잘 정돈되어 있다

추이적 이원 관계

	대칭	반대칭의	연결된	근거가 있다	조인 있음	만나다	재귀적	비반사적	비대칭
			합계, Semicnex					안티 반사적인
등가관계	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
예약판매(쿼시퍼)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
부분순서	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
예약주문합계	✗	✗	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
총주문량	✗	Y	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
사전 주문	✗	✗	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
준주문	✗	✗	✗	Y	✗	✗	Y	✗	✗
순서부여	✗	Y	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
격자	✗	Y	✗	✗	Y	Y	Y	✗	✗
조인-반매티시	✗	Y	✗	✗	Y	✗	Y	✗	✗
미팅-반매티시	✗	Y	✗	✗	✗	Y	Y	✗	✗
엄밀한 부분순서	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
엄격한 약질서	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
엄밀한 토탈 오더	✗	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	Y
	대칭	반대칭의	연결된	근거가 있다	조인 있음	만나다	재귀적	비반사적	비대칭
$정의 :$ $모든$ a, b{ $displaystyle$ a $, b$ } $S\neq \varnothing :$ S $S\neq \varnothing :$ : $S\neq \varnothing :$ {\ $displaystyle$ S $\neq \varnothing :}$	$(\displaystyle\begin{aligned}&aRb\\\오른쪽 화살표 {}&bRa\end{aligned})$	${\begin{aligned}aRb{\text}및\bRa\\\rightarrow a={}&b\end{aligned}$	${\begin{aligned}a\b\rightarrow\aRb{\text{또는 }}}&bRa\end{aligned}$	$(\displaystyle\begin{aligned}\min S\{\text{exists}}\end{aligned})$	$(\displaystyle { aligned}a \ text { } \ end { aligned } )$	$(\displaystyle\displaystyle\text{aligned}\end{aligned})$	$aRa$	${\displaystyle\text{}aRa}$	$(\displaystyle {begin{aligned}aRb\오른쪽 화살표\{\text{not}}bRa\end{aligned}})$

는 열의 속성이 행의 항의 정의에 필요함을 나타냅니다(맨 왼쪽).예를 들어, 동등성 관계의 정의에서는 대칭이어야 합니다."는 속성이 유지되거나 유지되지 않을 수 있음을 나타냅니다.모든 정의는 동질관계

(\displaystyle

R

)

을

R

암묵적으로 필요로 합니다.R

(\displaystyle aRb}

bRc

B c

(\

displaystyle bRc)

의

bRc

경우

모든

a

,

displaystyle

bRc

)

에

a,b,c,

aRc,

대해

동질관계를 충족할 수 있는 추가 속성이 있습니다.

수학에서, 집합 S의 정순서(또는 정순서 또는 정순서 관계)는 S의 모든 정순서 집합 S의 정순서 집합 S의 정순서 집합 S의 정순서 집합 S의 정순서이다.그 후, 집합 S와 순서 관계가 잘 정렬된 집합이라고 부릅니다.일부 학술 기사와 교과서에서는 이 용어들이 질서 정연하게, 질서 정연하게, 또는 질서 정연하게, 질서 정연하게, 그리고 질서 정연하게 쓰여져 있다.

비어 있지 않은 모든 정렬된 집합에는 최소 요소가 있습니다.가능한 가장 큰 요소를 제외하고 잘 정렬된 집합의 모든 요소는 고유한 후계 요소(다음 요소), 즉 s보다 큰 모든 요소의 하위 집합의 최소 요소를 가진다.선행 요소가 없는 최소 요소 외에 다른 요소가 있을 수 있습니다(아래의 § 자연 번호 참조).정렬된 집합 S는 상한을 갖는 모든 서브셋 T에 대해 최소 상한, 즉 S에서의 T의 모든 상한을 갖는 서브셋의 최소 요소를 포함한다.

가 엄밀한 웰 오더 이외의 경우 <는 엄밀한 웰 오더입니다.확실한 근거가 있는 전체 질서일 경우에만 관계는 엄밀한 질서입니다.엄격한 웰오더와 엄격한 웰오더의 구별은 쉽게 상호 변환이 가능하기 때문에 무시되는 경우가 많습니다.

모든 정렬된 집합은 정렬된 집합의 순서 유형이라고 불리는 고유한 순서 숫자와 고유하게 동형입니다.선택 공리와 동등한 순서 정리는 모든 집합이 순서 정리가 잘 될 수 있다는 것을 말한다.집합이 잘 정리되어 있는 경우(혹은 단순히 충분한 근거를 가진 관계를 인정하는 경우에도) 초한 유도의 증명 기법을 사용하여 집합의 모든 요소에 대해 주어진 진술이 참임을 증명할 수 있습니다.

자연수가 보통보다 작은 관계에서 잘 정렬된다는 관찰을 일반적으로 (자연수의 경우) 잘 정렬되는 원리라고 합니다.

서수

모든 정렬된 집합은 정렬된 집합의 순서 유형이라고 불리는 고유한 순서 숫자와 고유하게 동형입니다.순서 집합 내의 각 요소의 위치도 순서 번호로 지정됩니다.유한 집합의 경우, 카운팅의 기본 조작은 특정 객체의 서수를 구하거나 특정 서수를 가진 객체를 찾는 것에 대응한다.유한 집합의 크기(요소 수, 기수)는 순서 유형과 동일합니다.일상적 의미의 카운트는 일반적으로 1부터 시작되므로 각 오브젝트에 해당 오브젝트를 마지막 요소로 하는 초기 세그먼트의 크기를 할당합니다.이 숫자들은 동형 순서에 따른 형식 서수보다 하나 더 많은 것에 유의하십시오. 왜냐하면 이 숫자들은 이전의 개체 수와 같기 때문입니다(이는 0부터 카운트하는 것에 해당합니다).따라서 유한 n의 경우, 잘 정렬된 집합의 식 "n번째 요소"는 이것이 0에서 카운트되는지 또는 1에서 카운트되는지를 알기 위해 컨텍스트가 필요합니다.β가 무한 서수일 수도 있는 "β-th element" 표기법에서는 일반적으로 0부터 카운트됩니다.

무한 집합의 경우 순서 유형에 따라 카디널리티가 결정됩니다.단, 그 반대는 아닙니다.특정 카디널리티의 올바른 순서 집합에는 여러 가지 순서 유형이 있을 수 있습니다.단순한 예는 섹션 #자연수를 참조하십시오.셀 수 있는 무한 집합의 경우 가능한 순서 유형 집합은 셀 수 없습니다.

예와 반례

자연수

자연수의 표준순서 θ는 순서가 적절하고 0이 아닌 자연수마다 고유한 선행자가 있다는 부가적 특성이 있습니다.

자연수의 또 다른 순서는 모든 짝수가 모든 홀수보다 작다는 것을 정의함으로써 얻을 수 있으며, 일반적인 순서는 ev와 오즈 내에서 적용된다.

0 2 4 6 8 ... 1 3 5 7 9 ...

이것은 순서 타입 「+」의 순서 세트입니다.모든 요소에는 후계 요소가 있습니다(가장 큰 요소는 없습니다).이전 요소인 0과 1은 없습니다.

정수

예를 들어 음의 정수 집합에는 최소 원소가 포함되어 있지 않기 때문에 자연수의 표준 순서 θ와 달리 정수의 표준 순서 θ는 양호한 순서가 아니다.

다음 관계 R은 정수의 올바른 순서를 나타내는 예입니다.x R y는 다음 조건 중 하나에 해당하는 경우에만 해당됩니다.

x = 0
x는 양수, y는 음수
x와 y는 모두 양수이고 x µ y는 양수입니다.
x와 y는 모두 음수이고 x µ y는 음수입니다.

이 관계 R은 다음과 같이 시각화할 수 있습니다.

0 1 2 3 4 ...−1 −2 −3 ...

R은 서수 θ + θ와 동형이다.

정수의 순서를 잘 정하는 또 다른 관계는 다음과 같은 정의입니다: x x _zy if and only if ( x < y 또는 ( x = y and x ≤ y)).이 웰 순서는 다음과 같이 시각화할 수 있습니다.

0 −1 1 −2 2 −3 3 −4 4 ...

이것은 오더 타입 ω 입니다.

리얼

예를 들어 오픈 인터벌(0, 1) 0 [ 0 , 1 ]에는 최소한의 요소가 포함되어 있지 않기 때문에 실제 인터벌의 표준 순서 of는 적절한 순서가 아닙니다.집합론의 ZFC 공리(선택 공리 포함)에서 실수의 순서가 잘 되어 있음을 알 수 있다.또한 바츠와프 시에르핀스키는 ZF + GCH(일반화된 연속체 가설)가 선택 공리를 의미하며 따라서 실수의 양호한 순서를 의미함을 증명했다.그럼에도 불구하고, ZFC+GCH 공리만으로는 정의 가능한 (공식을 통해) ^[1]실수의 우물 순서의 존재를 증명하기에 충분하지 않다는 것을 보여줄 수 있다.그러나 정의 가능한 실(well) 순서가 존재하는 것은 ZFC와 일치한다. 예를 들어, 실(v)=L인 ZFC와 일치하며, ZFC+V=L에서 특정 공식은 실(well) 또는 실제로 모든 세트를 정렬한다.

표준 순서가 cannot인 실수의 셀 수 없는 부분 집합은 올바른 순서가 될 수 없습니다.X가 R의 부분집합이라고 가정하자.X의 각 x에 대해, s(x)가 X의 θ순서에서의 x의 후속이라고 하자(x가 X의 마지막 원소가 아닌 경우).요소가 비어 있지 않고 분리된 간격인 A = { (x, s(x) x x X }라고 합니다.각 간격은 적어도 1개의 유리수를 포함하므로 A에서 Q까지의 주입함수가 있다.X에서 A로의 주입이 있습니다(나중에 0으로 매핑될 수 있는 X의 마지막 요소는 제외).그리고 Q에서 자연수로의 주입이 있다는 것은 잘 알려져 있다(이것은 0에 도달하는 것을 피하기 위해 선택될 수 있다).따라서 X에서 자연수로의 주입이 존재하며, 이는 X가 셀 수 있다는 것을 의미합니다.한편, 헤아릴 수 있는 무한 부분 집합은 표준 "θ"의 웰 순서일 수도 있고 아닐 수도 있다.예를들면,

자연수는 표준 오더 ≤의 웰 오더입니다.
집합 {1/n: n = 1,2,3,...}는 최소 요소가 없으므로 표준 주문 ≤에 따른 웰 오더가 아닙니다.

Well Order의 예:

숫자 세트 { - 2⁻ⁿ 0 n n < }은(는) 순서 타입이 「」
숫자 세트 { - 2⁻ⁿ - 2^−m−n 0 m m,n < } }에는 순서 타입이 있습니다².이전 세트는 세트 내의 한계점 세트입니다.일반 토폴로지 또는 순서 토폴로지 중 하나의 실수의 집합 내에서0 은 집합의 제한점이 됩니다.또한 한계점 집합의 한계점이기도 합니다.
숫자 집합⁻ⁿ { - 2 0 < n < ω } 1 { 1 }의 순서 유형은 type + 1입니다. 이 집합의 순서 토폴로지에서 1은 집합의 한계점입니다.실수의 통상의 토폴로지(또는 이에 상당하는 순서 토폴로지)에서는 그렇지 않습니다.

등가 제제

집합이 완전히 정렬된 경우 다음 항목이 서로 동일합니다.

세트가 잘 정돈되어 있다.즉, 비어 있지 않은 모든 하위 집합에는 최소 요소가 있습니다.
초한 유도는 전체 주문 집합에 대해 작동합니다.
엄격하게 감소하는 모든 세트의 요소 시퀀스는 최종적인 많은 단계(의존적 선택 공리 가정) 후에 종료되어야 합니다).
모든 하위 순서는 초기 세그먼트와 동형입니다.

순서 토폴로지

순서 토폴로지로 엔딩을 지정하면 순서가 잘 정렬된 모든 세트를 토폴로지 공간으로 만들 수 있습니다.

이 토폴로지에는 다음 두 가지 요소가 있습니다.

격리된 포인트:이것들은 최소값과 선행 요소가 있습니다.
한계점: 이 유형은 유한 집합에서는 발생하지 않으며 무한 집합에서는 발생할 수도 있고 발생하지 않을 수도 있습니다.제한점이 없는 무한 집합은 순서 유형 '의 집합입니다.예를 들어 N입니다.

서브셋의 경우 다음과 같이 구분할 수 있습니다.

최대값을 가지는 서브셋(즉, 그 자체로 경계가 되는 서브셋).이것은 전체 세트의 고립점 또는 한계점이 될 수 있습니다.후자의 경우 서브셋의 한계점이 될 수도 있고 아닐 수도 있습니다.
그 자체에 의해 제한되지만 전체 집합에서 경계가 있는 부분 집합. 최대값은 없지만 부분 집합 외부의 상위값이 있습니다. 부분 집합이 비어 있지 않으면 이 상위값이 부분 집합의 한계점이 되고, 따라서 전체 집합이 비어 있으면 이 상위값이 전체 집합의 최소값입니다.
전체 집합에서 바인딩되지 않은 하위 집합입니다.

서브셋이 전체 집합에서 제한되지 않거나 전체 집합의 최대값인 최대값을 가지는 경우에만 전체 집합에서 공동 최종값이 됩니다.

토폴로지 공간으로서 잘 정렬된 집합은 순서 유형이 θ₁(오메가 원) 이하인 경우에만, 즉 집합이 카운트 가능하거나 카운트 불가능 순서 유형이 가장 작은 경우에만 첫 번째 카운트 가능 공간입니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Feferman, S. (1964). "Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets". Fundamenta Mathematicae. 56 (3): 325–345. doi:10.4064/fm-56-3-325-345.

Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Pure and applied mathematics (2nd ed.). Wiley. pp. 4–6, 9. ISBN 978-0-471-31716-6.

[1] Feferman, S. (1964). "Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets". Fundamenta Mathematicae. 56 (3): 325–345. doi:10.4064/fm-56-3-325-345.

[1]

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