해안선의 역설

Coastline paradox
해안선 역설의 한 예입니다.영국의 해안선을 100km(62mi) 단위로 측정하면 해안선의 길이는 약 2,800km(1,700mi)입니다.50km(31mi) 단위로 총 길이는 약 3,400km(2,100mi)로 약 600km(370mi) 더 길다.

해안선의 역설육지해안선이 명확한 길이를 가지고 있지 않다는 반직관적인 관측이다.이는 해안선의 프랙탈 곡선 같은 특성, 즉 해안선이 일반적으로 프랙탈 치수를 가지고 있다는 사실에서 비롯된다.이 현상에 대한 첫 번째 기록된 관찰은 루이스 프라이[1][2] 리처드슨에 의해 이루어졌고 그것은 Benoit Mandelbrot[3][4]의해 확대되었다.

측정된 해안선의 길이는 해안선을 측정하는 데 사용된 방법과 지도 일반화의 정도에 따라 달라집니다.육지에는 수백 km 크기에서 밀리미터 이하의 작은 부분까지 모든 척도의 특징이 있기 때문에 측정 시 고려해야 할 가장 작은 특징의 명확한 크기가 없기 때문에 육지에 대한 단일 둘레가 명확하게 정의되어 있지 않다.최소 피쳐 사이즈에 대해 구체적인 가정을 할 때 다양한 근사치가 존재합니다.

이 문제는 다른 단순한 에지 측정과는 근본적으로 다릅니다.예를 들어, 측정 장치를 사용하여 길이가 특정 양보다 작고 다른 양보다 큰지, 즉 일정 수준의 불확실성 내에서 측정함으로써 이상적인 직선 금속 막대의 길이를 정확하게 측정할 수 있습니다.측정 장치가 더 정확할수록 결과는 에지의 실제 길이에 가까워집니다.그러나 해안선을 측정할 때 더 가까이 측정할수록 정확도가 높아지지는 않습니다. 측정치는 길이만 증가하며 금속 막대와 달리 해안선 길이에 대한 최대값을 얻을 수 있는 방법은 없습니다.

3차원 공간에서는 해안선 패러독스가 프랙탈 표면의 개념으로 쉽게 확장되어 측정 분해능에 따라 표면의 면적이 달라진다.

수학적 측면

측정 단위 감소에 따른 해안선의 길이 증가를 보여주는 애니메이션(조영 길이)

길이의 기본 개념은 유클리드 거리에서 유래한다.유클리드 기하학에서 직선은 사이의 최단 거리를 나타냅니다.이 행은 길이가 1개뿐입니다.구의 표면에서는 측지선 길이(대원 길이라고도 함)로 대체되며, 이 길이는 끝점과 구의 중심을 모두 포함하는 평면에 존재하는 표면 곡선을 따라 측정됩니다.기본 곡선의 길이는 더 복잡하지만 계산할 수도 있습니다.눈금자로 측정할 경우 점을 연결하는 직선의 합을 더하면 곡선의 길이를 근사할 수 있습니다.

Arclength.svg

곡선의 길이를 근사하기 위해 몇 개의 직선을 사용하면 실제 길이보다 작은 추정치가 생성됩니다. 따라서 점점 더 짧은(그리고 더 많은) 선이 사용되면 합계가 곡선의 실제 길이에 근접합니다.이 길이의 정확한 값은 수학의 한 분야인 미적분을 사용하여 무한히 작은 거리를 계산할 수 있습니다.다음 애니메이션은 부드러운 곡선이 정확한 길이를 의미 있게 할당되는 방법을 보여 줍니다.

Arc length.gif

이 방법으로 모든 곡선을 측정할 수 있는 것은 아닙니다.프랙탈은 정의상 측정 척도에 따라 복잡도가 변화하는 곡선입니다.평활 곡선의 근사치는 측정 정밀도가 높아질수록 단일 값이 되는 반면 프랙탈의 측정값은 수렴되지 않습니다.

S1
S2
S3
S4
S5
시에르핀스키 곡선(공간 채우기 곡선의 일종)은 점점 더 작은 스케일로 같은 패턴을 반복하며 길이가 계속 증가한다.무한히 분할할 수 있는 기하학적 공간 내에서 반복하는 것으로 이해되면, 그 길이는 무한대로 되는 경향이 있습니다.동시에 곡선으로 둘러싸인 면적은 정확한 수치로 수렴됩니다. 이는 섬의 육지 질량을 해안선 길이보다 쉽게 계산할 수 있는 것과 같습니다.

프랙탈 곡선의 길이는 항상 무한대로 분산되기 때문에, 만약 무한 또는 거의 무한에 가까운 분해능으로 해안선을 측정한다면, 해안선의 무한히 짧은 꼬임의 길이는 무한에 [5]이를 것이다.그러나 이 수치는 공간이 극소 섹션으로 세분화될 수 있다는 가정에 의존합니다.유클리드 기하학의 기초가 되고 일상적인 측정에서 유용한 모델 역할을 하는 이 가정의 진실 값은 철학적 추측의 문제이며, 원자 수준에서 "공간"과 "거리"의 변화하는 현실을 반영할 수도 있고 반영하지 않을 수도 있다.예를 들어, 원자보다 훨씬 작은 크기의 플랑크 길이는 우주에서 측정 가능한 가장 작은 단위로 제안됩니다.

코스트라인은 통계적으로 랜덤한 방법으로 패턴을 생성하는 다양한 자연 현상에 의해 형성되는 반면, 이상적인 프랙탈은 단순하고 공식적인 시퀀스의 [6]반복을 통해 형성되기 때문에 Mandelbrot 집합과 같은 이상적인 프랙탈보다 구조가 덜 확실하다.

검출

1951년 직전에 루이스 프라이 리처드슨은 국경 길이가 전쟁 가능성에 미치는 영향을 연구하면서 포르투갈인들이 스페인과의 국경이 987km라고 보고했지만 스페인은 1214km라고 보고하였다.이것이 해안선 문제의 시작이었고, 이는 [7]불규칙한 경계 측정에 내재된 수학적 불확실성이다.

국경(또는 해안선)의 길이를 추정하는 일반적인 방법은 지도나 항공 사진에 칸막이를 사용하여 길이 θ의 동일한 직선 세그먼트 n개를 배치하는 것이었다.세그먼트의 각 끝은 경계에 있어야 합니다.경계 추정의 불일치를 조사하면서 리처드슨은 현재 "리처드슨 효과"라고 불리는 것을 발견했다. 즉, 세그먼트의 합계는 세그먼트의 공통 길이에 반비례한다.사실상, 통치자가 짧을수록, 측정된 국경은 더 길어졌다; 스페인과 포르투갈의 지리학자들은 단지 다른 길이의 통치자를 사용했다.

리처드슨에게 가장 놀라운 결과는 특정 상황에서 θ가 0에 가까워짐에 따라 해안선의 길이가 무한대에 가까워진다는 것이다.리처드슨은 유클리드 기하학에 기초하여 해안선이 일정한 길이에 근접할 것이라고 믿었고, 이는 규칙적인 기하학적 도형에 대한 유사한 추정과 같았다.예를 들어, 에 새겨진 일반 폴리곤의 둘레는 변의 수가 증가하고 한 변의 길이가 감소하는 원주에 접근합니다.기하학적 측정 이론에서는 일정한 한계를 가진 작은 직선 세그먼트에 의해 근사될 수 있는 원과 같은 부드러운 곡선을 정류 가능한 곡선이라고 한다.

해안선 측정

리처드슨이 그의 연구를 완성한 지 10년이 넘은 후, Benoit Mandelbrot는 자연에서 바로잡을 수 없는 복합체들을 무한한 [8]해안선으로 묘사하기 위해 새로운 수학 분야인 프랙탈 기하학을 개발했습니다.연구의 기초가 되는 새로운 인물에 대한 그의 정의는 다음과 같다.[9]

나는 라틴어 형용사 프랙투스에서 프랙탈을 만들었다.대응하는 라틴어 동사 frangere는 불규칙한 조각을 만들기 위해 "break:"을 의미합니다.그러므로 그것은 합리적인 것이다...프랙터스는 "색소화"와 더불어 "색소화"를 의미해야 한다.

일부 프랙탈의 주요 특성은 자기 유사성입니다. 즉, 어떤 규모에서도 동일한 일반 구성이 나타납니다.해안선은 곶과 교대하는 만으로 인식된다.주어진 해안선이 자기 유사성의 특성을 가지고 있다고 가정할 때, 해안선의 작은 부분이 아무리 확대되더라도, 더 큰 만과 돌기 위에 겹쳐진 유사한 패턴의 작은 만과 돌기가 모래 알갱이까지 나타납니다.그 규모에서 해안선은 수중의 작은 물체로부터 형성된 만과 곶의 확률적 배열을 가진 순간적이고 잠재적으로 무한히 긴 실처럼 보인다.이러한 환경에서 (매끄러운 곡선과 대조적으로) 만델브로는[8] "코스트라인 길이는 잡으려는 사람들의 손가락 사이로 미끄러지는 이해하기 어려운 개념으로 판명되었다"고 주장한다.

프랙탈에는 다양한 종류가 있습니다.명시된 특성을 가진 해안선은 "프랙탈의 첫 번째 범주, 즉 프랙탈 치수가 1보다 큰 곡선"에 있다.그 마지막 진술은 리차드슨의 생각의 만델브로트에 의한 확장을 나타낸다.리차드슨 효과에 대한 Mandelbrot의 진술은 다음과 같습니다.[10]

여기서 L, 측정 단위 θ의 함수인 해안선 길이는 다음 식에 의해 근사된다.F상수이고 D는 Richardson이 L에 의해 근사된 해안선에 의존한다는 것을 발견한 모수입니다.그는 이론적인 설명을 하지 않았지만, 만델브로트는 D를 하우스도르프 차원(나중에 프랙탈 차원)의 정수 형태가 아닌 것으로 확인했다.표현식의 오른쪽 수율 재배치

여기D Fθ는 L을 얻기 위해 필요한 단위 수 θ이어야 한다.프랙탈 치수는 프랙탈 근사치에 사용되는 도형의 치수입니다. 점의 경우 0, 선의 경우 1, 정사각형의 경우 2입니다. 중 D는 일반적으로 1.5 미만의 해안선의 경우 1과 2 사이입니다.호수 해안선의 경우 일반적인 값은 D = 1.28입니다.[11]해안을 측정하는 끊어진 선은 한 방향으로 뻗어 있는 것도 아니고 면적을 나타내는 것도 아니라 중간선입니다.굵은 선이나 폭 2㎜의 대역으로 해석할 수 있습니다.끊어진 해안선이 많을수록 D가 커지므로 같은 θ에 대해 L이 길어집니다.만델브로트는 D가 δ와 독립적이라는 을 보여주었다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

인용문

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Coastline Paradox". MathWorld.
  2. ^ Richardson, L. F. (1961). "The problem of contiguity: An appendix to statistics of deadly quarrels". General Systems Yearbook. Vol. 6. pp. 139–187.
  3. ^ Mandelbrot, B. (1967). "How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension". Science. 156 (3775): 636–638. Bibcode:1967Sci...156..636M. doi:10.1126/science.156.3775.636. PMID 17837158. S2CID 15662830.
  4. ^ Mandelbrot, Benoit (1983). The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Co. pp. 25–33. ISBN 978-0-7167-1186-5.
  5. ^ Post & Eisen, 페이지 550 (아래 참조)
  6. ^ Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Yurgens, Dietmar Saupe, Chaos and Frackals: 과학의 새로운 경계; 2004년 봄; 페이지 424.
  7. ^ Richardson, Lewis Fry (1993). "Fractals". In Ashford, Oliver M.; Charnock, H.; Drazin, P. G.; et al. (eds.). The Collected Papers of Lewis Fry Richardson: Meteorology and numerical analysis. Vol. 1. Cambridge University Press. pp. 45–46. ISBN 0-521-38297-1.
  8. ^ a b 만델브로 1982, 페이지 28
  9. ^ 만델브로 1982, 페이지 1
  10. ^ Mandelbrot 1982, 페이지 29-31.
  11. ^ Seekell, D.; Cael, B.; Lindmark, E.; Byström, P. (2021). "The Fractal Scaling Relationship for River Inlets to Lakes". Geophysical Research Letters. 48 (9): e2021GL093366. Bibcode:2021GeoRL..4893366S. doi:10.1029/2021GL093366. ISSN 1944-8007. S2CID 235508504.

원천

외부 링크