모듈화 정리

모듈화 정리

들판	수론
추측자	다니야마 유타카 시무라 고로
추측:	1957
첫 번째 검증:	크리스토프 브루일 브라이언 콘래드 프레드 다이아몬드 리처드 테일러
첫 번째 검증	2001
결과들	페르마의 마지막 정리

모듈러성 정리(이전의 타니야마-)시무라 추측, 타니야마-웨일 추측 또는 타원곡선에 대한 모듈러성 추측)은 유리수의 장에 걸친 타원곡선이 모듈러 형태와 관련되어 있음을 나타낸다.앤드류 와일즈는 반안정 타원 곡선에 대한 모듈성 정리를 증명했는데, 이는 페르마의 마지막 정리를 암시하기에 충분했다.이후 와일스의 예전 제자였던 브라이언 콘래드, 프레드 다이아몬드, 리처드 테일러가 크리스토퍼 브루일과의 공동논문으로 정점을 찍은 일련의 논문은 와일스의 기술을 2001년 완전한 모듈화 정리를 증명하기 위해 확장시켰다.

진술

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정리에 따르면 Q$(\${Q$})$ $위$의 타원곡선은 $일부{\displaystyle }$ 정수$$N(\$displaystyle$$$$N$$)$에 대해 고전적인 $모듈러{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {곡선\mathrm{}}_{}}$X$0$$)$의 정수 계수를 갖는 합리적 맵을 통해 얻을 수 있습니다. 이는 명시적으로 정의된 정수 계수를 갖는 곡선입니다.이 매핑을 $N$의 모듈러 파라미터화라고 부릅니다$.$({$displaystyle$ N$})$이 그러한 파라미터화를 찾을 수 있는 최소 정수(이것이 현재 도체라고 불리는 모듈러성 정리에 의해 알려져 있음)라면 파라미터화는 매핑 생성의 관점에서 정의될 수 있습니다.무게 2와 레벨 $($$정수{\displaystyle }$q\$displaystyle$q) - 확장이$$ 있는 정규화된 뉴폼의 모듈러 형식 2와 레벨 N(\$displaystyle$ N$)$에 의해 편집되며, 필요에 따라 등전원에 의해 편집됩니다.

관련문

모듈성 정리는 밀접하게 관련된 분석 문구를 의미합니다.

각 타원 곡선 E/$(\$에 대응하는 L-직렬을 붙일 수 있습니다.$(\displaystyle$ L$)$ 시리즈는$$ Dirichlet 시리즈로 일반적으로 작성됩니다.

${\displaystyle L(E,s)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle a_{n}}$ $계수$의 생성 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle f(E,q)=\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}q^{n}.}$

만약 우리가 대체를

${\displaystyle q=e^{2\pii\displays}}$

복소 $변수{\displaystyle }$ ${\$ {\$displaystyle \tau$의 함수 f$,$ ${\displaystyle )}$ \$displaystyle f(E,\tau$)의 푸리에 전개도를 적었으므로$q$ {$displaystyle$q} 시리즈의$$ 계수는$$f {\$displaystyle$ f$\}$의 푸리에 계수로도 간주됩니다.이 방법으로 얻은 함수는 주목할 만한 가중치 2와 $수준{\displaystyle }$ N$(\displaystyle$ N$)$의 첨두 형태이며 고유 형태(모든 헤케 연산자의 고유 벡터)이기도 하다. 이것은 모듈성 정리에 따른 Hasse-Weil 추측이다.

무게 2의 모듈러 형태 중 일부는 타원 곡선의 정칙 미분과 일치합니다.모듈 곡선의 야코비안은 무게 2의 헤케 고유 형태에 해당하는 환원 불가능한 아벨 변종의 산물로 쓰여질 수 있다.1차원 요인은 타원 곡선입니다(고차원 요인도 있을 수 있으므로 모든 헤케 고유 형식이 합리적인 타원 곡선에 해당하는 것은 아닙니다).대응하는 첨두 형태를 찾아 곡선을 구성함으로써 얻을 수 있는 곡선은 원래의 곡선과 동질적이다(그러나 일반적으로는 동일하지 않다).

역사

다니야마^[1] 유타카는 1955년 도쿄와 닛코에서 열린 대수적 수론 국제 심포지엄에서 추측의 예비(약간 틀린) 버전을 발표했다.시무라 고로씨와 타니야마씨는 1957년까지 엄격함의 향상에 힘썼다.Andre^[2] Weil은 이 추측을 재발견하여 1967년에 타원곡선의 일부 $비틀림{\displaystyle }$L(\$displaystyle$ L$)$ 계열에$$ 대한 함수 방정식을 따르는 것을 보여주었다. 이는 추측이 사실일 수 있다는 최초의 심각한 증거였다.또한 Weil은 타원 곡선의 도체가 대응하는 모듈 형태의 수준이어야 한다는 것을 보여주었다.타니야마 씨시무라Weil 추측은 Langlands 프로그램의 일부가 되었다.

이 추측은 1986년 게르하르트^[3] 프레이가 페르마의 마지막 정리를 암시한다고 제안했을 때 상당한 관심을 끌었다.그는 페르마의 마지막 정리에 대한 반례가 적어도 하나의 비모듈형 타원 곡선의 존재를 암시한다는 것을 보여주려고 시도함으로써 이것을 했다.이 주장은 1987년 장-피에르^[4] 세르가 프레이의 원저작에서 누락된 고리(현재는 엡실론 추측 또는 리벳의 정리)를 확인했을 때 완성되었고, 2년 후 켄 리벳이^[5] 엡실론 추측의 증명을 완료하였다.

주목받은 타니야마 씨도시무라베일 추측은 현대 수학자들에 의해 증명하기 매우 어렵거나 증명하기조차 ^[6]어려운 것으로 보였다.예를 들어, 와일스의 박사과정 감독관인 존 코츠는 "실제로 증명하는 것은 불가능해 보인다"고 말했고, 켄 리벳은 자신이 "그것을 완전히 접근할 수 없다고 믿는 대다수의 사람들 중 한 명"이라고 생각했다.

1995년 Andrew Wiles는 리차드 테일러의 도움을 받아 타니야마를 증명했다.시무라페르마의 마지막 ^[7]정리를 증명하기 위해 사용한 모든 반안정 타원 곡선에 대한 베일 추측과 완전한 타니야마-시무라Weil 추측은 Diamond,^[8] Conrad, Diamond & Taylor, Breuil, Conrad, Diamond & Taylor에 의해 마침내 증명되었습니다;^[9][10] 그들은 Wiles의 연구를 기반으로 하여 1999년에 완전한 결과가 입증될 때까지 나머지 사례들을 점차 줄여갔습니다.

일단 완전히 증명된 추측은 모듈성 정리라고 알려지게 되었다.

페르마의 마지막 정리와 유사한 수 이론의 몇 가지 정리가 모듈성 정리에서 비롯된다.예를 들어, 어떤 큐브도 2개의 $coprime{\displaystyle }$n(\$displaystyle$ n$)$ -제곱$$, ${\displaystyle \mathrm{n}}$as 3(\$displaystyle$n\$geq$3)의$$합으로 쓸 수 $없습니다($ n ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ n=3)은$$ 이미 Oiler에 의해 알려져 있습니다).

일반화

모듈성 정리는 로버트 랭글랜드에 의한 보다 일반적인 추측의 특별한 경우이다.Langlands 프로그램은 숫자 필드 위의 모든 타원 곡선과 같은 산술 대수 기하학의 보다 일반적인 객체에 자기 형태 또는 자기 형태 표현(모듈 형식의 적절한 일반화)을 부가하려고 합니다.이러한 확장된 추측의 대부분의 사례는 아직 증명되지 않았다.그러나 Freitas, Le Hung 및 Siksek는^[11] 실제 2차 필드에 대해 정의된 타원 곡선이 모듈식임을 증명했습니다.

예

예를 들어 ^[12][13][14]판별(및 도체) 37을 갖는 타원 $곡선{\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$3 - ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ y$^{2}-y=x^{3}-x$는 형태와 관련된다.

$\displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots,\qquad q=e^{2\pi iz}$

37이 아닌 소수 θ의 경우 계수에 대한 특성을 확인할 수 있습니다.따라서 θ = 3의 경우, (0, 0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1) 등식의 해는 6개이며, 따라서 a(3) = 3 - 6 = - 3이다.

1950년대로 거슬러 올라가는 이 추측은 1999년 앤드류 와일즈의 아이디어를 사용하여 완전히 입증되었으며, 그는 1994년 타원곡선의 ^[15]대가족에 대해 증명했다.

그 추측에는 몇 가지 공식이 있다.이들이 동등하다는 것을 보여주는 것이 20세기 후반의 수 이론의 주요 과제였다.도체 N의 타원곡선 E의 모듈화는 모듈러곡선₀ X(N)에서 E까지의 Q에 대해 정의된 비정수 유리맵이 있음을 나타내는 것으로도 표현할 수 있다.특히 E의 포인트는 모듈러 함수에 의해 파라미터화할 수 있다.

${\displaystyle {예}^{}}$를 들어, y${\displaystyle {}^{}2}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$3 -$$ {\$displaystyle y^{2$}-$y=x^{3}-$x$$} $곡선$의 모듈식 매개변수화는 다음과 같이 주어진다^[16].

${\displaystyle {displaystyle}x(z)&=q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+51q^{4}+\cdots \\y(z)&={-3}+3q^{-1}+9q^{-1}+q^2+q^92}$

여기서 위와 같이 q = exp(2guiz)입니다.함수 x(z)와 y(z)는 무게 0과 수준 37의 모듈러형이다. 즉, 이들은 상부 하프 플레인 Im(z) > 0에서 정의되며 다음을 만족한다.

$디스플레이 스타일 x!\leftfrac\frac {az+b}{cz+d}}\right)=x(z)}$

y(z)의 경우에도 마찬가지로 ad - bc = 1 및 37 c인 모든 정수 a, b, c, d에 대해서도 마찬가지입니다.

또 다른 공식은 한편으로는 타원 곡선에, 다른 한편으로는 모듈러 형태에 부착된 갈로아 표현들의 비교에 달려 있다.후자의 공식은 추측의 증거에 사용되어 왔다.형상의 수준(및 곡선의 도체와의 연결)을 다루는 것은 특히 까다롭다.

이 추측의 가장 놀라운 적용은 페르마의 마지막 정리(FLT)의 증명이다.소수 p ≤ 5에 대해 페르마 방정식이

${\displaystyle a^{p}+b^{p}}=c^{p}}$

에는 0이 아닌 정수를 가진 솔루션이 있으므로 FLT에 대한 반대 예시가 됩니다.그리고 이브 헬레구아치가 가장 먼저 ^[17]알아차린 것처럼 타원곡선은

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p}(x+b^{p})}$

분별력이 있는

${\displaystyle \Delta = flac {1}{256}(표준)^{2p}$

모듈러일 ^[5]수 없습니다.그래서 타니야마의 증거는...시무라이 타원 곡선군에 대한 Weil 추측(헬레구아치-프레이 곡선이라고 함)은 FLT를 의미한다.게르하르트 프레이(1985)의 생각에 기초한 이 두 진술 사이의 연관성에 대한 증거는 어렵고 기술적이다.1987년 ^[18]Kenneth Ribet에 의해 설립되었습니다.

메모들

레퍼런스

• Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2001), "On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises", Journal of the American Mathematical Society, 14 (4): 843–939, doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8, ISSN 0894-0347, MR 1839918
• Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (1999), "Modularity of certain potentially Barsotti–Tate Galois representations", Journal of the American Mathematical Society, 12 (2): 521–567, doi:10.1090/S0894-0347-99-00287-8, ISSN 0894-0347, MR 1639612
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H.; Stevens, Glenn, eds. (1997), Modular forms and Fermat's last theorem, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94609-2, MR 1638473
• 정리에 대한 부드러운 소개와 증명 개요가 포함되어 Darmon, Henri (1999), "A proof of the full Shimura–Taniyama–Weil conjecture is announced" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 46 (11): 1397–1401, ISSN 0002-9920, MR 1723249있습니다.
• Diamond, Fred (1996), "On deformation rings and Hecke rings", Annals of Mathematics, Second Series, 144 (1): 137–166, doi:10.2307/2118586, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118586, MR 1405946
• Freitas, Nuno; Le Hung, Bao V.; Siksek, Samir (2015), "Elliptic curves over real quadratic fields are modular", Inventiones Mathematicae, 201 (1): 159–206, arXiv:1310.7088, Bibcode:2015InMat.201..159F, doi:10.1007/s00222-014-0550-z, ISSN 0020-9910, MR 3359051, S2CID 119132800
• Frey, Gerhard (1986), "Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations", Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae, 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268, MR 0853387
• Mazur, Barry (1991), "Number theory as gadfly", The American Mathematical Monthly, 98 (7): 593–610, doi:10.2307/2324924, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324924, MR 1121312 타니야마에 대해서시무라무한히 많은 경우에 대해 증명되기 전 3년 동안 Weil 추측이 있었다.
• Ribet, Kenneth A. (1990), "On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms", Inventiones Mathematicae, 100 (2): 431–476, Bibcode:1990InMat.100..431R, doi:10.1007/BF01231195, hdl:10338.dmlcz/147454, ISSN 0020-9910, MR 1047143, S2CID 120614740
• Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q)", Duke Mathematical Journal, 54 (1): 179–230, doi:10.1215/S0012-7094-87-05413-5, ISSN 0012-7094, MR 0885783
• Shimura, Goro (1989), "Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections", The Bulletin of the London Mathematical Society, 21 (2): 186–196, doi:10.1112/blms/21.2.186, ISSN 0024-6093, MR 0976064
• Singh, Simon (1997), Fermat's Last Theorem, ISBN 978-1-85702-521-7
• Taniyama, Yutaka (1956), "Problem 12", Sugaku (in Japanese), 7: 269 영어 번역 (시무라 1989, 페이지 194)
• Taylor, Richard; Wiles, Andrew (1995), "Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras", Annals of Mathematics, Second Series, 141 (3): 553–572, CiteSeerX 10.1.1.128.531, doi:10.2307/2118560, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118560, MR 1333036
• Weil, André (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen, 168: 149–156, doi:10.1007/BF01361551, ISSN 0025-5831, MR 0207658, S2CID 120553723
• Wiles, Andrew (1995a), "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem", Annals of Mathematics, Second Series, 141 (3): 443–551, CiteSeerX 10.1.1.169.9076, doi:10.2307/2118559, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118559, MR 1333035
• Wiles, Andrew (1995b), "Modular forms, elliptic curves, and Fermat's last theorem", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 243–245, MR 1403925

외부 링크

• Darmon, H. (2001) [1994], "Shimura–Taniyama conjecture", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Taniyama–Shimura Conjecture". MathWorld.