데데킨드 컷

데데킨드는 자신의 컷을 사용하여 비이성적이고 실제적인 숫자를 구성했다.

수학에서 독일의 수학자 리처드 데데킨드의 이름을 따서 지었지만 이전에 조셉 버트랜드가 고려했던 데데킨드 컷은 합리적인 숫자에서 실제 숫자를 구성하는 β 방법이다.^[1]^[2] 데데킨드 컷은 합리적인 숫자를 A와 B의 두 세트로 나눈 칸막이로서, A의 모든 요소가 B의 모든 요소보다 작으며, A는 가장 큰 요소를 포함하지 않는다. 세트 B는 이성들 중에서 가장 작은 요소를 가질 수도 있고 아닐 수도 있다. B가 이성들 중에서 가장 작은 원소를 가지고 있다면, 그 절단은 그 이성적 원소에 해당한다. 그렇지 않으면, 그 컷은 느슨하게 말하면 A와 B 사이의 "갭"을 메우는 독특한 불합리한 숫자를 정의한다.^[3] 즉 A는 절단보다 적은 모든 합리적 수를 포함하고, B는 절단보다 크거나 같은 모든 합리적 수를 포함하고 있다. 비이성적인 컷은 어느 세트에도 없는 비이성적인 컷을 의미한다. 모든 실수는 이성적이든 아니든 이성적이든 한 컷에 불과하다.^[3]

데데킨드 컷은 A가 아래쪽으로 닫히고 B가 위로 닫히는 것을 의미하며, A는 가장 큰 요소를 포함하지 않으며, A는 가장 큰 요소를 포함하지 않는 두 부분으로 완전히 정렬된 디데킨드 컷을 정의함으로써 합리적인 수에서 완전히 정렬된 세트로 일반화할 수 있다. 완전성(순서 이론)도 참조하십시오.

실제 숫자 중 데데킨드 컷이 합리적인 숫자 중 해당 컷에 의해 고유하게 정의된다는 것을 보여주는 것은 간단하다. 이와 유사하게, 실물의 모든 절단은 특정 실수에 의해 생성된 절단과 동일하다(B 세트의 가장 작은 원소로 식별할 수 있다). 즉, 모든 실수를 데데킨드의 이성 자르기로 정의한 숫자 선은 더 이상의 공백이 없는 완전한 연속체라는 것이다.

정의

디데킨드 컷은 $\mathbb {Q}$ Q $\mathbb {Q}$ {\ $displaystyle \mathb {Q}$ 을(를) 두 하위 $집합$ A{\ $displaystyle$ A}과 $A$ B{\ $displaystyle$ B}로 $\mathbb {Q}$ 분할하여 다음과 같이 한다 $B$ .

$A$ $A$ 은 $A$ (는) 비어 있지 않다.
$A\neq \mathbb {Q}$ $A\neq \mathbb {Q}$ ${\$
$x,y\in \mathbb {Q}$ , $x,y\in \mathbb {Q}$ $x,y\in \mathbb {Q}$ $x,y\in \mathbb {Q}$ ${\$ $x<y$ < $x<y$ ${\displaystyle$ $x<y$ $x<y$ $y\in A$ $y\in A$ $y\in A$ ${\displaystyle$ x $\in A},$ $x\in A$ $x\in A$ $x\in A$ ${\$ $displaystystyle$ x\in A $}.$ ( $A$ 는"닫힘 $A$ ").
$x\in A$ $x\in A$ $x\in A$ ${\displaystyle x\in A$ 인 경우, $y>x$ > $y>x$ {\ $displaystyle y>x$ 과 $y\in A$ $y\in A$ y $y\in A$ a A $y\in A$ {\ $displaystyle y\}이($ $가$ ) 존재한다.(A ${\displaystystyle A}$ 는 가장 큰 요소를 포함하지 $A$ 않는다).

처음 두 가지 요건을 완화함으로써, 우리는 공식적으로 연장된 실수선을 얻는다.

표현

데데킨드 컷에 (A, B) 표기법을 사용하는 것이 더 대칭적이지만, A와 B 각각이 다른 것을 결정한다. 더 이상 "반" 즉, 낮은 것에 집중하여 가장 큰 요소가 없는 하향 마감된 집합 A를 "Dedekind cut"이라고 부르는 것은 표기법의 측면에서 단순화할 수 있다.

순서 집합 S가 완료되면, S의 모든 데데킨드 컷(A, B)에 대해 세트 B는 최소 요소 b를 가져야 하며, 따라서 우리는 A가 구간(-ㄴ, b)이고, B가 구간[b, +ㄴ]이라는 것을 가져야 한다. 이 경우, 우리는 b가 절단(A, B)으로 표현된다고 말한다.

데데킨드 컷의 중요한 목적은 완성되지 않은 숫자 세트로 작업하는 것이다. 절단 자체는 원래 숫자의 집합에 없는 숫자(대부분 합리적인 숫자)를 나타낼 수 있다. 두 세트 A와 B에 포함된 숫자들이 실제로 그들의 컷이 나타내는 숫자 b를 포함하지 않더라도 컷은 숫자 b를 나타낼 수 있다.

예를 들어, A와 B가 합리적 숫자만 포함하는 경우, 제곱이 2보다 작은 모든 음수가 아닌 모든 숫자와 함께 A에 모든 음의 합리적 숫자를 넣어 √2로 절단할 수 있다. 마찬가지로 B는 제곱이 2보다 크거나 같은 모든 양의 합리적 숫자를 포함할 수 있다. √2에 대한 합리적 값이 없음에도 불구하고, 합리적인 숫자를 A와 B로 이렇게 분할하면, 분할 자체가 불합리한 숫자를 나타낸다.

절단 순서

A가 C의 적절한 부분 집합인 경우 하나의 데데킨드 컷(A, B)을 다른 데데킨드 컷(C, D)보다 작은 것으로 간주한다. 동등하게, D가 B의 적절한 부분 집합인 경우, 절단(A, B)은 다시 (C, D)보다 작다. 이러한 방식으로, 정해진 포함은 숫자의 순서를 나타내기 위해 사용될 수 있으며, 다른 모든 관계(보다 크거나 작거나 같거나 같거나 같거나 등)는 설정된 관계로부터 유사하게 만들어질 수 있다.

모든 데데킨드 컷의 집합은 그 자체로 선형적으로 정렬된 집합이다. 게다가, 디데킨드 컷의 집합은 가장 낮은 경계 특성을 가지고 있다. 즉, 상한선을 가진 모든 비빈 부분집합은 최소 상한선을 가진다. 따라서 데데킨드 컷 세트를 구성하는 것은 이 유용한 속성을 가지고 있는 (대개 더 큰) 선형 순서 집합 안에 최소 상한 속성을 가지지 않았을 수도 있는 원래 순서 집합 S를 내장하는 목적을 제공한다.

실수의 구성

합리적인 숫자 $\mathbb {Q}$ ${\$ 의 전형적인 $\mathbb {Q}$ 디데킨드 컷은 다음 파티션 $(A,B)$ , $(A,B)$ ) $(A,B)$ 에 의해 $(A,B)$ 주어진다 $\mathbb {Q}$ .

A=\{a\in \mathb {Q} :a^{2}<2\text{ 또는 }a<0\}}

B=\{b\in \mathb {Q} :b^{2}\geq 2{\text{ 및 }b\geq 0\}

^[4]

이 절단은 데데킨드의 건설에서 비합리적인 숫자 √2를 나타낸다. 본질적인 생각은 정사각형이 2보다 작은 모든 합리적인 숫자의 $A$ 인 A ${\displaystyle A$ 을 사용하여 숫자 "2를 "표현"하고 나아가 이들 집합(추가, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)에 대한 산술 연산자를 적절히 정의함으로써 이들 집합(이 산술 연산들과 함께) f를 사용한다는 것이다.친숙한 실제 수치를 말하라.

이를 설정하려면 A $A$ 이 $A$ (가) 정말로 절단(정의에 따라)이며 $A$ $A\times A$ $A\times A$ ${\$ $displaystyle A}$ 의 제곱은 $A\times A$ × A {\ $displaystyle A\times A}($ 커플의 곱셈이 정의되는 정확한 정의는 위의 링크를 참조하십시오)이 2{\ $displaystytyle$ 2 $($ 참고). 엄격히 말하면 이 숫자 2는 잘라낸 $\{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}$ { $\{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}$ $\{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}$ Q $\{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}$ , $\{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}$ < $\{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}$ } ${\displaystyle$ \{ $x\\ \in \mathb {Q} ,x<2\}}}$ 로 표현된다. $\{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}$ 첫 번째 부분을 표시하기 위해, $x^{2}<2$ < $>[\displaystyle$ x $^{2}<2}]$ 가 $x$ 있는 모든 양의 $합리적$ $x$ ${\displaystyle$ $x$ $^{2$ }에 대해 $x^{2}<2$ $x<y$ < $x<y$ < ${\displaystyle$ x $<y}>$ 와 $x<y$ y < $>$ <\ $displaystyle y^{2$ 가 $y$ 있는 합리적인 y ${\displaystysty$ }이 있음을 보여준다 $.$ $y={\frac {2x+2}{x+2}}$ = $y={\frac {2x+2}{x+2}}$ $y={\frac {2x+2}{x+2}}$ + $y={\frac {2x+2}{x+2}}$ x $y={\frac {2x+2}{x+2}}$ + $y={\frac {2x+2}{x+2}}$ ${\$ y $={\frac {2x+2}{x+2}}:}$ 선택 y = 2 x + 2 + {\displaystyle A}이(가) 작동하므로 $y={\frac {2x+2}{x+2}}$ $A$ ${\displaystysty$ A $}$ 은(는) 정말로 컷인 것이다 $A$ . Now armed with the multiplication between cuts, it is easy to check that $A\times A\leq 2$ (essentially, this is because $x\times y\leq 2,\forall x,y\in A,x,y\geq 0$ ). 따라서 A×A=2{\displaystyle A\times A=2}을 보여 주기 위해, 우리는 A×A≥ 2{\displaystyle A\times A\geq 2}이고 모든 r<>에이라는 것을 보여 주는 충분;2{\displaystyle r<2},)존재하 ∈하며}. 이를 위해 우리가 만약 x 을 표면적 x2을 한{\displaystyle x\in},;r{\displaystyle x^{2}&gt을 보여 준다.;0,2−)그는 y{이\displaystyle}건설되면, 상기 2)ϵ>0{\displaystyle x>, 0,2-x^{2}=\epsilon<>를 사용하여 0}일 경우, 2−는 y2≤ ϵ 2{\displaystyle 2-y^{2}\leq{\frac{\epsilon}{2}}}, 이것은 우리가 광장이 될 수 있다 자의적으로 가까운 2{2\displaystyle}, 현에 대한{A\displaystyle}에 순서가 있다는 것을 의미한다.ch을 끝내증거에 따르다

√2는 합리적이지 않기 때문에 $b 2$ = $2$ 는 지탱할 수 없다는 점에 유의한다.

일반화

임의의 선형 순서 집합

는 임의의 선형적으로 주문한 설정 X의 일반적인 경우 감면은 한쌍(A, B){\displaystyle(A, B)}그런 A∪ B)X{A\cup B=X\displaystyle}과 ∈{\displaystyle a\in}, b∈ B가<>b{\displaystyle a<, b}을 의미하{\displaystyle b\in B}. 어떤 저자들 A와 B둘 다의 요건을 추가한다.nonem피티^[5]

A가 최대값도 없고 B가 최소값도 없으면 절단을 갭이라고 한다. 순서 위상이 부여된 선형 순서 집합은 간격이 없는 경우에만 소형이다.^[6]

초현실수

데데킨드 컷과 유사한 구조는 초현실적인 숫자의 (많은 가능한 것 중 하나) 구조에 사용된다. 이 경우에 관련된 개념은 스페인 수학자 노르베르토 쿠에스타 두타리의 이름을 ^[7]딴 쿠에스타-두타리 컷이다.

부분적으로 정렬된 세트

보다 일반적으로 S가 부분적으로 주문된 집합인 경우, S의 완료는 L에 S가 주문 내장되어 있는 완전한 격자 L을 의미한다. 완전 격자 개념은 부동산의 가장 덜 상한 속성을 일반화한다.

S의 한 가지 완료는 아래로 닫힌 하위 집합의 집합이며, 포함에 의해 명령된다. S의 모든 기존 supp 및 inf를 보존하는 관련 완성은 다음 공사에 의해 얻는다. S의 각 부분 집합 A에 대해 A가^u A의 상한을 나타내고 A가^l A의 하한 집합을 나타내도록 한다(이 연산자들은 Galois 연결을 형성한다). 그런 다음, S의 데데킨드-맥닐 완성은 (A^u)^l = A인 모든 하위 집합 A로 구성되며, 포함에 의해 주문된다. 데데킨드-맥닐 완성은 S가 내장된 가장 작은 완전 격자다.

메모들

^ Bertrand, Joseph (1849). Traité d'Arithmétique. page 203. An incommensurable number can be defined only by indicating how the magnitude it expresses can be formed by means of unity. In what follows, we suppose that this definition consists of indicating which are the commensurable numbers smaller or larger than it ....
^ Spalt, Detlef (2019). Eine kurze Geschichte der Analysis. Springer. doi:10.1007/978-3-662-57816-2. ISBN 978-3-662-57815-5.
^ ^a ^b Dedekind, Richard (1872). Continuity and Irrational Numbers (PDF). Section IV. Whenever, then, we have to do with a cut produced by no rational number, we create a new irrational number, which we regard as completely defined by this cut ... . From now on, therefore, to every definite cut there corresponds a definite rational or irrational number ....
^ 두 번째 줄에서는 $\mathbb {Q}$ ${\$ 에 $x^{2}=2$ = $x^{2}=2$ {\ $displaystyle$ x $^{2}=2$ 에 대한 해결책이 없기 때문에 아무런 차이 없이 $>$ $\geq$ $>$ ${\displaystyle$ \ $geq}$ 을(를)로 바꿀 수 있으며 $\geq$ , $b=0$ = $b=0$ ${\displaystylease b=0}$ 은 이미 첫 번째 조건으로 금지되어 있다 $b=0$ . 이 경우 등가 식이 생성된다.
$B=\{b\in \mathb {Q} :b^{2}>2{\text{ 및 }}$
^ R. 엥겔킹, 일반 위상, I.3
^ J.-L. 나가타 현대 일반 토폴로지, 정리 8.2. 사실, 그 정리는 일반화된 순서 공간의 설정을 가지고 있지만, 이 보다 일반적인 설정에서는 사이비 캅스를 고려해야 한다.
^ Alling, Norman L. (1987). Foundations of Analysis over Surreal Number Fields. Mathematics Studies 141. North-Holland. ISBN 0-444-70226-1.

참조

디데킨드, 리처드, 숫자 이론 에세이, "지속성과 불합리한 숫자" 도버 출판물: 뉴욕, ISBN 0-486-21010-3 프로젝트 구텐베르크에서도 이용할 수 있다.

외부 링크

"Dedekind cut", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Bertrand, Joseph (1849). Traité d'Arithmétique. page 203. An incommensurable number can be defined only by indicating how the magnitude it expresses can be formed by means of unity. In what follows, we suppose that this definition consists of indicating which are the commensurable numbers smaller or larger than it ....

[2] Spalt, Detlef (2019). Eine kurze Geschichte der Analysis. Springer. doi:10.1007/978-3-662-57816-2. ISBN 978-3-662-57815-5.

[:0-3] Dedekind, Richard (1872). Continuity and Irrational Numbers (PDF). Section IV. Whenever, then, we have to do with a cut produced by no rational number, we create a new irrational number, which we regard as completely defined by this cut ... . From now on, therefore, to every definite cut there corresponds a definite rational or irrational number ....

[4] 두 번째 줄에서는 $\mathbb {Q}$ ${\$ 에 $x^{2}=2$ = $x^{2}=2$ {\ $displaystyle$ x $^{2}=2$ 에 대한 해결책이 없기 때문에 아무런 차이 없이 $>$ $\geq$ $>$ ${\displaystyle$ \ $geq}$ 을(를)로 바꿀 수 있으며 $\geq$ , $b=0$ = $b=0$ ${\displaystylease b=0}$ 은 이미 첫 번째 조건으로 금지되어 있다 $b=0$ . 이 경우 등가 식이 생성된다.
$B=\{b\in \mathb {Q} :b^{2}>2{\text{ 및 }}$

[5] R. 엥겔킹, 일반 위상, I.3

[6] J.-L. 나가타 현대 일반 토폴로지, 정리 8.2. 사실, 그 정리는 일반화된 순서 공간의 설정을 가지고 있지만, 이 보다 일반적인 설정에서는 사이비 캅스를 고려해야 한다.

[Alling-7] Alling, Norman L. (1987). Foundations of Analysis over Surreal Number Fields. Mathematics Studies 141. North-Holland. ISBN 0-444-70226-1.

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