독립성(수학적 논리)
Independence (mathematical logic)수학 논리학에서 독립성은 다른 문장에서 문장을 제공할 수 없는 것이다.
문장 σ은 T가 σ을 증명하지도 반박하지도 않는다면 주어진 1차 이론 T와는 독립적이다. 즉, T로부터 σ을 증명하는 것은 불가능하며, T로부터 σ이 거짓이라는 것을 증명하는 것도 불가능하다. 때때로 σ은 T로부터 불특정 다수를 불식할 수 없다고 말하기도 한다; 이것은 의사결정 문제에서와 같은 "결정성"의 의미는 아니다.
이론 T는 T의 각 공리가 T의 나머지 공리로부터 증명할 수 없다면 독립적이다. 독립된 공리 집합이 있는 이론은 독립적으로 공리화할 수 있다.
사용 노트
일부 저자들은 T가 단순히 σ을 증명할 수 없을 때 σ은 T와 독립적이며, T가 σ을 반박할 수 없다고 반드시 주장하지는 않는다. 이들 저자들은 T가 σ을 증명하거나 반박할 수 없다는 것을 나타내기 위해 때때로 "σ은 T와 독립적이고 일관성이 있다"고 말할 것이다.
독립은 집합 이론으로 귀결된다.
세트 이론의 많은 흥미로운 진술들은 제로멜로-프렌켈 세트 이론(ZF)과는 무관하다. 세트 이론에서 다음과 같은 문장은 ZF가 일관성이 있다는 가정 하에 ZF와 무관한 것으로 알려져 있다.
ZFC가 일관성이 있다는 추가 가설 하에서 ZFC(Zermelo-Fraenkel set 이론 + 선택 공리)에서 독립성을 증명할 수 없는 다음과 같은 문장(그 중 어느 것도 거짓임이 입증되지 않음)은 ZFC에서 증명할 수 없다.
다음 문장은 선택의 공리와 일치하지 않으므로 ZFC와 일관성이 없다. 그러나 위와 같은 의미에서 ZF와는 독립적일 수 있다. 그것들은 ZF에서 증명될 수 없으며, ZF에서 반박을 찾을 것으로 기대하는 워킹 세트 이론가는 거의 없다. 그러나 ZF는 ZF가 일관성이 있다는 가설을 더해도 ZF와 무관하다는 것을 증명할 수 없다.
물리 이론에의 적용
2000년 이후 논리적 독립은 물리학의 기초에서 중대한 의미를 갖는 것으로 이해되었다.[1][2]
참고 항목
- ZFC와 무관한 문장 목록
- 지오메트리의 예제에 대한 병렬 추정
메모들
- ^ Paterek, T.; Kofler, J.; Prevedel, R.; Klimek, P.; Aspelmeyer, M.; Zeilinger, A.; Brukner, Č. (2010), "Logical independence and quantum randomness", New Journal of Physics, 12: 013019, arXiv:0811.4542, Bibcode:2010NJPh...12a3019P, doi:10.1088/1367-2630/12/1/013019
- ^ Székely, Gergely (2013), "The Existence of Superluminal Particles is Consistent with the Kinematics of Einstein's Special Theory of Relativity", Reports on Mathematical Physics, 72 (2): 133–152, arXiv:1202.5790, Bibcode:2013RpMP...72..133S, doi:10.1016/S0034-4877(13)00021-9
참조
- Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), London: Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-80830-2
- Monk, J. Donald (1976), Mathematical Logic, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90170-1
- Stabler, Edward Russell (1948), An introduction to mathematical thought, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley
