대원

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구체의 거대한 원은, 정면으로도 알려져 있는데, 구체의 중심점을 통과하는 평면과 구의 교차점이다.큰 원은 주어진 구에 그릴 수 있는 가장 큰 원이다.모든 대원의 지름은 구의 지름과 일치하며, 따라서 모든 대원은 서로 같은 중심과 둘레를 가지고 있습니다.구체의 원의 이 특별한 경우는 작은 원, 즉 구체의 교차점과 중심을 통과하지 않는 평면에 반대되는 것입니다.유클리드 3공간의 모든 원은 정확히 하나의 구의 거대한 원이다.

구의 표면에 있는 뚜렷한 점의 대부분의 쌍에 대해 두 점을 통과하는 고유한 큰 원이 있습니다.예외는 한 쌍의 대척점이며, 대원에는 무한히 많은 원이 있습니다.두 점 사이의 큰 원의 작은 호가 두 점 사이의 최단 표면 경로입니다.이런 의미에서, 작은 호는 유클리드 기하학의 "직선"과 유사하다.대원의 소호 길이는 리만 기하학에서 이러한 대원이 리만 원이라고 불리는 구면상의 두 점 사이의 거리로 간주됩니다.이 거대한 원들이 구의 측지학입니다.

큰 원으로 둘러싸인 원반을 대원반이라고 한다: 그것은 공과 그 중심을 통과하는 평면의 교차점이다.고차원에서, n-sphere의 대원은 유클리드 공간^{n + 1} R에서 원점을 통과하는 2-평면과 n-sphere의 교차점이다.

최단 경로 도출

대원의 작은 호가 구면상의 두 점을 연결하는 최단 경로임을 증명하기 위해 변분법을 적용할 수 있다.

p$지점$에서 다른 지점 $지점$까지 모든 정규 경로의 클래스를 고려합니다$.$ p {\$displaystyle$$$p$}$가 $북극$과 일치하도록 구면 좌표를 도입합니다.끝점을 제외하고 어느 극과 교차하지 않는 구상의 곡선은 다음과 같이 매개 변수를 지정할 수 있습니다.

$\displaystyle \theta =\theta (t),\display \phi =\phi (t),\display a\leq t\leq b}$

$§(\displaystyle$\phi$)$가 임의의 실제 값을 취할 수 있도록 합니다.이 좌표들의 극소 호 길이는

${{displaystyle ds=rdisplayrt {theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }},dt.}$

따라서 p$${\$displaystyle$$p$$}$에서$q$ {\$displaystyle$q$$$}$까지의 곡선$길이$는 다음과 같이 주어진 곡선의 함수입니다.

${\displaystyle S[\gamma]=r\int _{a}^{b}{\snrt {theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }},dt.}$

오일러-라그랑주 방정식에 따르면${\displaystyle ,}$ S [ $]$ \$displaystyle$S[\$gamma ]$는 $다음$과 같은 경우에만 최소화된다.

${\displaystyle \frac{{sin\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}}}{}}$ $2$+${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{\sin }^{}{}^{}{}^{}}}{}}$ 2 $=$ {\displaystyle${\frac {{sin$^{$2}\$theta \$phi '}{\theta '^{2}+\phi '^{2$}\$sin ^{2$}\$theta$ $\}\},$

$여기$서 C$(\displaystyle$ C$)$는 t$(\displaystyle$ t$)$ $독립$ 상수입니다.

$({displaystyle {\frac {\theta \cos \phi '^{2}+\phi ^{2}\sin ^{2}\sin }} = frac {d}{\frac {d} {\t {ta '^2+phi ^2} ^2} {\sin} {\frt} )}$

이 둘의 첫 번째 방정식으로부터 다음과 같은 것을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {}^{}=}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ $=$ C ${\displaystyle \frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}{}}$ sin${\displaystyle \frac{}{}}$⁡ sin${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}}}{}}$、 Sin 2$display$ - C ${\displaystyle \frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}{}}$ $display$ \$theta$}{\sin \$theta {\sin rt ^{2}\theta$ -$C^{$2$\}\}\}\}\}.$

양쪽을 통합하고 경계조건을 고려할 때 C$\displaystyle$C의 실제$$ $솔루션$은 0입니다.따라서 $\varphi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle 0}${ $displaystyle$ \$phi$ ' =$0$$$}$$및$$$0{\displaystyle }$ { \ $displaystyle$ $\theta$$}$은 0 ~ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0 $사이$의 값이 될 수 있으며 곡선이 구의 자오선에 있어야 함을 나타냅니다.데카르트 좌표에서 이것은

${\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

원점, 즉 구의 중심을 통과하는 평면입니다.

적용들

천구상의 대원의 예로는 천지평선, 천적도, 황도 등이 있다.대원은 또한 구면 천체뿐만 아니라 공중 또는 해상 항해를 위한 지구 표면의 측지학 근사치(완벽한 구는 아니지만)로도 사용됩니다.

이상화된 지구의 적도는 큰 원이고 자오선과 반대 자오선은 큰 원을 이룬다.또 다른 큰 원은 육지와 물의 반구를 나누는 원이다.거대한 원은 지구를 두 개의 반구로 나누고 만약 큰 원이 한 지점을 통과한다면 그것은 그것의 대척점을 통과해야 한다.

Funk 변환은 구의 모든 거대한 원을 따라 기능을 통합합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 작은 원
• 구체의 원
• 대원 거리
• 대원형 내비게이션
• 큰 타원
• 마름모꼴 선

외부 링크

• Great Circle – MathWorld Great Circle 설명, 수치 및 방정식.매스월드, 울프램 리서치, 주식회사 c19
• John Snyder의 Mercator's Chart의 Great Circles on Mercator's Chart와 Jeff Bryant, Pratik Desai 및 Carl Woll, Wolfram 데모 프로젝트의 추가 기여.
• 네비게이션 알고리즘 페이퍼:세일링스.
• 차트 작업 - 내비게이션 알고리즘 차트 작업 무료 소프트웨어:램 선, 그레이트 서클, 복합 항해, 자오선 부품.위치 선 조종 - 조류 및 해안 고정.