오일러 항등식

수학에서 오일러 항등식^{[note 1]}(Euler's equation)은 등식입니다.

e^{i\pi}+1=0

어디에

e

e

는

e

오일러의 수이며, 자연로그의 기본값입니다.

i

i

는 정의상

i

i^{2}=-1

=

i^{2}=-1

-

i^{2}=-1

1 {\displaystyle i

^

{2}=-1}을 만족하는 가상 단위이며,

π

{\

displaystyle

\pi}은

(

는) 원의 둘레와 지름의 비율인 pi입니다.

오일러의 정체는 스위스 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따서 지어졌습니다. 이것은 x = π {\displaystyle x=\pi}에 대해 평가할 때 ⁡ $x$ {\displaystyle e^{ix} =\cos x+i\sin x}의 오일러 공식 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ = $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ⁡ $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ x + $i$ 의 특별한 경우입니다. 오일러의 항등식은 수학에서 가장 기본적인 수 사이의 깊은 연관성을 보여주기 때문에 수학적 아름다움의 본보기로 여겨집니다. 또한 π이 초월적이라는 증명에 직접 사용되며, 이는 원을 제곱하는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다.

수학적 아름다움

오일러의 정체성은 종종 깊은 수학적 아름다움의 예로 언급됩니다.^[5] 기본 산술 연산 중 세 가지는 덧셈, 곱셈, 지수화로 정확히 한 번씩 이루어집니다. 이 항등식은 또한 다음과 같은 다섯 가지 기본적인 수학 상수를 연결합니다.^[6]

숫자 0, 가법적 정체성.
숫자 1, 곱셈 정체.
숫자 π(π = 3.1415...), 기본 원 상수.
수 e(e = 2.718...)는 수학적 분석에서 널리 사용되는 오일러 수이라고도 합니다.
복소수의 허수 $단위$ 인 숫자 i.

방정식은 수학의 여러 영역에서 일반적으로 사용되는 0과 같은 표현 집합의 형태로 제공되는 경우가 많습니다.

스탠포드 대학의 수학 교수인 키스 데블린은 "사랑의 본질을 포착한 셰익스피어의 소네트나 단순한 피부 깊은 곳 이상의 인간 형태의 아름다움을 끌어낸 그림처럼 오일러의 방정식은 존재의 가장 깊은 곳에 도달한다"^[7]고 말했습니다. 그리고 푸리에 분석에서 오일러의 공식과 그 응용에 전념하는 책을 쓴 뉴햄프셔 대학의 명예교수 폴 나힌은 오일러의 정체성을 "절묘한 아름다움"이라고 묘사합니다.^[8]

수학 작가 콘스탄스 리드는 오일러의 항등식이 "모든 수학에서 가장 유명한 공식"이라고 의견을 제시했습니다.^[9] 그리고 19세기 미국 철학자, 수학자, 하버드 대학교 교수인 벤자민 피어스는 강의에서 오일러의 정체성을 증명한 후 그 정체성은 "절대 역설적이다; 우리는 그것을 이해할 수 없고, 그것이 무엇을 의미하는지 모르지만, 우리는 그것을 증명했고, 그러므로 우리는 그것이 진실이어야 한다는 것을 안다"고 말했습니다.^[10]

1990년에 The Mathematical Intelligencer에 의해 실시된 독자들을 대상으로 한 여론조사는 오일러의 정체성을 "수학에서 가장 아름다운 정리"로 명명했습니다.^[11] 2004년 물리학 월드가 독자들을 대상으로 실시한 또 다른 여론조사에서 오일러의 정체성은 맥스웰 방정식과 "역대 가장 위대한 방정식"으로 연결되었습니다.^[12]

오일러의 정체성에 관한 대중 수학 책은 적어도 세 권 이상 출판되었습니다.

오일러 박사의 멋진 공식: 많은 수학적 병을 치료합니다, 폴 나힌 (2011)^[13]
가장 우아한 방정식: 오일러 공식과 수학의 아름다움, 데이비드 스팁(David Stipp) (2017)^[14]
오일러의 선구 방정식: Robin Wilson(2018)의 수학에서 가장 아름다운 정리.^[15]

설명

허수 지수

이 애니메이션에서 $N$ 은 1부터 100까지의 다양한 증가 값을 취합니다. $(1$ + $i$ π/N)의 계산은 복소 평면에서 N번 반복 곱셈의 $결합$ 효과로 표시되며, 최종 지점은( $1$ + i π/N)의 실제 $값$ 입니다. $N$ 이 커질수록 $(1$ + $i$ π/N)은 -1의 극한에 가까워짐을 알 수 있습니다.

기본적으로 오일러의 항등식은 $e^{i\pi }$ π ${\displaystyle$ e $^{$ i\pi}}는 -1과 같다고 주장합니다. $e^{i\pi }$ π {\ $displaystyle e^{$ i\pi}}는 $ez {\displaystyle$ e^{z $}}$ 의 특수한 경우이며, $여기$ 서 z는 임의의 복소수입니다. 일반적으로 $e^{z}$ ${\$ 는 복소 $z$ 에 대해 지수 함수의 정의 중 하나를 실수 지수에서 복소 지수로 확장하여 정의됩니다 $e^{z}$ . 예를 들어 한 가지 일반적인 정의는 다음과 같습니다.

e^{z}=\lim_{n\to \infty}\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}

따라서 오일러의 항등식은 $n$ 이 무한대에 접근할 때 $(1+i\pi /n)^{n}$ ( $(1+i\pi /n)^{n}$ + i $(1+i\pi /n)^{n}$ π / $(1+i\pi /n)^{n}$ n) n ${\displaystyle (1$ + i $\pi$ / n)^{n}의 극한은 -1과 같다고 말합니다. 이 한계는 오른쪽 애니메이션에 나와 있습니다.

오일러의 항등식은 임의의 $실수$ x에 대하여,

e^{ix}=\cos x+i\sin x

여기서 삼각함수 사인과 코사인의 입력은 라디안으로 표시됩니다.

$특히$ $x$ = π일 때,

e^{i\pi} =\cos \pi +i\sin \pi.

부터

\cos \pi = -1

그리고.

\sin \pi = 0,

그 후에

e^{i\pi }=-1+0i,

오일러의 항등식은 다음과 같습니다.

e^{i\pi}+1=0.

기하학적 해석

임의의 복소수 $z=x+iy$ = x $+$ $z=x+iy$ {\ $displaystyle$ z = x + $iy}$ 는 복소수 평면에서 점 (x, y) {\displaystyle (x, y)}로 표현될 수 있습니다. 이 점은 극좌표에서도 $(r,\theta )$ ( $(r,\theta )$ θ) ${\displaystyle (r$ theta )}로 표현할 수 있습니다. 여기서 r은 z( $\theta$ 으로부터의 거리)의 절대값이고 $,$ θ {\displaystyle \theta }는 z(양의 x축으로부터 반시계 방향으로 각도)의 인수입니다. 사인과 코사인의 정의에 따라, 이 점은 $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ ( $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ ⁡ θ, r $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ ⁡ θ) ${\displaystyle$ (r\cos \theta, r\sin \theta )}의 직각좌표를 가지며, 이는 z = r (cos ⁡ θ + in ⁡ θ) {\displaystyle z = r(\cos \theta + i\sin \theta )}임을 의미합니다. 오일러의 공식에 따르면, 이는 $z=re^{i\theta }$ = $z=re^{i\theta }$ θ {\displaystyle z = re^{i\theta }}라고 말하는 것과 같습니다.

오일러의 항등식은 $-1=e^{i\pi }$ = $-1=e^{i\pi }$ $e^{i\pi }$ π {\displaystyle $-1$ = e^{i\pi}}라고 합니다 $.$ ei π {\ $displaystyle$ e^{i\pi}}는 r = 1 및 θ = π {\displaystyle \theta =\pi}에 대해 {\displaystyle re^{i\theta }이므로, 이는 복소평면의 숫자 -1에 대한 사실로 해석될 수 있습니다: 원점으로부터의 거리는 1이고 양의 x축으로부터의 각도는 $\pi$ π ${\displaystyle \$ pi} 라디안입니다.

또한 임의의 복소수 z에 $e^{i\theta }$ θ {\ $displaystyle e$ ^{i $e^{i\theta }$ theta }}를 곱하면 z가 복소수 평면에서 $\theta$ θ {\displaystyle \theta $\theta$ }만큼 반시계 방향으로 회전하는 효과가 있습니다. -1 곱하기는 원점을 가로지르는 점을 반영하기 때문에 오일러의 항등식은 원점을 중심으로 임의의 점 $\pi$ π ${\$ displaystyle \pi} 라디안을 회전시키면 원점을 가로지르는 점을 반영하는 것과 동일한 효과가 있다는 것으로 해석될 수 있습니다. 마찬가지로, $\theta$ θ {\displaystyle $\theta$ \theta }를 $2$ π $2\pi$ {\displaystyle 2\pi }로 설정하면 $e^{2\pi i}=1,$ $e^{2\pi i}=1,$ e $e^{2\pi i}=1,$ π i = $1,$ {\ $displaystyle$ e^{2\pi }= 1이 생성되며, 이는 원점을 한 바퀴 돌면 원점으로 돌아간다는 뜻으로 해석될 수 있습니다.

일반화

오일러의 항등식은 $또한$ n > $1$ 에 대하여 n의 합이 0까지 더해지는 더 일반적인 항등식의 특별한 경우입니다.

\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.

$오일러$ 항등식은 n = $2$ 인 경우입니다.

수학의 다른 분야에서는 4차 지수를 사용함으로써 유사한 항등식이 4차에도 적용된다는 것을 보여줄 수 있습니다. ${i,$ $j,$ k $}$ 를 기본 요소로 설정하면,

e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.

일반적으로 실수 $a$ , $a$ , $a$ 가 $a$ + a + $a$ = $1$ 이 되도록 주어지면,

e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.

팔분의 경우, $a 12$ + a + $... 와 22$ 같은 실수 $a$ 를_n 사용합니다. $+ a$ = $1$ 이고, 팔색조 원소 { $i,$ i, $...,$ i $}$ 가 있는 경우

e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.

역사

오일러의 정체성은 1748년 그의 기념비적인 수학적 분석 연구서인 무한 분석의 도입에서 발표된 오일러 공식의 직접적인 결과이지만,^[16] 5개의 기본 상수를 콤팩트한 형태로 연결하는 특정 개념이 오일러 자신에게 귀속될 수 있는지는 의문입니다. 왜냐하면 오일러는 결코 이를 표현하지 않았을 수 있기 때문입니다.^[17]

로빈 윌슨은 다음과 같이 말합니다.^[18]

우리는 요한 베르누이와 로저 코테스의 결과로부터 [울러의 정체성]이 쉽게 추론될 수 있다는 것을 보았지만, 그 둘 모두 그렇게 하지 않은 것으로 보입니다. 오일러조차도 그것을 명시적으로 적지 않은 것처럼 보입니다. 그리고 확실히 그것은 그의 어떤 출판물에도 나타나지 않습니다. 비록 그는 그것이 자신의 정체성에서 바로 뒤따른다는 것을 분명히 깨달았을 것입니다. 오일러 공식], e = cos x + 는 x 에 있습니다. 게다가 누가 처음에 명시적으로 결과를 말했는지는 알려지지 않은 것 같습니다.

참고 항목

메모들

^ "Euler's identity"(또는 "Euler identity")라는 용어는 다른 곳에서도 사용되며, 관련 일반식 $e$ = $cos$ x + $i$ sin $x$ 및 Euler 곱 공식을 포함한 다른 개념을 지칭합니다. 레온하르트 오일러의 이름을 딴 것의 목록도 참조하십시오.

참고문헌

^ 1999년 더넘, p. xxiv.
^ Stepanov, S.A. (2001) [1994], "Euler identity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
^ Milla, Lorenz (2020), The Transcendence of π and the Squaring of the Circle, arXiv:2003.14035
^ Hines, Robert. "e is transcendental" (PDF). University of Colorado. Archived (PDF) from the original on 2021-06-23.
^ Gallagher, James (13 February 2014). "Mathematics: Why the brain sees maths as beauty". BBC News Online. Retrieved 26 December 2017.
^ 파울로스, 1992, 117쪽.
^ 나힌, 2006, 1쪽.
^ 나힌, 2006년, p. xxxxii.
^ 리드, e장
^ Maor, 160쪽, 그리고 Kasner & Newman, 103~104쪽.
^ 웰스, 1990.
^ Crease, 2004.
^ Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills. Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.
^ Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (First ed.). Basic Books. ISBN 978-0465093779.
^ Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.
^ 콘웨이 & 가이, 254-255쪽.
^ 샌디퍼, 4쪽.
^ 윌슨, 151-152쪽.

원천

Conway, John H. and Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer ISBN 978-0-387-97993-9
Crease, Robert P. (2004년 5월 10일), "역대 가장 위대한 방정식", 물리학 세계 [등록 필요]
더넘, 윌리엄 (1999), 오일러: 마스터 오브 어스, 미국 수학 협회 ISBN 978-0-88385-328-3
오일러, 레온하르트(1922), 레온하르트 을레리 오페라 옴니아. 1, 오페라 수학. 음역 분석에서 제8권, 레온하르디 에우레리 소개. 토무스 프리무스, 라이프치히: B. G. 튜브네리
캐스너, E. 그리고 뉴먼, J. (1940), 수학과 상상, 사이먼 & 슈스터
Maor, Eli (1998), $e$ : 숫자의 이야기, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7
나힌, 폴 J. (2006), 오일러 박사의 멋진 공식: 많은 수학적 병을 치료하다, 프린스턴 대학 출판부 ISBN 978-0-691-11822-2
Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: 흔치 않은 수학사전, 펭귄책 ISBN 0-14-014574-5
리드, 콘스탄스 (다양한 판본), 제로에서 인피니티까지, 미국 수학 협회
샌디퍼, C. Edward(2007), Euler's Greatest Hits, America Mathematical Association ISBN 978-0-88385-563-8
Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books
Wells, David (1990). "Are these the most beautiful?". The Mathematical Intelligencer. 12 (3): 37–41. doi:10.1007/BF03024015. S2CID 121503263.
Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-192-51406-6
Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), "The experience of mathematical beauty and its neural correlates", Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150, PMID 24592230

외부 링크

오일러 공식에 대한 직관적인 이해

[3] "Euler's identity"(또는 "Euler identity")라는 용어는 다른 곳에서도 사용되며, 관련 일반식 $e$ = $cos$ x + $i$ sin $x$ 및 Euler 곱 공식을 포함한 다른 개념을 지칭합니다. 레온하르트 오일러의 이름을 딴 것의 목록도 참조하십시오.

[1] 1999년 더넘, p. xxiv.

[EOM-2] Stepanov, S.A. (2001) [1994], "Euler identity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[4] Milla, Lorenz (2020), The Transcendence of π and the Squaring of the Circle, arXiv:2003.14035

[5] Hines, Robert. "e is transcendental" (PDF). University of Colorado. Archived (PDF) from the original on 2021-06-23.

[Gallagher2014-6] Gallagher, James (13 February 2014). "Mathematics: Why the brain sees maths as beauty". BBC News Online. Retrieved 26 December 2017.

[7] 파울로스, 1992, 117쪽.

[8] 나힌, 2006, 1쪽.

[9] 나힌, 2006년, p. xxxxii.

[10] 리드, e장

[11] Maor, 160쪽, 그리고 Kasner & Newman, 103~104쪽.

[12] 웰스, 1990.

[13] Crease, 2004.

[14] Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills. Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.

[15] Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (First ed.). Basic Books. ISBN 978-0465093779.

[16] Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.

[17] 콘웨이 & 가이, 254-255쪽.

[Sandifer2007-18] 샌디퍼, 4쪽.

[19] 윌슨, 151-152쪽.

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