멩거 스펀지

수학에서, 멩거 스펀지(Menger sponge, Menger 범용 곡선, Sierpinski sponge, 또는 Sierpinski sponge)^[1][2][3]는 프랙탈 곡선이다.1차원 칸토르 세트와 2차원 시에르핀스키 카펫을 입체적으로 일반화한 것입니다.그것은 1926년 칼 ^[4][5]멩거에 의해 위상차원의 개념에 대한 그의 연구에서 처음 기술되었다.

건설

Menger 스폰지의 구조는 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

1. 큐브부터 시작하세요.
2. 큐브의 모든 면을 루빅스 큐브처럼 9개의 정사각형으로 나누세요.이렇게 하면 큐브가 27개의 작은 큐브로 분할됩니다.
3. 각 면의 가운데에 있는 작은 입방체를 제거하고, 큰 입방체의 가장 중앙에 있는 작은 입방체를 제거하고, 20개의 작은 입방체를 남깁니다.레벨 1 멩거 스펀지입니다.
4. 나머지 각 작은 큐브에 대해 2단계와 3단계를 반복하고 무한정 반복합니다.

두 번째 반복은 레벨 2의 스펀지를, 세 번째 반복은 레벨 3의 스펀지를 제공합니다.Menger 스폰지 자체는 무한 반복 후 이 과정의 한계입니다.

특성.

Menger 스폰지의$n번째$ $스테이지$인 $($n$\})$은 각각 측면 길이가 (1/3)ⁿ인 $($ 스타일 $20^{$n$$})개의 작은 큐브로 ${\displaystyle {\mathrm{구성}}^{}}$됩니다.$(\$n$$})의 총 볼륨은${}^{}$($\$입니다.$^{n$${\displaystyle M_{}}$ n$${ $display style$ M _ { $n$}의 총 표면적은 2${\displaystyle }$( ${\displaystyle 20}$/${\displaystyle {}^{}9\mathrm{}}$ ) ${\displaystyle \mathrm{n}{}^{}}$+$4$ (${\displaystyle 8}$ /${\displaystyle {}^{}9\mathrm{}}$ )$$ { \ $displaystyle$2 ( $20 / 9$ )^ n$$} +$4$ ( 8 $/ 9$ )^$n$^[6][7]} {\ the the the the therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore $therefore{\displaystyle \mathrm{}}$ therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore by by by by 그러나 시공의 선택된 표면은 공사가 계속됨에 따라 완전히 뚫리게 되며, 따라서 한계치는 고체도 아니고 표면도 아닙니다. 토폴로지 치수가 1이고 그에 따라 곡선으로 식별됩니다.

구조물의 각 면은 시에르핀스키 카펫이 되고, 스펀지와 큐브의 대각선 또는 면의 중간선의 교점은 칸토르 세트이다.스펀지의 단면은 중심을 통과하고 대각선 공간에 수직인 정육각형으로 ^[8]6배 대칭으로 배열된 육각형이다.내림차순 크기의 육각형의 ${\displaystyle {수}_{}}$는 ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$- ${\displaystyle 1}$ - ${\displaystyle {12\mathrm{a}}_{}}$ - 2 a -$2 a$ _ { n - 1 } =$0 =$ 1$$,$$1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 6}$ { $displaystyle$ a$_$ { 0$$=$$1$, a$_ { 1 } = 1${\displaystyle }$、 \ a _ { 1 } = 6$$（ $a{\displaystyle {}_{}}$ _ { 1 } } = 6 }$$^[9]. . . 、 a _ 1 - 12 - 12 - 12$$= 6 、 a - 12 $6$}}}}}} 、 12 、 12 、 ${\displaystyle \text{12}{}_{}}$ 。

스펀지의 하우스도르프 치수는 log 20/log 3 2 2.727 。멩거 스펀지의 르베그 피복 치수는 다른 곡선과 동일한 1입니다.1926년 시공에서 스펀지는 모든 곡선이 멘거 스펀지의 부분집합과 동형성이라는 것을 보여주었다. 여기서 곡선은 치수 1을 덮는 르베게의 콤팩트메트릭 공간을 의미한다. 여기에는 임의의 개수의 가장자리, 정점 및 닫힌 루프가 아르비로 연결된 나무와 그래프가 포함된다.비극적인 방법마찬가지로 시에르핀스키 카펫은 2차원 평면에 그릴 수 있는 모든 곡선의 범용 곡선입니다.3차원으로 구성된 멩거 스펀지는 이 아이디어를 평면적이지 않은 그래프로 확장하여 임의의 수의 차원에 포함시킬 수 있습니다.

멩거 스펀지는 닫힌 집합이다; 또한 유계이기 때문에 하이네-보렐 정리는 그것이 콤팩트하다는 것을 암시한다.르베그 측정값이 0입니다.연속 경로를 포함하므로 셀 수 없는 집합입니다.

실험 결과, 같은 소재의 경우,^[10] Menger 스폰지 구조의 큐브는 모공이 없는 큐브보다 충격을 5배 더 잘 분산시킬 수 있는 것으로 나타났다.

형식적 정의

공식적으로 멩거 스펀지는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle M:=\bigcapab_{n\in\mathbb {N}}M_{n}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 M 0$(\$은 유닛 큐브입니다.

${\displaystyle M_{n+1}:=\left\{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R}^{3}:& {\display{\display}i,j,k\in\{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in{m}\{n}}$

메가멘저

MegaMenger는 런던 퀸 메리 대학의 매트 파커와 제임스 매디슨 대학의 로라 타알만이 개척한 가장 큰 프랙탈 모델 구축을 목표로 한 프로젝트였다.각 작은 큐브는 6장의 접이식 명함으로 만들어지며, 레벨 4 스펀지에 총 960,000을 제공합니다.그런 다음 외면을 Sierpinski 카펫 디자인이 인쇄된 종이 또는 골판지로 덮어서 미적으로 더욱 ^[11]쾌적하게 만듭니다.2014년에는 20개의 레벨 3 멩거 스펀지가 제작되었으며, 이를 합치면 레벨 4 ^[12]멩거 스펀지가 형성됩니다.

• 

  배스 대학의 메가맹거 중 한 명

• 

  2015 캠브리지 과학 축제에서 캠브리지 레벨 3 메가멘저 중앙을 통해 본 테트릭스 모형

유사 프랙탈

예루살렘 입방체

예루살렘 큐브는 2011년 Eric Baird가 묘사한 프랙탈 물체이다.그것은 그리스 십자가 모양의 구멍을 ^[13][14]큐브에 재귀적으로 뚫어서 만들어집니다.구조는 멩거 스펀지와 비슷하지만 두 개의 다른 크기의 큐브를 가지고 있습니다.그 이름은 예루살렘 십자가 ^[15]무늬를 닮은 큐브의 표면에서 유래되었다.

예루살렘 큐브의 구조는 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

1. 큐브부터 시작하세요.
2. 큐브의 각 면을 십자 모양으로 잘라 원래 큐브의 모서리에 8개의 큐브(랭크 +1)와 +1의 큐브 사이의 원래 큐브 모서리에 12개의 작은 큐브(랭크 +2)를 둡니다.
3. 랭크 1과 2의 큐브에서 이 과정을 반복합니다.

무한히 반복하면 예루살렘 큐브가 됩니다.

순위 N의 입방체의 모서리 길이는 순위 N+1의 2개의 입방체와 순위 N+2의 입방체의 길이와 같으므로 스케일링 계수가 k${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$ $(\displaystyle$ k$^{2}+2k=1$을 $만족$해야 하며, $따라서{\displaystyle }$ k ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2}$-$$ (\$displaystyle$ k $=sqrt {}-1)$은 fructal {\cructural}의$$ 의미를 갖는다.

랭크 N의 입방체는 랭크 N+1의 8개의 입방체와 랭크 N+2의 12개의 입방체로 세분되므로, 하우스도르프 치수는 8${\displaystyle {}^{}\mathrm{k}}$ d${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle k^{}}$ 2)${\displaystyle {}^{}{}^{}}$d $=$ ${\displaystyle 1}$ ({$displaystyle 8k^{d}+12(k^{2})=$1}을$$$만족$해야 한다.정확한 해결책은

${\displaystyle d=black\leftfrac{6}-{\flac {1}{3}}\right}{\log\leftfrc {2}-1\right}}}}$

이는 약 2.529입니다.

멩거 스펀지와 마찬가지로 예루살렘 큐브의 면은 동일한 스케일 계수를 가진^[15] 프랙탈입니다.이 경우 하우스도르프 치수는 ${\displaystyle {4k}^{}}$d +${\displaystyle 4}$ (${\displaystyle k^{}{}^{}{}^{}}$2) d $=$ {{$displaystyle 4k^{d}+4(k^{2})^{d}=1$를 $충족$해야 합니다.정확한 해결책은

${{displaystyle d=black\leftfrac{\blackrt {2}-1{2}}\right}{\log \leftfrt {2}}-1\right}}}}$

약 1.786입니다.

• 

  세 번째 반복 예루살렘 큐브

• 

  3D 프린팅 모델 예루살렘 큐브

다른이들

• 모즐리 눈송이는 모서리가 재귀적으로 ^[16]제거된 큐브 기반의 프랙탈입니다.
• 사각형은 4개의 작은 복사본으로 만들어진 사면체 기반 프랙탈로, ^[17]사각형으로 배열됩니다.
• Sierpinski-Menger 눈송이는 8개의 코너 큐브와 1개의 중앙 큐브가 각각 하부 및 하부 재귀 단계에서 유지되는 큐브 기반 프랙탈입니다.이 독특한 3차원 프랙탈은 평면과 같은 본래 2차원 물체의 하우스도르프 치수를 가진다. 즉, 로그 9/log 3=2

「 」를 참조해 주세요.

• 아폴로 개스킷
• 칸토르 입방체
• 코흐 눈꽃
• 시에르핀스키 사면체
• 시에르핀스키 삼각형
• 하우스도르프 차원에 따른 프랙탈 목록

레퍼런스

추가 정보

• 를 클릭합니다Iwaniec, Tadeusz; Martin, Gaven (2001), Geometric function theory and non-linear analysis, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5, MR 1859913.
• Zhou, Li (2007), "Problem 11208: Chromatic numbers of the Menger sponges", American Mathematical Monthly, 114 (9): 842, JSTOR 27642353

외부 링크

• 울프램 매스월드의 멩거 스폰지
• Jeannine Mosely 박사의 '명함 스펀지' – 이 거대한 종이접기 프랙탈에 대한 온라인 전시회인 피규어 연구소의
• 인터랙티브 멩거 스폰지
• 인터랙티브 Java 모델
• 퍼즐 찾기 - Menger-Sierpinski 스폰지를 사용하여 Zeno의 패러독스를 설명하는 비디오
• SunFlow에 렌더링된 Menger 구
• 포스트잇 멘저 스폰지– 포스트잇으로 만든 레벨 3 멘저 스폰지
• 맹거 스폰지의 신비.대각선으로 썰어 별이 나타남
• OEIS 시퀀스 A212596(종이접기로 레벨 n의 멩거 스펀지를 만드는 데 필요한 카드 수)
• 울리 사상 레벨 2 멩거 스폰지 두 명의 "마텍니티안"
• 디카우, R. 예루살렘 큐브 추가 토론