeten Ziffern, 클라인의 백과사전 I-2, 페이지 944.
- ^ Hirschfeld, J. W. P. (1979). Projective Geometries Over Finite Fields. Oxford University Press. p. 8. ISBN 978-0-19-850295-1.
- ^ 퀴즐릿의 펀자비 숫자
- ^ J. 매튜 해링턴 (2016) 고대 라틴어 문법의 개요
- ^ [1] 영어 위키트리거에서
- ^ [2] 킬리토이미스트론 사나키르자 출신
- J. P. 발란틴(1925) "부정 하나를 위한 숫자", 미국 수학 월간 32:302.
- 루이한, 동동첸, 고석범, 칸 A. 서스캐처원대학교 전기컴퓨터공학과의 와히드 "비과정 소수점 부호숫자 Adder".