이국적인 영역

미분 위상이라 불리는 수학 영역에서 이국적인 구체는 동형이지만 표준 유클리드 n-sphere와는 차이가 없는 다변성 다지관 M이다. 즉, M은 모든 위상적 성질의 관점에서 보면 구체이지만, 친숙한 구조가 아닌 매끄러운 구조를 지니고 있는 것이다(이태적인 명칭을 강조하다).

최초의 이국적인 구들은 치수 $n=7$ = $n=7$ ${\displaystyle$ $S^{3}$ 에 $n=7$ 있는 $S^{4}$ 밀너(1956)에 $의해$ S 3 {\displaystyle $S^{4}$ 에 대한 번들임 $S^{3}$ . 그는 7-sphere에 적어도 7개의 다른 구조물이 있음을 보여주었다 $S^{4}$ 어떤 차원에서도 밀너(1959)는 지향적인 이국적인 구들의 차이점형 계급이 연결된 합에 따라 아벨리안 모노이드의 비종교적 요소를 형성한다는 것을 보여주었는데, 치수가 4가 아니라면 유한한 아벨리아 집단이다. 미셸 케르베어와 밀너(1963)에 의한 이국적인 구체의 분류는 지향적인 이국적인 7구체가 연결된 총액의 운용에 따른 순서 28의 순환집단의 비종교적 요소라는 것을 보여주었다.

소개

The unit n-sphere, $S^{n}$ , is the set of all (n+1)-tuples $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})$ of real numbers, such that the sum ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2$ $}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1$ 예를 들어 $S^{1}$ $S^{1}$ ${\$ S $^{1}$ 는 원이고 $S^{1}$ , $S^{2}$ $S^{2}$ ${\$ 은 $S^{2}$ 반지름 1의 보통 공의 표면이다. 위상학자들은 X의 모든 점을 연속적으로 단위 n-sphere의 정확히 한 점에 할당할 수 있다면 공간 X를 n-sphere로 간주한다. 즉, X의 충분히 가까운 지점이 $S^{n}$ ${\$ 의 $S^{n}$ 인근 지점에 할당되고 그 반대의 경우도 마찬가지다. 예를 들어 반경 r의 n-sphere에 있는 점 x는 원점으로부터의 거리를 $1/r$ / $1/r$ 만큼 조정하여 단위 n-sphere의 점과 일치시킬 수 있다 $1/r$

차등 위상에서는 보다 엄격한 조건이 추가되는데, X의 지점과 $S^{n}$ ${\$ 의 지점을 일치시키는 기능이 매끄러워야 한다 $S^{n}$ . 즉, 어디에나 모든 주문의 파생 모델이 있어야 한다. 파생상품을 계산하려면 X에 일관되게 지역 좌표계를 정의해야 한다. 수학자들은 1956년 밀너가 7-sphere에 일관된 좌표계가 연속적인 의미에서는 등가지만 다른 의미에서는 등가할 수 없는 두 가지 다른 방식으로 설정될 수 있다는 것을 보여주었을 때 놀랐다. 밀너와 다른 이들은 각 차원에 그런 이국적인 구들이 얼마나 많이 존재할 수 있는지 발견하고 그들이 어떻게 서로 연관되어 있는지를 이해하려고 노력하기 시작했다. 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- 또는 61-구에는 이국적인 구조가 불가능하다.^[1] 어떤 고차원적인 구들은 오직 두 개의 다른 가능한 구조만 가지고 있고, 다른 구들은 수천 개의 구조를 가지고 있다. 이국적인 4-spare가 존재하는지 여부, 그리고 얼마나 존재하는지 여부는 아직 해결되지 않은 문제다.

분류

n-space에 매끄러운 구조의 단면성은 n-sphere에 동형인 방향 매끄러운 n-manifolds의 집합으로, 방향을 보존하는 차이점포함이다. 모노이드 연산은 연결된 합이다. $n\neq 4$ $n\neq 4$ $n\neq 4$ ${\displaystyle$ n $\neq$ 4 $}$ 을 $n\neq 4$ 를) 제공한 이 단모형은 그룹이며 유한하고 아벨리안인 지향적인 호모토피 n-spers의 h-코보르디즘 등급의 그룹 $\Theta _{n}$ $\Theta _{n}$ $\Theta _{n}$ ${\$ 에 이형성이 있다. 차원 4에서는 매끄러운 구들의 모노이드에 대해 거의 아무것도 알려져 있지 않으며, 유한하거나 셀 수 없이 무한하다고 의심되지만, 아벨리안이라는 사실 이외에는, 거의 아무것도 알려져 있지 않다. 글룩에 관한 섹션을 뒤틀려 보라. 모든 호모토피 n-spres는 일반화된 푸앵카레 추측에 의해 n-sphere에 대한 동형체로서, 4 이상의 치수는 스테판 스마일, 4차원에서는 마이클 프리드먼, 3차원에서는 그리고리 페렐만에 의해 증명되었다. 차원 3에서 에드윈 E. 모이스는 모든 위상학적 다지관이 본질적으로 독특한 매끄러운 구조를 가지고 있다는 것을 증명했다(모이스의 정리 참조). 따라서 3-sphere에 매끄러운 구조의 단노이드(monoid)는 사소한 것이다.

병렬 가능 다지관

$\Theta _{n}$ ${\$ 그룹은 주기적인 하위 그룹을 가지고 $\Theta _{n}$ 있다.

{\displaystyle bP_{n+1}.

평행할 수 있는 결합 다지관에 의해 표현된다. $bP_{n+1}$ $bP_{n+1}$ + $bP_{n+1}$ ${\$ 의 구조와 $bP_{n+1}$ 지수

\Theta _{n}/bP_{n+1}:{n+1}

수술 이론의 발달에 영향을 미친 논문(Kervaire & Milnor 1963)에 별도로 설명되어 있다. 사실, 이러한 계산은 여기에 표시된 수술의 정확한 순서와 관련하여 현대 언어로 공식화될 수 있다.

그룹 $bP_{n+1}$ $bP_{n+1}$ + $bP_{n+1}$ ${\$ 는 주기적인 그룹이며 $bP_{n+1}$ , $n=4k+3$ = $n=4k+3$ + $n=4k+3$ 3 ${\displaystyle n=4k+3$ 의 경우를 제외하고 사소한 또는 순서 2이며, 이 경우 버누이 번호와 관련된 순서가 있을 수 있다. 만약 n이 짝수라면 그것은 사소한 것이다. If n is 1 mod 4 it has order 1 or 2; in particular it has order 1 if n is 1, 5, 13, 29, or 61, and William Browder (1969) proved that it has order 2 if $n=1$ mod 4 is not of the form $2^{k}-3$ . It follows from the now almost completely resolved Kervaire invariant problem that it has order 2는 모두 126보다 크며, $n=126$ n $n=126$ = $n=126$ $n=sn$ 은(는) 여전히 열려 있다 $n=126$ . $k\geq 2$ 2 ${\displaystyle k\geq$ 2 $}$ 에 $bP_{4k}$ $bP_{4k}$ P $bP_{4k}$ k ${\$ 의 순서는 다음과 같다 $k\geq 2$ .

2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,

여기서 B는 4 $4B_{2k}/k$ $4B_{2k}/k$ $4B_{2k}/k$ / $4B_{2k}/k$ $4B_{2k}/k$ 의 분자로 $4B_{2k}/k$ $B_{2k}$ $B_{2k}$ $B_{2k}$ ${\$ 는 베르누이 숫자다 $B_{{2k}}$ . (위상학 문헌의 공식은 토폴로지 학자들이 베르누이 숫자 이름을 붙이는 데 다른 관례를 사용하기 때문에 약간 다르다; 이 기사는 숫자 이론가의 관례를 사용한다.)

인용구 간 지도

지수군 $\Theta _{n}/bP_{n+1}$ / $\Theta _{n}/bP_{n+1}$ $\Theta _{n}/bP_{n+1}$ + 1 ${\$ 는 J-동형주의 이미지를 모듈로 하는 안정적인 호모토피군이라는 관점에서 서술하고 있다 $\Theta _{n}/bP_{n+1}$ . 이는 지수 또는 지수 2와 같다. 더 정확히 말하면 주입 지도가 있다.

\theta _{n}/bP_{n+1}\pi _{n}^{S}/J,

여기서 $\pi _{n}^{S}$ $\pi _{n}^{S}$ ${\$ 는 구들의 n번째 안정적인 호모토피 그룹이며 $\pi _{n}^{S}$ , J는 J-호모형의 이미지다. $bP_{n+1}$ $bP_{n+1}$ + $bP_{n+1}$ ${\$ 과 같이 $bP_{n+1}$ J의 이미지는 주기적인 그룹이며, $n=4k+3$ = $n=4k+3$ + $n=4k+3$ ${\displaystyle n=4k+3$ 의 경우를 제외하고 사소한 또는 순서 2이며, 이 경우 버누이 번호와 관련된 순서가 있을 수 있다. The quotient group $\pi _{n}^{S}/J$ is the "hard" part of the stable homotopy groups of spheres, and accordingly $\Theta _{n}/bP_{n+1}$ is the hard part of the exotic spheres, but almost completely reduces to computing homotopy groups of spheres. 지도는 이소형성(이미지는 전체 그룹)이거나 지수 2가 있는 주입형 지도다. 후자는 케르베어 불변성 문제로 알려진 케르베어 불변성 1이 있는 n차원 프레임 다지관이 존재하는 경우에만 해당된다. 따라서 이국적인 구의 분류에 있어서 2의 요인은 케르베어 불변 문제에 달려 있다.

$n=126$ 현재 Kervaire 불변성 문제는 거의 완전히 해결되었으며 사례 n = $[\디스플레이$ 스타일 n= $126}$ 만 남아 $n=126$ 있다. 자세한 내용은 해당 기사를 참조하십시오. 이것은 주로 브라우더(1969년)의 작품으로, 그러한 다지관이 $n=2^{j}-2$ n $n=2^{j}-2$ = $n=2^{j}-2$ $254=2^{8}-2$ $n=2^{j}-2$ - $n=2^{j}-2$ ${\displaystyle n=2^{j}-2$ $254=2^{8}-2$ 차원 254 = 2 - 2 $254=2^{8}-2$ {\ $displaysty 254=2^{8}-2$ 이상에 $254=2^{8}-2$ 대한 그런 다지관이 없음을 증명했다. 케르베어 불변성 1이 있는 다지관은 치수 2, 6, 14, 30 및 62에 건설되었지만 치수 126은 개방되어 있어 다지관이 건설되거나 불균형한 것이 없다.

θ_n 훈장

The order of the group $\Theta _{n}$ is given in this table (sequence A001676 in the OEIS) from (Kervaire & Milnor 1963) (except that the entry for $n=19$ is wrong by a factor of 2 in their paper; see the correction in volume III p. 97 of Milnor's collected works).

딤앤	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$\Theta _{n}$ ${\$ 주문	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
${\displaystyle bP_{n+1}.$	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
$\Theta _{n}/bP_{n+1}:{n+1}$	1	1	1	1	1	1	1	2	2×2	6	1	1	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
$\pi _{n}^{S}/J$	1	2	1	1	1	2	1	2	2×2	6	1	1	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
색인을 달다	–	2	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–

Note that for dim $n=4k-1$ , then $\theta _{n}$ are $28=2^{2}(2^{3}-1)$ , $992=2^{5}(2^{5}-1)$ , $16256=2^{7}(2^{7}-1)$ , and $523264=2^{10}(2^{9}-1)$ $523264=2^{10}(2^{9}-1)$ = 2 $523264=2^{10}(2^{9}-1)$ ( $523264=2^{10}(2^{9}-1)$ $523264=2^{10}(2^{9}-1)$ - 1 $523264=2^{10}(2^{9}-1)$ ) ${\displaystyle 523264=2^{10}(2^{9}-1$ 이 표의 추가 항목은 위의 정보로부터 구들의 안정적인 호모토피 그룹 표와 함께 계산할 수 있다.

왕앤슈(2017)는 안정적인 호모토피 집단을 연산함으로써 구 $S$ 가⁶¹ 독특한 매끄러운 구조를 가지고 있으며, 이 성질을 가진 마지막 홀수차원 구체라는 것을 증명한다 – 유일한 것은 $S 1$ , $S 3$ , $S 5$ , S, S. $S 61$ .

이국적인 구의 명시적 예

50년대 중반에 그런 예를 접했을 때, 나는 매우 어리둥절했고 그것을 어떻게 생각해야 할지 몰랐다. 처음에 나는 차원 7에서 일반화된 푸앵카레 추측에 대한 백범례를 발견했다고 생각했다. 그러나 세심한 연구는 다지관이 $S^{7}$ 로 S $S^{7}$ ${\$ 에 대한 동형체라는 것을 보여주었다 $S^{7}$ 따라서 S $S^{7}$ ${\$ 에는 표준 구조와 다른 형태가 아닌 $S^{7}$ 다른 구조가 존재한다.

John Milnor (2009, p.12)

밀노르 건설

밀너(1956년, 섹션 3)가 발견한 이국적인 구체의 첫 사례 중 하나는 다음과 같다. $B^{4}$ $B^{4}$ ${\$ B $^{4}$ 를 $\mathbb {R} ^{4}$ 4 ${\$ 의 단위 공으로 $B^{4}$ 하고, $S^{3}$ 3 ${\$ 를 경계로 하여 $S^{3}$ 단위 쿼터니온 그룹과 동일시한다. Now take two copies of $B^{4}\times S^{3}$ , each with boundary $S^{3}\times S^{3}$ , and glue them together by identifying $(a,b)$ in the first boundary with $(a,a^{2}ba^{-1})$ in the seco경계와 경계 결과 다지관은 자연적으로 $S^{7}$ 구조를 가지고 있으며 $S^{7}$ 7 ${\$ S $^{7$ 에 대해 동형체이지만 $S^{7}$ $S^{7}$ ${\$ S $^{7}$ 에 대해서는 차이점이 없다 $S^{7}$ 밀너는 이것이 4번째 베티 번호를 갖는 어떠한 매끄러운 8-매니폴드의 경계가 아니며, 어느 쪽에도 방향성 역전 차이점형이 없음을 보여주었다. 이러한 속성의 의미는 표준 7-sphere가 아니라는 것을 의미한다. Milnor는 이 다지관이 두 가지 임계점만 있는 Morse 함수를 가지고 있다는 것을 보여주었는데, 이것은 그것이 위상학적으로 구라는 것을 암시한다.

브리스코른 구

Egbert Brieskorn (1966, 1966b ) (Hirzebruch & Mayer 1968 참조)에서 알 수 $\mathbb {C} ^{5}$ , $\mathbb {C} ^{5}$ 5 {\ $displaystyle \mathb{C}$ ^{5 $}}}$ 만족도에서 $\mathbb {C} ^{5}$ 점의 복합 다지관의 교차점

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\

$k=1,2,\ldots ,28$ = $k=1,2,\ldots ,28$ , $k=1,2,\ldots ,28$ , $k=1,2,\ldots ,28$ 28 $k=1,2,\ldots,28$ 에 대한 원점 주위에 작은 구체와 함께 방향 7-sphere에 가능한 28개의 부드러운 구조를 모두 제공한다 $k=1,2,\ldots ,28$ . 비슷한 다지관을 브리스코른 구라고 부른다.

꼬인 구들

(방향 보존형) 차이점형성 $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ : $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ n $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ - $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ → $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ - $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ ${\$ $displaystyle$ $f^{$ $D^{n}$ $}\to S$ $^{$ $n-1}\$ to S $^{n-1}}$ 의 두 복사본의 경계를 $D^{n}$ f에 의해 꼬인 구(twist f)라는 다지관을 산출한다 $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ 접착지도는 정체성과 동질성이지만(방향-보존적 차이점동형성, 따라서 정도 1) 표준 구체와 일반적인 차이점동형이 아니기 때문에 표준 n-sphere와 동등한 호모토피다.(Milnor 1959b) $\Gamma _{n}$ ${\$ 를 _{n}을 꼬인 n-spersegroup으로 설정한다 $\Gamma _{n}$ ., 정확한 순서를 알아내다.

\pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to 0.

$n>5$ > $n>5$ $[\displaystyle n>5}$ 에 대해 $n>5$ 모든 이국적인 n-sphere는 꼬인 구체와 다른 형상으로, h-코보르디즘 정리의 결과로 볼 수 있는 스티븐 스마일(Stephen Smale)에 의해 증명된 결과물이다. (반대로, 조각으로 된 선형 설정에서는 가장 왼쪽의 지도가 방사형 확장을 통해 올라간다. 모든 조각으로 된 선형의 트위스트 구체는 표준이다.) twistedn ${\$ 그룹은 항상 $\Gamma _{n}$ $\Theta _{n}$ {\ $displaystyle \Teta _{n}$ 그룹에 이형적이다 $\Theta _{n}$ $n=3$ = $n=3$ $n=3$ 또는 $n=3$ 4에 대해 처음에는 동일하다는 것이 알려져 있지 않았기 때문에, 예를 들어 $n=3$ n $n=3$ = $n=3$ $n=3$ 은 $n = 3$ 푸앵카레 추측과 동일하다.

In 1970 Jean Cerf proved the pseudoisotopy theorem which implies that $\pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})$ is the trivial group provided $n\geq 6$ , and so ${\displaystyle \Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatornam$ $e {Diff} ^{+}(S^{n-1})$ 은 $n\geq 6$ $n\geq 6$ 6 $n\geq 6$ 을 $\Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})$ (를) 제공했다 $n\geq 6$

적용들

M은 낱낱으로 선형 매니폴든 다음 M에 호환되는 부드러운 구조를 구하는 문제를 그 집단들의 지식에 Γk)Θk 달려 있다.그런 부드러운 구조는 존재하는 좀 더 정밀하게 그 그룹들에 원활한 구조 거짓말의 존재 Hk+1(M, Γk)k의 여러 값에 의한 장애물을 모두 아주 부드러운 구조 c. 수 있H_k(M, γ_k) 그룹을 사용하여 래시드됨. 특히 그룹 γ은_k k < 7이면 소멸되므로 치수 7의 모든 PL 다지관은 부드러운 구조를 가지며, 이는 다지관이 최대 6에서 치수를 갖는 경우 본질적으로 고유하다.

다음과 같은 유한 아벨 그룹들은 본질적으로 동일하다.

H-코보르디즘 등급의 그룹 Ⅱ_n. 지향적인 호모토피 n-spares.
지향적인 n-spareer의 h-코보르드 계급의 그룹.
트위스트 지향 n-spares 그룹 Ⅱ_n.
호모토피 그룹 $π$ _n(PL/DIFF)
n ≠ 3일 경우 호모토피 그룹 $π$ _n(TOP/DIFF) (n = 3 이 그룹이 순서 2를 가지고 있으면 Kirby-Siebenmann invariant 참조).
지향적인 PL n-sphere의 부드러운 구조 그룹.
n ≠ 4인 경우, 지향적인 위상학적 n-sphere의 부드러운 구조 그룹.
n ≠ 5일 경우, S의ⁿ⁻¹ 모든 방향 유지 차이점 유형 그룹의 구성요소 그룹.

4차원 이국적인 구와 글럭이 뒤틀리다.

4차원에서는 4-sphere에 이국적인 매끄러운 구조물이 있는지 알 수 없다. 이들이 존재하지 않는다는 진술은 '원활한 푸앵카레 추측'으로 알려져 있으며, 마이클 프리드먼, 로버트 곰프, 스콧 모리슨 외 연구진(2010)이 거짓으로 추정된다고 밝힌다.

이국적인 4-spare에 제안된 후보로는 카펠-샤네슨 구(Sylvain Cappell and Julius Shaneson(1976년)와 글룩 트위스트(Gluk 1962년)가 파생한 구(Gluk 1962년)가 있다. 글룩 트위스트 구들은⁴ S에서 2-sphere S의 관형 근방을 잘라낸 후, 경계² S×S의¹ 차이점 형상을 사용하여 다시 접착하는 방식으로 구성된다. 결과는 항상 S에게⁴ 동형이다. 수년에 걸쳐 많은 사례들이 4차원 푸앵카레 추측에 대한 가능한 반증례로 배제되었다. 예를 들어 카메론 고든(1976년), 호세 몬테시노스(1983년), 스티븐 P. 플로트닉(1984년), 곰프(1991년), 하비로, 마루모토 & 야마다(2000년), 셀만 악불루트(2010년), 곰프(2010년), 김 & 야마다(2017년).

참고 항목

참조

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외부 링크

다지관 아틀라스의 이국적인 구들
앤드류 라니키 홈페이지의 이국적인 영역 홈페이지. 이국적인 구체와 관련된 다양한 소스 소재.
이국적인 7-spars의 애니메이션은 제2차 아벨 회의에서 존 밀너에게 경의를 표하는 나일스 존슨의 프레젠테이션에서 나온 비디오다.
다지관 아틀라스의 글럭 건축

[1] Behrens, M.; Hill, M.; Hopkins, M. J.; Mahowald, M. (2020). "Detecting exotic spheres in low dimensions using coker J". Journal of the London Mathematical Society. 101 (3): 1173–1218. arXiv:1708.06854. doi:10.1112/jlms.12301. ISSN 1469-7750.

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