자연밀도

수 이론에서 자연 밀도(증상 밀도 또는 산술 밀도라고도 함)는 자연 수 집합의 부분 집합이 얼마나 큰지를 측정하는 한 방법이다.주로 n이 커짐에 따라 [1, n] 구간을 통과할 때 원하는 서브셋의 구성원과 마주칠 확률에 의존한다.

직관적으로 모든 완벽한 사각형은 이미 양이고, 그 외에도 많은 양의 정수가 존재하기 때문에 완벽한 사각형보다 양의 정수가 더 많다고 생각된다.그러나 양의 정수 집합은 사실 완벽한 제곱 집합보다 크지 않다. 두 집합 모두 무한하고 셀 수 있으므로 일대일 대응으로 넣을 수 있다.그럼에도 불구하고 자연수를 통과하면 정사각형은 점점 더 희귀해진다.자연 밀도의 개념은 이러한 직관을 많은 부분(전부는 아니지만)의 부분 집합에 대해 정밀하게 만든다(자연 밀도와 유사하지만 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 모든 부분 집합에 대해 정의된 Schnirelmann 밀도 참조).$$

만일 정수가 [1, n] 구간에서 임의로 선택된다면, A에 속할 확률은 [1, n]의 A 원소 수와 [1, n]의 원소 총수의 비율이다.이 확률은 n이 무한대로 어느 정도 제한되는 경향이 있는 경우, 이 한계는 A의 점근밀도라고 한다.이 개념은 집합 A에서 숫자를 선택할 확률의 일종으로 이해할 수 있다.실제로 점증적 밀도(다른 유형의 밀도뿐만 아니라)는 확률론적 수 이론에서 연구된다.

정의

양의 정수의 부분 집합 A는 1에서 n까지의 모든 자연수 중 A의 원소 비율이 무한대로 α로 수렴되는 경우 자연 밀도 α를 갖는다.

보다 분명히 말하면, 계산 함수 a(n)를 a의 원소 수 n보다 작거나 같은 숫자로 정의한다면, A가 α인 자연 밀도는 정확히^[1] 다음을 의미한다.

a(n) / n → n → α, n → ∞.

집합 A가 자연 밀도 α를 가지면 0 α α α 1이라는 정의에 따른다.

상·하부 점근밀도

Let ${\displaystyle A}$ be a subset of the set of natural numbers ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}$ For any ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ put ${\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A.}$ and ${\displaystyle$$a(n)= A(n)$$}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 상위 점근 밀도("상위 밀도"라고도 함${\displaystyle )}$ $"{\displaystyle {d}(A)}$을(를) 정의$$

${\d(A)}=\limsup _{n\오른쪽 화살표 \inflit }{\frac {a(n)}{n}}}}$

여기서 림섭은 한계보다 높다${\displaystyle .}$ $d{\displaystyle \stackrel{}{}}$'${\displaystyle \stackrel{}{}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle {\d}(A)}$은 단순히 $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle A$의 상한 밀도로도 알려져$$ 있다$.$$}$

마찬가지로 $d{\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ (${\displaystyle A}$ ) ${\displaystyle {\d}(A$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 낮은 점증 밀도("낮은 밀도"라고도 함$)$는 다음에 의해 정의된다.

${\d(A)}=\liminf _{n\wrightarrow \infit }{\frac {a(n)}{n}}}}$

여기서 lim inf는 한계보다 낮다.One may say ${\displaystyle A}$ has asymptotic density ${\displaystyle d(A)}$ if ${\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}$, in which case ${\displaystyle d(A)}$ is equal to this common value.

이 정의는 다음과 같은 방법으로 재작성할 수 있다.

${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \inflt }{\frac {a(n)}{n}}}}$

이 한계가 존재한다면.^[2]

그 정의가 다음과 같은 의미도 함축하고 있음을 증명할 수 있다.$N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 부분 집합을 자연수에 의해 인덱싱된 증가 시퀀스로 작성해야$$ 하는 경우

${\displaystyle A=\{a_{1}{1}<a_{2}<\ldots \}}}$

그때

${\daystyle {\underline{d}(A)=\liminf _{n\오른쪽 화살표 \infit }{\frac {n}{a_{n}}}},}$

${\daystyle {\d}(A)=\limsup _{n\오른쪽 화살표 \inflit }{\frac {n}{a_{n}}}}}}}}}}$

및 $d{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ n${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$. ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}${\$displaystyle$ d$(A)=\lim _{n\rightarrow \inflt }{\frac{n$}{$a_{n}}}}}}.$ 한계가 있는 경우$$.

밀도에 대한 다소 약한 개념은 Banach 밀도 ${\displaystyle 상한}$이다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ N ${\$${\displaystyle N}$$},$$d{\displaystyle {}^{}}$}${\displaystyle {}^{}}$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyd^{*}(A)$를 다음과$$ 같이 정의한다.

${\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{{N-M\오른쪽 화살표 \inflt }{\frac {A\cap \{M,M+1,\ldots,N\}{N-M+1}}}}$

속성 및 예제

• 일부 집합 A에 대해 d(A)가 존재하고 A가^c $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 해당 보완 세트를 나타내는 경우 d(A^c) = 1 - d(A)이다.
  • $:$ $d{\displaystyle }$( N${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle$ d$(\mathb {N} )=1$.$}$

• ${\displaystyle d}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$, d${\displaystyle }$( B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle d(A),d(B),}$ 및$$ $d{\displaystyle (A}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle B}$) {\$displaystyle d(A\cup B)}$이(가) 있는$$ 경우

$\\max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}}$

• 양의 정수의 유한 집합 F에 대해 d(F) = 0.

• $A{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ A$=\{n^{2}:n\in \mathb{N} \}}}$이(가) 모든$$ 제곱의 집합이면 d(A) = 0이다.

• $A{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ A$=\{2n:n\in \mathb$ {$N} \}}}}$이(가) 모든 짝수 집합이면 d(A) = 0.5이다.마찬가지로 모든 산술적 진행 $A{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle n}$+ b${\displaystyle }$: n${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ A$=\{an+b:$${\displaystyle n}$$\in \mathb{N}\}}}}$ d$$ (${\displaystyle }A{\displaystyle }$) =${\displaystyle }$1 ${\displaystyle \frac{a}{}.}$ ${\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.$$}$

• 모든 프리타임의 설정된 P에 대해 d(P) = 0인 프라임 수 정리로부터 얻는다.

• The set of all square-free integers has density ${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}$ More generally, the set of all n^th-power-free numbers for any natural n has density ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},}$ where ${\displaystyle \zeta (n)}$ is the Riemann zeta function.

• 풍부한 수의 집합은 0이 아닌 밀도를 가지고 있다.^[3]마크 델레글리스는 1998년에 풍부한 숫자의 집합의 밀도가 0.2474에서 0.2480 사이라는 것을 보여주었다.^[4]

• 세트

${\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infit }\왼쪽\{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1\right\}}}}}$

이항 확장에 홀수 자릿수가 포함된 숫자의 수가 이 집합의 상위 밀도는 점증적 밀도가 없는 집합의 예로서, 이 집합의 상위 밀도는 다음과 같기 때문이다.

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}}={\frac{2}{3},}$

반면에 그것의 낮은 밀도는

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}}={\frac{1}{3}}.}$

• 소수점 확장이 1로 시작하는 숫자의 집합은 비슷하게 자연 밀도가 없다: 낮은 밀도는 1/9이고 높은 밀도는 5/9이다.^[1] (벤포드 법칙 참조)

• Consider an equidistributed sequence ${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle [0,1]}$ and define a monotone family ${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$ of sets:

${\displaystyle A_{x}:=\\{n\in \mathb {N} :\alpha _{n}<x\}.}$

그런 다음 정의에 따라${\displaystyle }d{\displaystyle }$( $A{\displaystyle }$x ) = $모든$ x {\$displaystyle$$(A_{x})=x$$\}.$

• S가 양의 상위 밀도의 집합인 경우, Szemerédi의 정리는 S가 임의로 큰 유한한 산술 진도를 포함하고 있다고 명시하고, Furstenberg–Sarrközy 정리에서는 S의 일부 두 멤버가 제곱수에 의해 다르다고 기술하고 있다.

기타 밀도함수

자연수의 하위 집합에 대한 다른 밀도 함수는 유사하게 정의될 수 있다.예를 들어, 집합 A의 로그 밀도는 한계로 정의된다(있는 경우).

${\displaystyle \mathbf {\delta }=\lim _{x\오른쪽 화살표 \inflat }{1}{\frac {1}{\log x}\sum _{n\in A,n\leq x}{1}\frac {1}{n}\}\}\}}}$

상부와 하부의 로그 밀도 또한 유사하게 정의된다.

정수 시퀀스의 배수 집합에 대해, Davenport-Erdds 정리는 자연 밀도가 존재할 때, 로그 밀도와 동일하다고 명시한다.^[5]

메모들

참고 항목

• 디리클레 밀도

참조

• Nathanson, Melvyn B. (2000). Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 195. Springer-Verlag. ISBN 978-0387989129. Zbl 0953.11002.
• Niven, Ivan (1951). "The asymptotic density of sequences". Bulletin of the American Mathematical Society. 57 (6): 420–434. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9. MR 0044561. Zbl 0044.03603.
• Steuding, Jörn (2002). "Probabilistic number theory" (PDF). Archived from the original (PDF) on December 22, 2011. Retrieved 2014-11-16.
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press. Zbl 0831.11001.

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