시에르피에스키 카펫

Sierpiński carpet
"Sierpinski 눈송이"는 여기서 방향을 바꾼다.다른 용도는 시에르핀스키 곡선을 참조하십시오.
시어핀스키 카펫 6계단.

시에르피에스키 카펫은 1916년 와카와프 시에르피에스키가 처음 설명한 평면 프랙탈이다.카펫은 2차원으로 설정된 칸토어를 일반화한 것이다. 다른 하나는 칸토어 먼지.

형태를 그 자체의 작은 복사본으로 세분화하고, 하나 이상의 복사본을 제거하고, 계속 반복적으로 반복하는 기술은 다른 모양으로 확장될 수 있다.예를 들어, 정삼각형을 네 개의 정삼각형으로 세분화하여 중간 삼각형을 제거하고, 다시 반복하면 시에르피에스키 삼각형이 된다.3차원에서는 정육면체를 기반으로 한 유사한 구조를 멘저 스펀지라고 한다.

건설

시에르피에스키 카펫의 건설은 정사각형으로 시작한다.정사각형은 3x3 격자에서 9개의 합체 서브 스쿼리로 절단되고, 중앙 서브 스퀘어는 제거된다.그런 다음 동일한 절차를 나머지 8개의 하위 제곱, ad infinitum에도 반복적으로 적용한다.은0. = .2[1]의 최소 숫자 표현을 사용하여 베이스 3에 쓰여진 좌표가 모두 같은 위치에 숫자 '1'을 가지지 않는 단위 사각형의 점 집합으로 실현할 수 있다.

정사각형을 반복적으로 제거하는 과정은 유한분할 규칙의 예다.

Sierpinski carpet 1.svg Sierpinski carpet 2.svg Sierpinski carpet 3.svg Sierpinski carpet 4.svg Sierpinski carpet 5.svg Sierpinski carpet 6.svg

특성.

페아노 곡선의 변형과 중간선이 지워진 상태에서 시어피에스키 카펫을 제작

카펫의 면적은 0(표준 르베그 측정치)이다.

증명: 반복의 영역i i로 표시한다.그리고 + 1).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체} 아니다..mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}8/9ai.그래서 ai = (8/9)는 i무한대로 갈 때 0이 되는 경향이 있다.

카펫 내부가 텅 비어 있다.

증명: 카펫 내부에 P점이 있다고 모순으로 가정해 보자.그리고 나서 카펫에 완전히 들어 있는 P를 중심으로 한 정사각형이 있다.이 사각형에는 좌표가 일부 k에 대해 1/3의k 배수인 더 작은 사각형이 들어 있다.그러나, 이 광장은 반복 k에 숨겨져 있었음에 틀림없기 때문에 카펫에 담을 수 없다 – 모순이다.

카펫의 하우스도르프 치수는 로그 8/log 3 3 1.8928이다.[2]

시에르피에스키는 그의 카펫이 보편적인 평면 곡선임을 증명했다.[3]즉, 시에르핀스키 카펫은 치수 1을 덮는 르베그(Lebesgue)를 가진 평면의 콤팩트한 부분집합이며, 이러한 특성을 가진 평면의 모든 부분집합은 시에르피에스키 카펫의 일부 부분집합에 대해 동형이다.

이 시에르피에스키 카펫의 "범용성"은 범주 이론의 의미에서 진정한 보편성이 아니다: 그것은 이 공간을 동형성에까지 독특하게 특성화하지 않는다.예를 들어, 시에르피에스키 카펫과 원의 분리 결합도 보편적인 평면 곡선이다.그러나 1958년 고든 호번(Gordon Howburn[4])은 시어피스키 카펫을 독특하게 특징지었다: 국부적으로 연결되어 있고 '로컬 컷포인트'가 없는 곡선은 시어핀스키 카펫과 동형이다.여기서 로컬 컷포인트는 p의 일부 연결된 인접 U가 U - {p}이(가) 연결되지 않은 속성을 갖는 p 지점이다.그래서 예를 들어 원의 어떤 점이라도 국부적인 절단점이다.

같은 논문에서 Whowburn은 시에르피에스키 카펫의 또 다른 특징을 주었다.연속체가 비어 있지 않은 연결된 소형 메트릭 공간임을 기억하십시오.X가 평면에 박혀 있는 연속체라고 가정하자.평면 내 그것의 보어에는 C1, C2, C3 ...와 연결된 구성 요소가 많다고 가정하고 다음과 같이 가정한다.

  • c의i 지름은 i → ∞으로 0으로 간다.
  • i ≠ j인 경우 C의i 경계와 C의j 경계는 분리된다.
  • C의i 경계는 각 i에 대한 단순 폐쇄 곡선이다.
  • 집합i C의 경계 조합은 X로 밀도가 높다.

그리고 X는 시어피에스키 카펫에 동형이다.

시어피에스키 카펫에 브라운 모션

시어피에스키 카펫에 대한 브라운 운동 주제는 최근 몇 년간 관심을 끌었다.[5]마틴 바를로우와 리처드 배스는 시에르피에스키 카펫 위를 무작위로 걷는 것이 비행기의 무제한 무작위 보행보다 느린 속도로 확산된다는 것을 보여주었다.후자는 n계단 후 nn에 비례하는 평균 거리에 도달하지만, 이산 시에르피에스키 카펫의 무작위 보행은 일부 β > 2에 대해서는 nn에 비례하는 평균 거리에만 도달한다.그들은 또한 이 무작위 보행은 더 강한 큰 편차 불평등(일명 "하위-가우스 불평등")을 만족시키며, 포물선을 만족시키지 않고 타원형 하르낙 불평등을 만족시킨다는 것을 보여주었다.그러한 사례의 존재는 여러 해 동안 공공연한 문제였다.

왈리스 체

월리스 체의 세 번째 반복

월리스 체라고 불리는 시에르피에스키 카펫의 변형은 단위 사각형을 9개의 작은 정사각형으로 세분화하여 그 가운데를 제거함으로써 같은 방식으로 시작된다.다음 단계인 소분할에서는 각 정사각형을 25개의 작은 정사각형으로 세분화하여 중간 정사각형을 제거하고, 각 정사각형을 (2i + 1)(2홀수 정사각형[6]) 작은 정사각형으로 세분화하여 중간 정사각형을 제거하는 등 ih 단계에서 계속된다.월리스 제품별로는 제한 면적이 0인 표준 시에르피에스키 카펫과 달리 결과 세트의 면적이 π/4이다.월리스 체에는 양수 레베그 측정치가 있지만, 실수 2세트의 데카르트 제품인 하위 집합이 이 특성을 가지지 않아 요르단 측정치는 0이다.[7][8]

적용들

휴대전화와 와이파이 프랙탈 안테나는 시어피에스키 카펫을 몇 번 반복하는 형태로 제작됐다.자체 유사성과 스케일 불변성 때문에 여러 주파수를 쉽게 수용한다.또한 조작이 쉽고 성능도 비슷한 기존 안테나보다 작아 주머니 크기의 휴대전화에 최적이다.

참고 항목

참조

  1. ^ Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. pp. 405–406. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015.
  2. ^ Semmes, Stephen (2001). Some Novel Types of Fractal Geometry. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press. p. 31. ISBN 0-19-850806-9. Zbl 0970.28001.
  3. ^ Sierpiński, Wacław (1916). "Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée". C. R. Acad. Sci. Paris (in French). 162: 629–632. ISSN 0001-4036. JFM 46.0295.02.
  4. ^ Whyburn, Gordon (1958). "Topological chcracterization of the Sierpinski curve". Fund. Math. 45: 320–324. doi:10.4064/fm-45-1-320-324.
  5. ^ Barlow, Martin; Bass, Richard, Brownian motion and harmonic analysis on Sierpiński carpets (PDF)
  6. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A016754 (Odd squares: a(n) = (2n+1)^2. Also centered octagonal numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  7. ^ Rummler, Hansklaus (1993). "Squaring the circle with holes". The American Mathematical Monthly. 100 (9): 858–860. doi:10.2307/2324662. JSTOR 2324662. MR 1247533.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Wallis Sieve". MathWorld.

외부 링크