피보나치어 프랙탈

피보나치 단어 프랙탈은 피보나치 단어에서 평면에 정의된 프랙탈 곡선입니다.

정의.

첫 번째 반복

L계 표현^[1]

이 곡선은 피보나치 단어 0100101001... 등에 홀수-짝수 그리기 규칙을 적용하여 반복적으로 작성됩니다.

위치 k의 각 자릿수에 대해:

세그먼트를 앞으로 그리다
숫자가 0인 경우:
- k가 짝수일 경우 왼쪽으로 90° 돌립니다.
- k가 홀수일 경우 오른쪽으로 90° 돌립니다.

$F_{n}$ $({$ }) $F_{n}$ 의 피보나치 워드에 $F_{n}$ 는 Fn^th $({$ F_ ${n$ }) $F_{n}$ 로 이루어진 곡선 Fn $F_{n}$ ({ $displaystyle {F}}_{n$ })이 $\mathcal{F}_n$ 관련지어집니다.곡선에는 n이 3k, 3k + 1 또는 3k + 2의 형태인지 여부에 관계없이 세 가지 측면이 표시됩니다.

특성.

피보나치어 프랙탈의 피보나치 수.

Fibonacci 단어 프랙탈의 속성은 다음과 같습니다.^[2]^[3]

$곡선$ { $F_{$ n ${\mathcal {F_{n}}}$ 은 $(\$ n $F_{n}$ }) $,$ $F_{n-1}$ (\ $displaystyle$ F_ ${n-1$ }) $F_{n-2}$ (\ $displaystyle$ F_ ${n-2$ }) 플랫 각도를 $F_{n}$ 합니다.
곡선은 자체 교차하지 않으며 이중 점을 포함하지 않습니다.한계에는 점근적으로 가까운 무한대의 점이 포함됩니다.
곡선은 모든 척도에서 자기 유사성을 나타냅니다.축소율은 1 $\scriptstyle {1+{\sqrt {2}}}$ + $(\$ 입니다.은 비율이라고도 하는 이 숫자는 아래에 나열된 많은 속성에 있습니다.
레벨 n에서의 자기유사성의 수는 피보나치 번호 \ -1 입니다( $F_{3n+3}-1$ 는 $F_{3n+3}-1$ n $F_{3n+3}-1$ + 3 - $F_{3n+3}-1$ (\ $style$ F_ ${3$ n+ $3}-1}$ 표시).
곡선은 크기가 감소하는 정사각형 구조를 1 $\scriptstyle {1+{\sqrt {2}}}$ + $(\$ 비율로 무한히 둘러싸고 있습니다(그림 참조).이 정사각형 구조의 수는 피보나치 숫자입니다.
${\mathcal {F}}_{n}$ $(\$ 은 $\mathcal{F}_n$ 다양한 방법으로 구성할 수도 있습니다(아래 갤러리 참조).
- $\scriptstyle {1/(1+{\sqrt {2}})}$ 1 / $\scriptstyle {1/(1+{\sqrt {2}})}$ ( $\scriptstyle {1/(1+{\sqrt {2}})}$ + $\scriptstyle {1/(1+{\sqrt {2}})}$ ) ( { $displaystyle \scriptstyle { 1$ / ( \ $sqrt$ { $}$ ) } } } } } } } 、 $\scriptstyle {1/(1+{\sqrt {2}})^{2}}$ / ( $\scriptstyle {1/(1+{\sqrt {2}})^{2}}$ + $\scriptstyle {1/(1+{\sqrt {2}})^{2}}$ ) $\scriptstyle {1/(1+{\sqrt {2}})^{2}}$ ( \ $displaystyle$ \ $scriptstyle { 1$ / ( $1$ + { \ $sqrt$ { $}$ } ） ^2 } } $\scriptstyle {1/(1+{\sqrt {2}})^{2}}$ } 。
- ${\mathcal {F}}_{n-2}$ $({displaystyle$ {F $}_$ ${\mathcal {F}}_{n-2}$ ${n-1$ })과 $Fn-2$ displaystyle { $F}_{n-2})$ 를 결합함으로써
- 린덴마이어계
- 각 정사각형 패턴 주위에 8개의 정사각형 패턴을 반복적으로 구축합니다.
- 옥타곤의 반복 시공에 의해
Fibonacci 워드 프랙탈의 하우스도르프 치수는 3 $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\approx 1.6379}$ $display$ log $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\approx 1.6379}$ ( $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\approx 1.6379}$ $\scriptstyle {\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ + $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\approx 1.6379}$ 1 $.$ 6379 \ $displaystyle$ \ $script style$ { $3$ script $frac$ \ $log ( 1$ + { \ $script$ $rt {$ } ) $\scriptstyle {\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ $\scriptstyle {\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\approx 1.6379}$ $\scriptstyle {\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ . $6379$ 입니다 $.$
0과 $사이$ 의 $(\displaystyle$ $\pi$ / $2$ 로 $\alpha$ 일반화하면 Hausdorff $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ 는 $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ log $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ log （ 1 + $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ ( $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ + $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ ) $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ + $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ ) $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ \ $scriptstyle$ { $3$ { 3 \ $frac$ \ $log$ \ $varphi }$ { \ $log$ ( 1 + $a$ ) { 1 \ rt 1 （ rt 1 q 1 ）（ rt 1 ） $\scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$ $=$ cos $α (\displaystyle a=\cos$ \alpha $a=\cos \alpha$ ）。
프런티어의 하우스도르프 치수는 log $\scriptstyle {{\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465}$ log $\scriptstyle {{\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465}$ ( $\scriptstyle {{\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465}$ + $\scriptstyle {{\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465}$ ) $\scriptstyle {{\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465}$ 1. $2465 {\displaystyle \scriptstyle {{\log(3)\log(1+{\sqrt {2}}}}}}$ 입니다 $\scriptstyle {{\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465}$
피보나치 단어 또는 도면 규칙에서 "0"과 "1"의 역할을 교환하면 유사한 곡선이 생성되지만 방향이 45°입니다.
Fibonacci 워드에서 102210221102110221022210211022211021102110211021102110211022222211021...(OEIS의 시퀀스 A143667)의 알파벳을 정의할 수 있습니다.이 단어에서 보다 단순한 그리기 규칙의 사용은 다음과 같은 곡선의 무한 변형 집합을 정의합니다.
- '변종'
- 변종 변종
- '변종'
피보나치 단어 프랙탈은 연속 분수 팽창으로 쓰여진 기울기가 "1"의 무한 급수로 끝나는 모든 철어 단어에 대해 나타나는 것으로 추측된다.

갤러리

$\textstyle {F_{23}}$ 23 $(\$ { $F_{23})$ $\textstyle {F_{23}}$ 후 커브합니다.
서로 다른 척도의 자기 유사성.
치수
병치에 의한 시공 (1)
병치에 의한 시공(2)
$Fibonacci word fractalX.jpg$
정사각형 패턴의 억제를 반복하여 건설.
반복된 옥타곤에 의한 건설.
각 정사각형 패턴 주위에 8개의 정사각형 패턴이 반복적으로 모여 시공됩니다.
60° 각도로.
"0"과 "1"의 반전.
조밀한 피보나치 단어에서 생성된 변형입니다.
"콤팩트 변종"
'스바스티카 변종
"대각 변종"
"pi/8 변종"
아티스트 크리에이션(사무엘 모니에).

피보나치 타일

피보나치 타일의 불완전한 타일.중앙 사각형의 면적은 무한대인 경향이 있다.

$F_{3k}$ 의 F $(\$ 곡선을 $F_{3k}$ 병렬 배치하여 면적이 null이 아닌 표면을 둘러싸는 닫힌 곡선을 구축할 수 있습니다.이 곡선을 "피보나치 타일"이라고 합니다.

피보나치 타일은 평면을 거의 타일로 만듭니다.4개의 타일(그림 참조)을 나란히 배치하면 k가 무한대인 것처럼 면적이 0인 자유 정사각형이 중앙에 남습니다.한계에서 무한 피보나치 타일이 평면을 타일합니다.
면 1의 정사각형을 {Clarification}하지 않고 둘러싸인 경우 타일의 면적은 $\scriptstyle {2-{\sqrt {2}}=0.5857}$ - 2 $\scriptstyle {2-{\sqrt {2}}=0.5857}$ 0. $\scriptstyle {2-{\sqrt {2}}=0.5857}$ ${$ \scriptstyle { $2$ - { \ $script$ style { 2 - { \ script rt ${2$ }} $= 0.5857$ 이 $\scriptstyle {2-{\sqrt {2}}=0.5857}$ .

피보나치 눈송이의 완벽한 타일링

피보나치 눈송이

\sideset {}{_{2}^{\left[2\right]}\quad }\prod

=1 ~ 4의 경우 i=2의 피보나치 눈송이:

\sideset {}{_{2}^{\left[2\right]}\quad }\prod

\sideset {}{_{1}^{\left[2\right]}\quad }\prod

[

\sideset {}{_{2}^{\left[2\right]}\quad }\prod

]{\displaystyle

\displaystyle {\

left

[

2

\ right

\sideset {}{_{1}^{\left[2\right]}\quad }\prod

\sideset {}{_{2}^{\left[2\right]}\quad }\prod

displaystyle

\sideset {}{_{2}^{\left[2\right]}\quad }\prod

\displaystyle \

displayset {

}{

_{2}^{\

left [

2\right }\

displaystylight

\sideset {}{_{2}^{\left[2\right]}\quad }\prod

\sideset {}{_{3}^{\left[2\right]}\quad }\prod

},

ht]}\timeout }\timeout

},

\sideset {}{_{4}^{\left[2\right]}\quad }\prod

\sideset {}{_{3}^{\left[2\right]}\quad }\prod

4

[

]{ displaystyle

\

time

}{

_{4}^{\left

[2\right]}\timeout

}\

timeout }\timeout

}

피보나치 눈송이는 다음과 ^[5]같이 정의된 피보나치 타일입니다.

$\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}}$ n $=$ $\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}}$ n - $\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}}$ $\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}}$ n - $\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}}$ { $displaystyle \scriptstyle {q_{n$ }=q_ ${n-1}q_{n-2}}$ $\scriptstyle {n\equiv 2{\pmod {3}}}$ 2 $\scriptstyle {n\equiv 2{\pmod {3}}}$ ( $\scriptstyle {n\equiv 2{\pmod {3}}}$ 3) $\scriptstyle {n\equiv 2{\pmod {3}}}$ { $displaystyle \scriptstyle {n\equiv$ 2 $scriptpmod {3}}}$ } 。
$\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$ n $=$ $\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$ n - $\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$ q $\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$ $\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$ - $\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$ { $displaystyle \scriptstyle {q_{n$ }= $q_{n-1}{\overline {q}_{n-2}}}$ 이외의 $\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$ $\scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$

$q_{0}=\epsilon$ 0 $q_{0}=\epsilon$ { $displaystyle q$ _ { 0 } $L=$ $=$ \ $ipsilon$ } $q_{1}=R$ $q_{1}=R$ 1 $=$ R { $L=$ { \ $displaystyle$ $q$ _ {1} $=$ $R=$ $q_{1}=R$ "좌회전" $R=$ \ $displaystyle$ R $R=$ "우회전" $\scriptstyle {{\overline {R}}=L}$ R $=$ {{ $displaystyle$ \ $script$ style $\}$ {{\} {\} {\} {\ $overline$ {\ }일론}일 경우

몇 가지 주목할 만한 속성 :^[5] ^[6]· :

이전에 정의된 "대각 변종"과 연관된 피보나치 타일입니다.
임의의 순서로 평면을 타일로 만듭니다.
평면을 두 가지 다른 방식으로 변환하여 타일링합니다.
둘레는 순서 n에서 $4F(3n+1)$ + $)({displaystyle$ 4F $(3n+$ $F(n)$ $4F(3n+1)$ F $)$ { $displaystyle$ F $(n)}$ 는 $F(n)$ n개의^th 피보나치 숫자입니다.
그 영역은 순서 n으로 Pell 시퀀스의 홀수 행의 연속 인덱스를 따릅니다( $P(n)=2P(n-1)+P(n-2)$ $P(n)=2P(n-1)+P(n-2)$ ) $P(n)=2P(n-1)+P(n-2)$ $P(n)=2P(n-1)+P(n-2)$ P ( $P(n)=2P(n-1)+P(n-2)$ - $P(n)=2P(n-1)+P(n-2)$ ) + $P$ ( $P(n)=2P(n-1)+P(n-2)$ - $P(n)=2P(n-1)+P(n-2)$ ) (\ $displaystyle$ P ( n ) = $2$ P ( $n-1)$ + P ( $n-2)$ 。 $P(n)=2P(n-1)+P(n-2)$

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ 라미레스, 호세 L., 루비아노, 구스타보 N. (2014)."피보나치 단어 프랙탈의 특성과 일반화", 수학 저널 제16권.
^ Alexis, Monnerot-Dumaine(2009년 2월)."Fibonacci 단어 프랙탈", 독립적(hal.archives-ouvertes.fr).
^ Hoffman, Tyler; Steinhurst, Benjamin (2016). "Hausdorff Dimension of Generalized Fibonacci Word Fractals". arXiv:1601.04786 [math.MG].
^ 라미레스, 루비아노, 데 카스트로(2014)."피보나치 단어 프랙탈과 피보나치 눈송이의 일반화", 이론 컴퓨터 과학, Vol. 528, p.40-56.[1]
^ ^a ^b 블론댕마세, 알렉상드르, 브렉, 스레치코, 가론, 아리안, 라베, 세바스티앙(2009)."Christofel and Fibonacci 타일", 컴퓨터 과학 강의 노트: 컴퓨터 이미지를 위한 이산 기하학, 페이지.67-8. 스프링어.ISBN 9783642043963.
^ A. Blondin-Massé, S. Labbé, S. Brlek, M. Mendés-France(2010).'피보나치 스노우포크'^{[dead link]}

외부 링크

"Fibonacci 단어 프랙탈 생성", OnlineMathTools.com.

[1] 라미레스, 호세 L., 루비아노, 구스타보 N. (2014)."피보나치 단어 프랙탈의 특성과 일반화", 수학 저널 제16권.

[2] Alexis, Monnerot-Dumaine(2009년 2월)."Fibonacci 단어 프랙탈", 독립적(hal.archives-ouvertes.fr).

[3] Hoffman, Tyler; Steinhurst, Benjamin (2016). "Hausdorff Dimension of Generalized Fibonacci Word Fractals". arXiv:1601.04786 [math.MG].

[4] 라미레스, 루비아노, 데 카스트로(2014)."피보나치 단어 프랙탈과 피보나치 눈송이의 일반화", 이론 컴퓨터 과학, Vol. 528, p.40-56.[1]

[Blondin-5] 블론댕마세, 알렉상드르, 브렉, 스레치코, 가론, 아리안, 라베, 세바스티앙(2009)."Christofel and Fibonacci 타일", 컴퓨터 과학 강의 노트: 컴퓨터 이미지를 위한 이산 기하학, 페이지.67-8. 스프링어.ISBN 9783642043963.

[Blondin2-6] A. Blondin-Massé, S. Labbé, S. Brlek, M. Mendés-France(2010).'피보나치 스노우포크'^{[dead link]}

[1]

[2]

[3]

[5]

[6]

v t 프랙탈
특성.	프랙탈 치수 아수아드 박스 카운트 히구치 상관 관계 하우스도르프 포장. 토폴로지 재귀 자기유사성
반복 함수 시스템.	반슬리 양치류 칸토어 집합 코흐 눈꽃 멩거 스펀지 시에르핀스키 카펫 시에르핀스키 삼각형 아폴로 개스킷 피보나치어 공간 채우기 곡선 블랑망주 곡선 드람 곡선 민코프스키 용곡선 힐베르트 곡선 코흐 곡선 레비 C 곡선 무어 곡선 페아노 곡선 시에르핀스키 곡선 Z차 곡선 스트링 T-제곱 n플레이크 빅섹 프랙탈 헥사플레이크 고스퍼 곡선 피타고라스나무 바이어스트라스 함수
이상한 매력자	다분할계
L계	프랙탈 캐노피 공간 채우기 곡선 H 트리
이스케이프 타임 프랙탈	불타는 배 프랙탈 줄리아 세트 가득 찬 뉴턴 프랙탈 두아디토끼 랴푸노프 프랙탈 만델브로트 집합 미시우레비치 점 멀티봇 세트 뉴턴 프랙탈 트리콘 만델박스 만델구
렌더링 기술	버드하브 궤도 트랩 피커버 줄기
랜덤 프랙탈	브라운 운동 갈색나무 브라운 모터 프랙탈 풍경 레비 비행 침투 이론 자기 회피 보행
사람	마이클 반즐리 게오르크 칸토르 빌 고스퍼 펠릭스 하우스도르프 데스몬드 폴 헨리 개스톤 줄리아 헬게 폰 코흐 폴 레비 알렉산드르 랴푸노프 브누아 만델브로 하미드 나데리 예가네 루이스 프라이 리처드슨 바츠와프 시에르핀스키
다른.	"영국 해안은 얼마나 깁니다?" 해안선의 역설 프랙탈 아트 하우스도르프 차원에 따른 프랙탈 목록 자연의 프랙탈 기하학 (1982년 책) 프랙탈의 아름다움 (1986년 책) 혼돈: 새로운 과학 만들기 (1987년 책) 만화경 카오스 이론

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