수학적 아름다움

Mathematical beauty
"방법에서의 아름다움"의 예—피타고라스 정리의 단순하고 우아한 시각적 설명자.

수학적인 아름다움은 전형적으로 수학의 추상성, 순수성, 단순성, 깊이 또는 질서정연함에서 비롯되는 미적 쾌락이다.수학자들은 종종 수학(또는 적어도 수학의 어떤 면은)을 아름답다고 묘사함으로써 이러한 기쁨을 표현한다.그들은 또한 수학을 예술의 형태(예: G. H. Hardy가[1] 취하는 위치)로 묘사하거나 최소한 창조적인 활동으로 묘사할 수도 있다.비교는 종종 음악과 시로 이루어진다.

베르트랑 러셀은 다음과 같은 말로 수학적인 아름다움에 대한 감각을 표현했다.

수학은, 올바르게 본 것만이 아니라, 최고의 아름다움, 즉 조각의 그것과 같이 차갑고 엄격한 아름다움, 우리의 약한 본성의 어떤 부분에도 호소하지 않고, 그림이나 음악의 화려한 외형도 없고, 숭고한 순수함도 없으며, 오직 위대한 예술만이 보여줄 수 있는 것과 같은 엄숙한 완벽함을 가질 수 있다.최고의 우수성의 시금석인 인간보다 더한 존재감, 진정한 기쁨의 정신, 경탄, 경외감 등은 시만큼이나 확실히 수학에서 발견된다.[2]

폴 에르디스는 수학의 불가능성에 대한 견해를 밝히면서 "왜 숫자가 아름다운가?그것은 마치 베토벤의 9번 교향곡이 아름다운 이유를 묻는 것과 같다.이유를 모르겠으면 누군가가 말해줄 수 없다.나는 숫자가 아름답다는 것을 안다.그들이 아름답지 않다면, 아무것도 아니다"라고 말했다.[3]

방법의 아름다움

수학자들은 특히 기분 좋은 증거 방법을 우아하다고 묘사한다.문맥에 따라 이는 다음을 의미할 수 있다.

  • 최소의 추가 가정 또는 이전 결과를 사용하는 증거.
  • 유난히 간결한 증거.
  • 놀라운 방법으로 결과를 도출하는 증거(예를 들어, 명백히 관련이 없는 정리나 정리 모음으로부터)
  • 새롭고 독창적인 통찰력을 바탕으로 한 증거.
  • 비슷한 문제의 가족을 해결하기 위해 쉽게 일반화할 수 있는 증명 방법.

우아한 증거를 찾는 과정에서, 수학자들은 종종 결과를 증명하기 위한 서로 다른 독립적인 방법들을 찾는데, 이는 발견되는 첫 번째 증거가 종종 개선될 수 있기 때문이다.가장 많은 수의 다른 증거들이 발견된 정리는 아마도 피타고라스 정리일 것이며, 현재까지 수백 개의 증거들이 발표되고 있다.[4]여러 가지로 증명된 또 하나의 정리는 이차적 상호주의 정리다.사실 칼 프리드리히 가우스만 해도 이 정리에 대한 여덟 가지 다른 증거를 가지고 있었는데, 그 중 여섯 가지가 그가 발표했다.[5]

반대로 논리적으로 옳지만 고된 계산, 과대평가 방법, 고도로 재래식 접근법 또는 많은 수의 강력한 공리 또는 이전의 결과를 수반하는 결과는 대개 우아하다고 간주되지 않으며 추악하거나 서투르다고까지 말할 수 있다.

결과의 아름다움

e0 = 1에서 시작하여 시간 length 동안 자신의 위치를 기준으로 한 속도 i로 이동하며, 1을 더하면 0에 도착한다.(도표는 아간드 다이어그램이다.)

일부 수학자들은 첫눈에 관련이 없는 것으로 보이는 수학의 두 영역 사이의 연관성을 확립하는 수학적인 결과에서 아름다움을 본다.[6]이러한 결과는 흔히 심오한 것으로 묘사된다.결과가 깊은지에 대한 보편적인 합의점을 찾기는 어렵지만, 어떤 예는 다른 예들보다 더 흔히 인용된다.그런 예로는 오일러의 정체성을 들 수 있다.[7]

오일러의 정체성은 물리학자 리처드 파인만이 "우리 보석" "수학에서 가장 주목할 만한 공식"[8]이라고 부른 오일러의 공식의 특별한 경우다.현대의 예로는 타원곡선과 모듈형(Andrew Wiles와 Robert Langlands에게 Wolf Prize를 수여하게 된 작업) 사이에 중요한 연결을 설정하는 모듈화 정리, 스트링 이론(Richard Borcher)을 통해 몬스터 그룹을 모듈화 함수에 연결하는 '괴물 달샤인' 등이 있다.ds는 필드 메달을 수여받았다.)

심오한 결과의 다른 예로는 수학 구조에 대한 예상치 못한 통찰력을 들 수 있다.예를 들어 가우스의 '이론마 에그레기움'은 국소현상(곡선)과 지구현상(면적)을 놀라운 방식으로 결부시키는 깊은 정리다.특히 곡면상의 삼각형 면적이 삼각형의 초과에 비례하고 비례성이 곡면성이다.또 다른 예는 미적분학의[9] 근본적인 정리(그리고 그린의 정리, 스토크스의 정리를 포함한 벡터 버전)이다.

깊은 것의 반대는 사소한 것이다.사소한 정리는 다른 알려진 결과로부터 명확하고 직접적인 방법으로 도출될 수 있는 결과일 수도 있고, 또는 빈 집합과 같은 특정한 개체의 집합에만 적용되는 결과일 수도 있다.그러나 어떤 경우에는 정리의 진술이 그 증거가 상당히 명백함에도 불구하고 깊이 고려될 만큼 충분히 독창적일 수 있다.

하디는 '수학자의 사과'에서 아름다운 증거나 결과가 '불가역성', '예상치 않음', '경제성'을 지니고 있다고 제안한다.[10]

그러나 Rota는 미에 필요한 조건으로서 의외라는 것에 동의하지 않고 다음과 같은 예를 제안한다.

수학에 관한 아주 많은 이론들이 처음 발표되었을 때 놀라운 것으로 보인다. 예를 들어 20년 전[1977년]은 높은 차원의 영역에 비등등하게 다른 구조의 존재에 대한 증거가 놀랍다고 생각되었지만, 그때나 지금이나 그런 사실을 아름답다고 부르는 것은 아무에게도 일어나지 않았다.[11]

이와는 대조적으로, Monstestersky는 다음과 같이 쓰고 있다.

과거 밀노르가 7차원 구체에 각기 다른 미분 구조를 아름답게 구축한 것과 유사한 발명품을 발견하는 것은 매우 어렵다...밀너에 대한 최초의 증거는 그리 건설적이지는 않았지만, 나중에 E. Briscorn은 이러한 미분 구조들이 극히 명백하고 아름다운 형태로 묘사될 수 있다는 것을 보여주었다.[12]

이러한 의견 불일치는 수학적 아름다움의 주관적 성격과 그 수학적 결과와의 연관성을 모두 보여준다: 이 경우, 이국적인 구들의 존재뿐만 아니라, 이국적인 구들의 특정한 실현도 함께 보여준다.

경험 속의 아름다움

"냉정하고 엄격한 아름다움"은 5입방체의 혼합물에서 기인한다.

경험적 연구와는 별개의 순수 수학에 대한 관심은 "그 아름다움을 위해 수학을 했다"[13]는 고대 그리스 문명을 포함한 다양한 문명의 경험의 일부였다.수학 물리학자들이 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 경험하는 경향이 있는 미학적 쾌감은 (폴 디라크에 의해, 그 중에서도) 그 '수학적 아름다움'[14]에 기인했다.수학의 아름다움은 물체의 물리적 실체가 수학적 모델로 표현될 때 경험하게 된다.1800년대 초에 다항식 방정식을 푸는 유일한 목적으로 개발된 집단 이론은 물질의 구성 요소인 기초 입자를 분류하는 생산적인 방법이 되었다.마찬가지로, 매듭의 연구는 끈 이론과 루프 양자 중력에 대한 중요한 통찰력을 제공한다.

어떤 사람들은 수학을 감상하기 위해서는 수학을 해야 한다고 믿는다.[15]예를 들어, 수학 서클은 게임과 활동을 통해 수학을 하는 방과 후 농축 프로그램이다; 또한 운동적인 방법으로 수학을 가르침으로써 학생들의 참여를 장려하는 선생님들도 있다.

일반적인 수학 서클 수업에서 학생들은 패턴 찾기, 관찰, 탐험을 이용하여 그들만의 수학적인 발견을 한다.예를 들어 2학년과 3학년을 위해 고안된 대칭에 관한 수학서클 활동에서 수학적인 아름다움이 나타나는데, 학생들은 네모난 종이를 접고 접은 종이의 가장자리를 따라 자신이 선택한 디자인을 도려내어 자신만의 눈송이를 만들어 낸다.종이를 펼치면 대칭적인 디자인이 드러난다.초등학교 수학 수업에서 대칭은 학생들이 수학에서 미적으로 만족스러운 결과를 보는 예술적인 방식으로 제시될 수 있다.

일부 교사들은 미적으로 만족스러운 방식으로 수학을 제시하기 위해 수학적 조작법을 사용하는 것을 선호한다.조작의 예로는 대수 타일, 요리용 막대, 패턴 블록 등이 있다.예를 들어, 대수 타일을 사용하여 정사각형을 완성하는 방법을 가르칠 수 있다.요리용 막대기는 분수를 가르치는 데 사용될 수 있고, 패턴 블록은 기하학을 가르치는 데 사용될 수 있다.수학적 조작법을 사용하는 것은 학생들이 수학적 공식에서 즉시 볼 수 없는 개념적 이해를 얻는 데 도움이 된다.[16]

경험에 있어서 아름다움의 또 다른 예는 종이접기의 사용을 포함한다.종이접기의 기술인 종이접기의 예술인 종이접기는 심미적인 특성과 많은 수학적 연관성을 가지고 있다.펼쳐지는 종이접기 조각의 주름 패턴을 관찰하면 종이접기의 수학을 공부할 수 있다.[17]

셈의 연구인 결합학은 일부 사람들이 수학적으로 아름답다고 생각하는 예술적 표현을 가지고 있다.[18]조합적 개념을 예시하는 많은 시각적 예들이 있다.시각적 표현을 사용하는 조합 과정에서는 다음과 같은 주제와 사물을 볼 수 있다.

아름다움과 철학

어떤 수학자들은 예를 들어, 수학이 발명보다 발견에 더 가깝다고 생각한다.

과학적인 발견자도, 시인도, 화가도, 음악가도, 음악가도, 자신의 발견이나 시나 그림이 준비되었다는 것을 발견했다는 것을 말하지 않을 것이다. 그것은 외부에서 온 것이며, 의식적으로 내부에서 창조한 것이 아니라는 것이다.

— William Kingdon Clifford, from a lecture to the Royal Institution titled "Some of the conditions of mental development"

이러한 수학자들은 수학의 상세하고 정확한 결과가 우리가 살고 있는 우주에 대한 어떠한 의존도 없이 합리적으로 사실로 받아들여질 수 있다고 믿는다.예를 들어, 그들은 어떤 특정한 문맥도 요구하지 않는 방식으로 자연수 이론이 근본적으로 타당하다고 주장할 것이다.어떤 수학자들은 수학적인 아름다움은 진리라는 이 관점을 더욱 추론해 왔고, 어떤 경우에는 신비주의가 되었다.

플라톤의 철학에는 우리가 살고 있는 물리적인 세계와 수학 등 불변의 진리를 담고 있는 또 다른 추상적인 세계라는 두 세계가 있었다.그는 물리적인 세계는 더 완벽한 추상적인 세계의 단순한 반영이라고 믿었다.[19]

헝가리의 수학자 폴 에르드스는[20] 신이 가장 아름다운 수학적 증거를 모두 적어 놓은 상상 속의 책에 대해 말했다.에르드스가 증거에 대한 특별한 감사를 표현하고 싶을 때, 그는 "이것은 책에서 나온 것이다!"라고 외치곤 했다.

20세기 프랑스 철학자 알랭 바디우는 온톨로지는 수학이라고 주장한다.[21]바디우는 또한 수학, 시, 철학의 깊은 연관성을 믿는다.

어떤 경우에는 수학을 폭넓게 활용한 자연철학자들과 다른 과학자들이 잘못된 것으로 판명된 방식으로 아름다움과 육체적 진실 사이에서 추론을 쏟아냈다.예를 들어, 그의 삶의 한 단계에서 요하네스 케플러는 태양계에서 당시 알려진 행성의 궤도의 비율은 신이 5개의 플라토닉 고형물의 동심 배열에 대응하도록 배열했다고 믿었다. 각 궤도는 한 다면체의 원주 위에 놓여 있고 다른 행성의 영감 위에 놓여 있다.정확히 5개의 플라토닉 고체가 있기 때문에 케플러의 가설은 6개의 행성 궤도를 수용할 수 있을 뿐이었고 이후 천왕성의 발견으로 반증되었다.

미학과 수학 정보 이론

1970년대에 아브라함 몰스와 프리더 나케는 아름다움, 정보처리, 정보이론의 연결고리를 분석했다.[22][23]1990년대에 위르겐 슈미두버(Jürgen Schmidhuber)[24][25][26]는 알고리즘 정보 이론에 근거하여 관찰자에 의존하는 주관적 아름다움의 수학적 이론을 공식화하였다.주관적으로 비교 가능한 개체들 중에서 가장 아름다운 물체는 관찰자가 이미 알고 있는 것에 비해 짧은 알고리즘적 설명(즉, Kolmogorov 복잡성)을 가지고 있다.Schmidhuber는 아름다움과 흥미로움을 분명히 구분한다.후자는 주관적으로 인지된 아름다움의 첫 번째 파생상품에 해당한다. 관찰자는 반복과 대칭, 프랙탈 자기 유사성과 같은 규칙성을 발견함으로써 관찰의 예측성과 압축성을 지속적으로 개선하려고 노력한다.관찰자의 학습 과정(아마도 예측 가능한 인공신경망)이 관찰 시퀀스를 이전보다 더 적은 비트로 설명할 수 있도록 데이터 압축의 개선으로 이어질 때마다 데이터의 일시적 흥미-ness는 압축 진행에 해당하며 관찰자의 내부 호기심 리와 비례한다.ard의[27][28]

수학과 예술

주요 기사:수학과 미술, 수학과 음악, 그리고 수학과 건축

음악

Examples of the use of mathematics in music include the stochastic music of Iannis Xenakis, the Fibonacci sequence in Tool's Lateralus, counterpoint of Johann Sebastian Bach, polyrhythmic structures (as in Igor Stravinsky's The Rite of Spring), the Metric modulation of Elliott Carter, permutation theory in serialism beginning with Arnold Schoenberg칼하인츠 슈톡하우젠 찬송가에는 셰퍼드 톤의 적용이 있었다.

시각 예술

레온 바티스타 알베르티의 1435 델라 피투라의 도표, 격자무늬를 원근법으로 본 기둥

시각예술에서 수학의 활용의 예로는 컴퓨터가 만들어낸 예술에 혼돈 이론과 프랙탈 기하학의 응용, 레오나르도 다 빈치의 대칭 연구, 르네상스 예술의 원근법 이론 전개에 있어서의 투영 기하학, Op 아트의 그리드, 지암바티스타 델라 포르타의 카메라 옵스큐라의 광학 기하학 기하학 등이 있다.분석적 입체주의와 미래주의의 다원적 관점

네덜란드의 그래픽 디자이너 M. C. 에셔는 수학적으로 영감을 받은 목판화, 석판화, 메조틴트를 만들었다.이러한 특징들은 불가능한 구성, 무한대의 탐험, 건축, 시각적 역설, 테셀레이션 등을 특징으로 한다.남아공 조각가 존티 허위츠를 비롯한 일부 화가와 조각가들은 무동형증의 수학적 원리로 왜곡된 작품을 창작한다.영국의 건축가 존 어니스트(John Ernest)는 집단 이론에서 영감을 받은 구호물자와 그림을 만들었다.[29]건축학자와 사상의 시스템 스쿨의 다른 많은 영국 예술가들도 앤서니 힐과 피터 로우를 포함한 수학 모델과 구조를 영감의 원천으로 삼고 있다.[30]컴퓨터가 만들어낸 예술은 수학적 알고리즘에 기반을 두고 있다.

참고 항목

메모들

  1. ^ "Quotations by Hardy". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved 2019-10-31.
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  3. ^ Devlin, Keith (2000). "Do Mathematicians Have Different Brains?". The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip. Basic Books. p. 140. ISBN 978-0-465-01619-8. Retrieved 2008-08-22.
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  16. ^ Sowell, E (1989). "Effects of Manipulative Materials in Mathematics Instruction". Journal for Research in Mathematics Education. 20 (5): 498–505. doi:10.2307/749423. JSTOR 749423.
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  29. ^ 2009년 12월 24일(수학과 예술에 관한 특집호) http://people.exeter.ac.uk/PErnest/pome24/index.htm에서 존 어니스트의 수학, 특히 그룹 이론을 그의 예술 작품에서 사용한 것을 분석하였다.
  30. ^ Franco, Francesca (2017-10-05). "The Systems Group (Chapter 2)". Generative Systems Art: The Work of Ernest Edmonds. Routledge. ISBN 9781317137436.

참조

추가 읽기

외부 링크