스콜렘의 역설

Skolem's paradox

수학논리와 철학에서 스콜렘의 역설은 아래로 내려가는 뢰웬하임-스콜렘 정리에서 생기는 겉보기 모순이다.소랄프 스콜렘(1922년)은 정리의 겉으로 보기에 모순되는 측면들을 처음으로 논하고, 현재 비아보텐성으로 알려진 세트이론적 개념의 상대성을 발견한 것이다.러셀의 역설과 같은 실제적인 반절제술은 아니지만, 그 결과는 전형적으로 역설이라고 불리며 스콜렘(1922: p. 295)에 의해 "극독성 상태"로 묘사되었다.null

스콜렘의 역설은 1차 논리에서의 세트 이론의 모든 계산 가능한 공리화가 일관성이 있다면, 셀 수 있는 모델을 가지고 있다는 것이다.이는 이와 같은 공리로부터 (혹은 이론의 표준모델에서 정확하게 말해주는) 셈할 수 없는 집합이 존재한다는 것을 직관적으로 증명할 수 있기 때문에 모순적으로 보인다.따라서 겉으로 보이는 모순은 그 자체가 셀 수 있고 따라서 셀 수 있는 집합만을 포함하는 모델은 "할 수 없는 집합이 있다"고 직관적으로 말하는 1차 문장을 만족시킨다는 것이다.null

수학에서 모순이 아님을 보여주는 역설의 수학적인 설명은 스콜렘(1922)이 했다.스콜렘의 작품은 에른스트 제르멜로에게 혹독하게 받아들여졌고, 에른스트 제르멜로는 1차 논리학의 한계에 반론을 펼쳤지만, 그 결과는 순식간에 수학계의 인정을 받게 되었다.null

스콜렘의 역설의 철학적인 의미는 많은 연구를 받았다.한 줄의 조사에서는 어떤 1차 선고문에도 실제로 "할 수 없는 세트가 있다"고 명시되어 있다고 주장하는 것이 정확한지 의문을 제기한다.이 사상의 행은 절대적 의미에서는 그 어떤 집합도 헤아릴 수 없는 것인지에 대해 의문을 제기할 수 있다.더 최근에는 힐러리 푸트남의 논문 '모델과 현실'과 그에 대한 반응이 스콜렘의 결과물 철학적 측면에 대한 새로운 관심을 불러일으켰다.null

배경

게오르크 칸토르가 1874년에 발표한 세트 이론의 초기 결과 중 하나는 자연수의 파워셋, 실수의 집합, 칸토어 집합과 같은 셀 수 없는 집합의 존재였다.무한세트 X는 X와 자연수 사이에 일대일 대응성을 부여하는 기능이 있으면 카운트할 수 있고, 그러한 대응 기능이 없으면 카운트할 수 없다.1908년 제르멜로가 세트 이론에 대한 공리를 제안했을 때, 그는 그들로부터 칸토르의 정리를 증명하여 그들의 힘을 증명했다.null

뢰웬하임(1915년)과 스콜렘(1920년, 1923년)은 뢰웬하임-스콜렘 정리를 증명했다.이 정리의 하향 형태는 계수 가능한 1차 공리화가 어떤 무한 구조로 만족된다면, 같은 공리들이 어떤 계산 가능한 구조로 만족된다는 것을 보여준다.특히 이는 제르멜로의 1차 버전의 세트 이론 공리가 만족스럽다면 어떤 계산 가능한 모델에서는 만족스럽다는 것을 암시한다.집합 이론의 일관된 1차 공리화에도 마찬가지다.null

역설적인 결과와 그 수학적 함의

스콜렘(1922년)은 셀멜로의 공리에는 헤아릴 수 없는 모형이 있다는 것을 암시하는 뢰웬하임-스콜렘의 정리와 셀멜로의 공리로부터 증명할 수 있는 칸토르의 정리 사이에 겉으로 보이는 모순을 지적했다.스콜렘은 "내가 아는 한 아무도 이 독특하고 명백히 역설적인 상황에 주의를 환기시키지 않았다"고 썼다.공리 덕분에 우리는 더 높은 추기경의 존재를 증명할 수 있다...그렇다면 전체 도메인 B[제르멜로의 공리의 계수 가능한 모델]가 유한한 양의 정수를 통해 이미 열거될 수 있다는 것이 어떻게 그럴 수 있겠는가?(Skolem 1922, 페이지 295, Bauer-Mengelberg의 번역).null

구체적으로는 B를 저멜로의 공리의 헤아릴 수 있는 모델이 되게 한다.그러면 B에 1차 공식을 만족시키는 세트 u가 있는데, 그 공식을 "U는 셀 수 없다"고 한다.예를 들어, 당신은 B의 실수의 집합으로 간주될 수 있다.이제 B는 셀 수 있기 때문에, B에 따른 c ∈ u와 같은 요소들이 셀 수 없이 많을 뿐인데, 왜냐하면 B에는 처음부터 셀 수 없이 많은 요소들이 있기 때문이다.그러므로 너는 셀 수 있어야 할 것 같다.이것이 스콜렘의 역설이다.null

스콜렘은 왜 모순이 없었는지 설명을 계속했다.집합 이론의 특정 모델의 맥락에서, 용어 "set"은 임의의 집합을 지칭하는 것이 아니라, 모델에 실제로 포함된 집합만을 가리킨다.countability의 정의는 그 자체가 하나의 집합인 특정한 일대일 서신이 존재해야 한다는 것을 요구한다.따라서 특정 집합 u는 계수할 수 있지만 집합 이론의 특정 모델에서는 계수할 수 없다는 것을 인식하는 것이 가능하다. 왜냐하면 모델에는 u와 그 모델의 자연수 사이에 일대일 일치성을 제공하는 세트가 없기 때문이다.null

모델에 대한 해석에서 이 세트에 대한 우리의 전통적인 개념으로, 이것은 비록 여러분이 셀 수 없는 세트에 매핑되지만, 모델에 상응하는 요소가 없는 u라는 우리의 직관적인 개념에는 많은 요소들이 있다는 것을 의미한다.그러나 이러한 원소의 부재를 1차 논리로는 관측할 수 없기 때문에 모델은 일관성이 있다.네가 진짜라면, 이 없어진 요소들은 정의하기 어려운 숫자에 해당할 것이다.null

스콜렘은 이러한 상황의 상태를 설명하기 위해 "상대적"이라는 용어를 사용했는데, 여기서 동일한 세트가 세트 이론의 두 가지 모델에 포함되고, 한 모델에서는 카운트할 수 있고 다른 모델에서는 카운트할 수 없다.그는 이것을 자신의 논문에서 "가장 중요한" 결과라고 묘사했다.현대의 세트 이론가들은 전이 모델의 선택에 의존하지 않는 개념을 절대적이라고 설명한다.그들의 관점에서 볼 때 스콜렘의 역설은 단순히 계산가능성이 1차 논리학에서 절대적인 속성이 아니라는 것을 보여준다. (쿠넨 1980 페이지 141; Enderton 2001 페이지 152; 버지스 1977 페이지 406)null

스콜렘은 자신의 작품을 (선순) 세트 이론에 대한 비평으로 설명했는데, 이는 기초 체계로서의 약점을 설명하기 위한 것이었다.null

그는 "세트 면에서의 공리화가 수학의 만족스러운 궁극적 토대가 아니라는 사실이 너무나 분명해 수학자들은 대부분 크게 신경 쓰지 않을 것"이라고 말했다.그러나 근래에 나는 놀랍게도 많은 수학자들이 이러한 세트 이론의 공리가 수학에 이상적인 토대를 제공한다고 생각하는 것을 보았다. 따라서 내게는 비평할 때가 온 것 같았다.(에빙하우스와 판 달렌, 2000년, 페이지 147).

수학계의 접대신

세트 이론에 대한 초기 연구의 중심 목표는 범주형인 세트 이론에 대한 1차 공리를 찾는 것이었다. 즉, 공리는 모든 세트로 구성되는 정확히 하나의 모델을 가질 것이라는 것을 의미한다.스콜렘의 결과는 이것이 불가능하다는 것을 보여주었고, 수학의 기초로서 세트 이론을 사용하는 것에 대한 의구심을 불러일으켰다.수학자들이 스콜렘의 결과의 원인을 이해할 수 있을 만큼 1차 논리 이론이 발전하는 데는 어느 정도의 시간이 필요했다; 역설의 해결은 1920년대에 널리 받아들여지지 않았다.프라운켈(1928년)은 여전히 그 결과를 항염증이라고 표현했다.

"아직도 그 책들이 반제술에 대해 종결되지 않았고, 그 중요성과 가능한 해결책에 대한 합의도 아직 이루어지지 않았다."(반 달렌과 에빙하우스, 2000, 페이지 147).

1925년 폰 노이만은 NBG 세트 이론으로 발전한 세트 이론의 새로운 공리화를 제시했다.스콜렘의 1922년 논문을 매우 잘 알고 있는 폰 노이만은 그의 공리의 헤아릴 수 있는 모델을 자세히 조사했다.폰 노이만은 마무리 발언에서 세트 이론의 범주형 공리화, 또는 무한 모델을 가진 다른 이론은 없다고 언급한다.그는 스콜렘의 역설의 영향에 대해 다음과 같이 썼다.

"현재 우리는 여기에 세트 이론에 대한 유보적인 태도를 취할 이유가 하나 더 있으며 당분간 이 이론을 재생시킬 방법이 알려져 있지 않다는 것을 주목해야 한다."(에빙하우스와 판 달렌, 2000, 페이지 148).

제르멜로는 처음에 스콜렘 역설(van Dalen and Ebbinghaus, 2000년, 페이지 148 ff.)을 장난으로 간주하고 1929년부터 이에 반대하는 발언을 했다.스콜렘의 결과는 현재 1차적 논리라고 불리는 것에만 적용되지만, 제르멜로는 1차적 논리(Kamanori 2004, 페이지 519 ff.)의 기초가 되는 미세한 변성술에 반대한다고 주장했다.제르멜로는 스콜렘의 결과가 적용되지 않는 설정인 2차 논리로 자신의 공리를 연구해야 한다고 주장했다.제르멜로는 1930년에 2차 공리화를 발표했고, 그 맥락에서 몇 가지 분류 결과를 증명했다.스콜렘의 논문 이후 제르멜로의 세트 이론의 기초에 대한 추가 연구는 그가 축적된 계층 구조와 비위생적 논리의 공식화를 발견하게 했다(반 달렌과 에빙하우스, 2000년, 주석 11).null

프라엔켈 외 연구진(1973, 페이지 303–304)은 왜 스콜렘의 결과가 1920년대 이론가들에게 그렇게 놀라운지 설명한다.괴델의 완전성 정리, 콤팩트성 정리는 1929년이 되어서야 증명되었다.이러한 이론들은 비록 괴델의 완전성 정리에 대한 원래 증거는 복잡했지만, 1차적 논리가 작용하는 방식을 조명하고 그 미세한 성격을 확립했다.이제 일관된 1차 이론의 계수 가능한 모델을 구성하는 표준 기법이 된 레온 헨킨의 완전성 정리에 대한 대안적인 증거는 1947년에야 제시되었다.따라서 1922년 스콜렘의 역설로 인해 스콜렘의 역설이 통과될 수 있는 1차 논리학의 구체적인 성질은 아직 파악되지 않았다.이제 스콜렘의 역설은 1차 논리학 특유의 것으로 알려져 있는데, 완전한 의미론을 가진 고차 논리로 세트 이론을 연구하면, 그 의미론들이 사용되고 있기 때문에, 셀 수 있는 모델을 가지고 있지 않다.null

현재 수학적 의견

현재의 수학 논리학자들은 스콜렘의 역설은 세트 이론의 어떤 치명적인 결함으로 보지 않는다.클레네(1967년, 페이지 324년)는 그 결과를 "전면적인 모순의 의미에서 역설적인 것이 아니라 오히려 일종의 변칙적인 것"이라고 설명한다.클레네는 결과가 모순되지 않는다는 스콜렘의 주장을 조사한 후 다음과 같이 결론짓는다."countability에 대한 절대적인 개념은 없다".헌터(1971년, 페이지 208년)는 그 모순을 "엄청나게도 역설"이라고 설명한다.프라엔켈 외 연구진(1973, 페이지 304)은 현대 수학자들이 일관되고 효과적이며 충분히 강한 1차 공리 집합이 완성되지 않은 괴델의 불완전성 정리의 결론에 괴로워하는 것 이상으로 1차 이론의 분류성이 결여되어 있지 않다고 설명한다.null

ZF의 셀 수 있는 모델은 집합 이론 연구에서 일반적인 도구가 되었다.예를 들어 강제성은 종종 계산 가능한 모델의 관점에서 설명된다.이러한 ZF의 계수 가능한 모델들이 여전히 셀 수 없는 세트가 있다는 정리를 만족시킨다는 사실은 병리학으로 간주되지 않는다; 판 헤이제노르트(1967)는 그것을 "정식 시스템의 새롭고 예기치 않은 특징"(van Heijenoort 1967, 페이지 290)으로 묘사한다.null

참조

외부 링크