패킹치수

수학에서 패킹 치수는 메트릭 공간의 부분 집합의 치수를 정의하는 데 사용할 수 있는 여러 개념 중 하나입니다.패킹 치수는 어떤 의미에서 하우스도르프 치수와 이중적인데, 패킹 치수는 주어진 서브셋을 그러한 작은 오픈 볼로 덮음으로써 구성되기 때문이다.패킹 치수는 C에 의해 도입되었습니다.1982년 트리콧 주니어

정의들

(X, d)를 서브셋S x X의 메트릭공간으로 하고 s 00을 실수로 합니다.S의 s차원 패킹 사전 측정은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\display \downarrow 0}\left\{\left.\sum _{i\in I}\mathrm {diam}(B_{i})^{s}\right {begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{는 카운터블 컬렉션}\{\text{diameters}}\leq \delta {text} 및 }\end {matrix}\right}의 중심입니다.}$

안타깝게도 이것은 단지 사전 측정일 뿐 X의 서브셋에 대한 진정한 측정이 아닙니다. 이는 밀도 높은 카운트 가능한 서브셋을 고려하는 것으로 알 수 있습니다.그러나 사전조치는 진정한 측정으로 이어집니다. S의 s차원 패킹 측정치는 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right S\subseteq \bigcup_{j}S_{j},J{\text{countable}\right\},$

즉, S의 패킹 측정치는 S의 계수 가능한 커버의 패킹 사전 측정치의 최소값이다.

이렇게 하면 S의 패킹 치수_P dim(S)은 하우스도르프 치수와 유사하게 정의된다.

${\displaystyle {\mathrm {P} }(S)=\sup\s\geq 0 P^{s}(S)=+\infty \}=\inf\{s}=\geq 0 P^{s}(S)=0\}.\end { aligned}}$

예

다음 예는 하우스도르프와 패킹 치수가 다를 수 있는 가장 단순한 상황입니다.

(는 n)시퀀스를 고정하다{\displaystyle(a_{n})}를 0=1{\displaystyle a_{0}=1}이고 0월<>;n+1<>;n/2{0<, a_{n+1\displaystyle}<, a_{n}/2}. 정의 귀납적으로 중첩 시퀀스 E0⊃ E1⊃ E2⊃ ⋯{\displaystyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots}의 com.협정 하위 집합실제 라인의 경우 다음과 같습니다.${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle 0}$ , $]$ { { $displaystyle E$ _ { 0 } $=$[ 0 , 1$$]$$。[ 0 , 1 ]$$。[ $displaystyle$E _$${ n $$}의 연결된 ${\displaystyle {각}_{}}$ 컴포넌트에 대해 (${\displaystyle n_{}}$ ${$ $displaystyle$ $a_{n}$ }$$） ${\displaystyle a_{}}$ a a${\displaystyle {}_{}}$、 n - ${\displaystyle 2_{}}$ + $1$ 중간 간격을 삭제합니다.${\displaystyle n_{}}$ + 1$({$ $a_$${n+1$을 $입력$합니다.$다음$으로 K ${\displaystyle =\underset{n}{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ n$=$ \ $bigcap$_ {$n$} $E_{n$ 을 $정의$합니다.$K{\displaystyle }$ {$displaystyle$ K$$} e$$ 、 topology （ topology ） 。예를 들어, ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$3$$- n {\$displaystyle a_${$} = 3^{-n$인 $경우{\displaystyle {}_{}}$ K$(\$$displaystyle$ K$)$는 일반적인 3분의 1이 됩니다.

하우스도르프 및 $세트 K$의 패킹 치수는 각각 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\displaystyle {\mathrm {H} \dim _{\mathrm {H} } = \liminf _{n\to \infty } {\frac {n\log a_{n}},\dim _{\mathrm {P} } } = \supty \fty } \ty {n} }\end { aligned}}$

$숫자{\displaystyle \mathrm{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {d1\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {d2\mathrm{}}_{}1}$ 1${\$1 { $displaystyle$0 \$leq$$d_$${2$} \$leq$ 1$\}$ 이$$ 주어지면 연관된 (토폴로지$)$캔터가 $displaystyle$$$1 ${\displaystyle {display\mathrm{}}_{}}$ 1$$disponal 을 $갖도록{\displaystyle }$ 위의 시퀀스$n)$를 선택할 수 있습니다.$ension{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ 2$${ $displaystyle$ d _ {2$}$}$$。

일반화

치수 함수 h : [0, +dism) → [0, +dism에 대하여 치수 함수 h를 갖는 S의 패킹 사전 측정값을 다음과 같이 제공하도록 한다.

${\displaystyle P_{0}^{h}(S)=\lim _{\display \downarrow 0}\sup \left\{\left.\sum _{i\in I}h{\big (}\mathrm {diam}(B_{i}){\big}}\right {begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{\text{diameters}}\{\text{diameters}}\leq \delta {text}\\end{matrix}\right}}의 중심입니다.$

치수 함수 h를 갖는 S의 패킹 측정값을 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle P^{h}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{h}(S_{j})\right S\subseteq \bigcup_{j}S_{j},J{\text{countable}\right\}.}$

함수^h h는 P(S)가 유한하고 엄밀하게 양의 경우 S에 대한 정확한 (패킹) 치수 함수라고 한다.

특성.

• 만약 S가 통상적인 메트릭을 가진 n차원 유클리드ⁿ 공간R의 부분집합이라면, S의 패킹 치수는 S의 상한 변형 상자 치수와 같다.
  $$\displaystyle \dim _{\mathrm {P}}(S)=오버라인 {dim}_{\mathrm {MB}}(S)}$$

  
  이 결과는 측정에서 파생된 치수(패킹 치수)와 측정(수정된 상자 치수)을 사용하지 않고 파생된 치수(수정된 상자 치수)가 어떻게 일치하는지 보여 주기 때문에 흥미롭습니다.

단, 패킹 치수는 박스 치수와 동일하지 않습니다.예를 들어 유리수 Q의 집합은 상자 치수 1과 패킹 치수 0을 가진다.

「 」를 참조해 주세요.

• 하우스도르프 차원
• 민코프스키-불리간드 차원

레퍼런스

• Tricot, Jr., Claude (1982). "Two definitions of fractional dimension". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 91 (1): 57–74. doi:10.1017/S0305004100059119. 미스터633256