시에르피 ń스키 삼각형

시에르피 ń스키 삼각형(때로는 시에르핀스키)은 시에르피 ń스키 개스킷 또는 시에르피 ń스키 체라고도 불리며, 전체적인 모양의 정삼각형을 가진 프랙탈 매력적인 고정 집합으로, 더 작은 정삼각형으로 재귀적으로 세분됩니다. 원래 곡선으로 구성된 이는 자기 유사 집합의 기본 예 중 하나입니다. 즉, 어떤 확대 또는 축소에서도 재현 가능한 수학적으로 생성된 패턴입니다. 시에르피 ń스키의 이름은 폴란드 수학자 와츠와프 시에르피 ń스키의 이름을 따서 지어졌지만, 시에르피 ń스키의 작품보다 수 세기 전에 장식 패턴으로 등장했습니다.

시공

시에르핀스키 삼각형을 구성하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

삼각형 제거

시에르핀스키 삼각형은 삼각형 부분집합을 반복적으로 제거하여 정삼각형으로 구성할 수 있습니다.

정삼각형부터 시작합니다.
그것을 4개의 더 작은 합동 정삼각형으로 세분하고 중심 삼각형을 제거합니다.
나머지 작은 삼각형들을 각각 무한히 가지고 2단계를 반복합니다.

제거된 각 삼각형(원형)은 위상적으로 열린 집합입니다.^[1] 삼각형을 재귀적으로 제거하는 이 과정은 유한한 세분화 규칙의 한 예입니다.

축소 및 복제

시에르피 ń스키 삼각형에 수렴하는 동일한 모양 시퀀스는 다음 단계를 통해 생성할 수 있습니다.

평면에 있는 임의의 삼각형(평면의 닫힌 경계 영역은 실제로 작동합니다)으로 시작합니다. 표준 시에르피 ń스키 삼각형은 밑면이 수평축(첫 번째 이미지)에 평행한 정삼각형을 사용합니다.
삼각형을 다음으로 축소합니다. 높이 1/2, 너비 1/2을 만들고 축소된 삼각형 3개를 배치하여 각 삼각형이 다른 두 삼각형과 모서리에 닿도록 합니다(이미지 2). 중앙 구멍의 출현에 주목하십시오. 왜냐하면 그 사이에 있는 세 개의 축소된 삼각형은 원본 면적의 3/4만 덮을 수 있기 때문입니다. (구멍은 시에르핀스키 삼각형의 중요한 특징입니다.)
각 작은 삼각형(이미지 3 등)으로 2단계를 반복합니다.

이 무한한 과정은 시작하는 모양이 삼각형이라는 것에 의존하는 것이 아니라, 그 방식이 더 명확할 뿐입니다. 예를 들어, 정사각형에서 시작하는 처음 몇 개의 단계는 또한 시에르핀스키 삼각형을 향하는 경향이 있습니다. 마이클 반슬리(Michael Barnsley)는 그의 논문 "V-변수 프랙탈과 상 프랙탈"에서 이를 설명하기 위해 물고기의 이미지를 사용했습니다.^[2]^[3]

실제 프랙탈은 무한 반복 후에 얻을 수 있는 것입니다. 좀 더 공식적으로 말하면 점들의 닫힌 집합에 대한 함수의 관점에서 설명합니다. 점 A에 대하여 확장을 1/2배로 나타낸다면, 모서리 A, B, C를 가진 시에르피 ń $스키$ 삼각형은 $d_{\mathrm {A} }\cup d_{\mathrm {B} }\cup d_{\mathrm {C} }$ d $d_{\mathrm {A} }\cup d_{\mathrm {B} }\cup d_{\mathrm {C} }$ ∪ d B ∪ d C {\ $displaystyle d_$ {\ $mathrm$ {A $}\cup$ d_{\ $mathrm {$ B $d_{\mathrm {A} }\cup d_{\mathrm {B} }\cup d_{\mathrm {C} }$ cup d_{\mathrm {B}}\cup d_{\mathrm {C}}의 고정 집합입니다.

이것은 매력적인 고정 세트이므로, 연산이 다른 세트에 반복적으로 적용되면 이미지가 시에르피 ń스키 삼각형에 수렴합니다. 이것이 위의 삼각형에서 일어나고 있는 일이지만, 다른 어떤 집합도 충분할 것입니다.

카오스 게임

한 점을 선택하고 각 변환 d, d, d를 무작위로 적용하면 결과 점이 시에르피 ń스키 삼각형에서 조밀해지므로 다음 알고리즘은 다시 임의로 가까운 근사치를 생성합니다.

p, p, p를 시에르핀스키 삼각형의 모서리로 표시하고 임의의 점 v를 표시하는 것으로 시작합니다. $v$ = $1 / 2$ (v + $p$ )를 설정합니다 $.$ 여기서 r은 임의의 숫자 1, 2 또는 3입니다. 점 v~v를 그려라. 첫 번째 점 v가 시에르피 ń스키 삼각형 위의 한 점이라면, 모든 점 v는 시에르피 ń스키 삼각형 위에 놓여있습니다. 삼각형의 둘레 안에 있는 첫 번째 점 v가 시에르피 ń스키 삼각형 위의 한 점이 아니라면, 어떤 점 v도 시에르피 ń스키 삼각형 위에 놓이지 않고 삼각형 위에 모일 것입니다. v가₁ 삼각형 밖에 있다면 v가_n 실제 삼각형 위에 착지하는 유일한 방법은 삼각형의 무한히 큰 경우 v가_n 삼각형의 일부가 되는 것에 관한 것입니다.

또는 좀 더 간단하게:

평면에서 세 점을 취하여 삼각형을 만듭니다.
삼각형 내부의 임의의 점을 임의로 선택하고 현재 위치를 고려합니다.
세 꼭짓점 중 하나를 무작위로 선택합니다.
현재 위치에서 선택한 꼭지점까지 거리의 절반을 이동합니다.
현재 위치를 표시합니다.
3단계부터 반복합니다.

이 방법은 카오스 게임이라고도 불리며 반복되는 기능 시스템의 한 예입니다. 삼각형 외부 또는 내부의 모든 지점에서 시작할 수 있으며, 최종적으로 몇 개의 남은 지점이 있는 시에르피 ń스키 개스킷을 형성합니다(시작 지점이 삼각형의 외곽선에 있으면 남은 지점이 없습니다). 연필과 종이로 대략 백 점 정도를 놓고 나면 간략한 윤곽이 형성되고, 몇 백 점 이후부터는 디테일이 나타나기 시작합니다.

시에르피 ń스키 개스킷의 화살촉 구조

Sierpinski 개스킷의 또 다른 구성은 평면에서 곡선으로 구성될 수 있음을 보여줍니다. 코흐 눈송이의 구성과 유사하게 더 단순한 곡선의 반복적인 수정 과정에 의해 형성됩니다.

평면에서 단일 선분으로 시작
곡선의 각 선분을 세 개의 짧은 선분으로 반복적으로 교체하여 연속된 두 선분 사이의 각 접합부에서 120° 각도를 형성하고 곡선의 첫 번째 선분과 마지막 선분은 원래 선분과 평행하거나 60° 각도를 형성합니다.

이 구성은 반복될 때마다 연속적인 곡선을 제공합니다. 극한에서, 이들은 시에르핀스키 화살촉이라고 불리는 연속적인 방향(무한히 꿈틀거리는) 단일 경로에 의해 시에르핀스키 삼각형을 추적하는 곡선에 접근합니다.^[6] 사실 1915년 시에르핀스키의 원래 기사의 목적은 기사 제목 자체가 선언하듯이 곡선(칸토리아 곡선)의 예를 보여주는 것이었습니다.^[7]^[8]

셀룰러 오토마타

Sierpinski 삼각형은 Conway의 Game of Life와 관련된 것을 포함하여 특정 세포 자동화(예: Rule 90)에도 나타납니다. 예를 들어, 생명체와 같은 세포 자동화 B1/S12는 단일 셀에 적용될 때 시에르핀스키 삼각형의 네 가지 근사치를 생성할 것입니다.^[9] 표준 생활에서 셀 두께의 아주 긴 선 하나가 거울에 비치는 시에르피 ń스키 삼각형 두 개를 만듭니다. 셀룰러 오토마톤의 복제기 패턴의 시공간 다이어그램은 또한 종종 HighLife의 일반적인 복제기와 같은 시에르피 ń스키 삼각형과 유사합니다. 시에르핀스키 삼각형은 울람-워버튼 오토마톤과 헥스-울람-워버튼 오토마톤에서도 찾아볼 수 있습니다.^[11]

파스칼의 삼각형

$2^{n}$ 의 $2^{n}$ 행을 가진 파스칼의 삼각형을 취하여 짝수는 흰색으로, 홀수는 검은색으로 색칠하면 결과는 시에르피 ń스키 삼각형에 대한 근사치입니다. 더 정확하게 말하면, $n$ 이 이 패리티 $2^{n}$ $2^{n}$ n $2^{n}$ {\ $displaystyle$ 2 $^{n}$ - 행 $2^{n}$ 파스칼 삼각형의 무한대에 접근할 때의 한계는 시에르핀스키 삼각형입니다.^[12]

검정 숫자의 비율이 n이 증가함에 따라 0이 되는 경향이 있으므로 n이 무한대인 경향이 있으므로 홀수 이항 계수의 비율이 0이 되는 경향이 있습니다.^[13]

하노이의 탑

하노이 타워 퍼즐은 3개의 페그 사이에 다른 크기의 디스크를 이동시켜 더 작은 디스크 위에 디스크가 올려지지 않는 특성을 유지합니다. n-디스크 퍼즐의 상태와 한 상태에서 다른 상태로의 허용 이동은 무방향 그래프인 하노이 그래프를 형성하며, 이는 시에르핀스키 삼각형의 구성에서 n번째 단계 이후에 남아있는 삼각형 집합의 교점 그래프로 기하학적으로 표현될 수 있습니다. $따라서$ n이 무한대로 갈 때 한계에서 이 그래프 시퀀스는 시에르핀스키 삼각형의 이산 아날로그로 해석될 수 있습니다.^[14]

특성.

정수 개수의 차원 $d {\displaystyle$ d $}$ 에 $d$ 대해 객체의 측면을 두 배로 늘리면 객체의 $2^{d}$ ${\$ 개 $2^{d}$ 사본이 생성됩니다. 즉, 1차원 객체의 경우 2개 사본, 2차원 객체의 경우 4개 사본, 3차원 객체의 경우 8개 사본. 시에르피 ń스키 삼각형의 경우 측면을 두 배로 하면 3개의 복사본이 만들어집니다. 따라서 시에르피 ń $스키$ 삼각형에는 하우스도르프 ${\tfrac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585$ ${\tfrac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585$ ⁡ ${\tfrac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585$ 로그 ⁡ 2 ≈ 1 $.585 {\displaystyle {\tfrac$ {\log 3}{\log 2}}\approx 1. $2^{d}=3$ }가 있으며, 이는 d {\displaystyle d}에 대한 $2d$ = 3 ${\displaystyle$ 2^{ $d}$ = 3 $}$ 을 해결하는 $2^{d}=3$ 에서 비롯됩니다.

시에르피 ń스키 삼각형의 넓이는 0(레베그 측도)입니다. 각 반복 후 남은 영역은 이전 반복에서 얻은 영역의 ${\tfrac {3}{4}}$ ${\tfrac {3}{4}}$ ${\$ 이며, 무한 반복을 하면 영역이 0에 가까워집니다.^[16]

시에르핀스키 삼각형의 점들은 중심좌표에서 간단한 특성을 갖습니다.^[17] 점에 무게중심 좌표 $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ 0 $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ u $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ 3 $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ 0 $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ v $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ 3 $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ w 1 $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ 2 $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ ${\displaystyle(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots,$ 0 $.v_{1}v_{2}v_{3}\dots,$ 0 $.w_{1}w_{2}w_{3}\dots)}$ 가 있고 $(0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )$ 이를 이진수로 표시하면, 그러면 모든 i {\displaystyle i}에 $u_{i}+v_{i}+w_{i}=1$ $u_{i}+v_{i}+w_{i}=1$ $u_{i}+v_{i}+w_{i}=1$ $u_{i}+v_{i}+w_{i}=1$ + $wi$ = 1 ${\$ $display$ u_{i}+v_{i}+w_{i}= $u_{i}+v_{i}+w_{i}=1$ 인 $u_{i}+v_{i}+w_{i}=1$ 에만 시에르피 ń스키의 삼각형에 포인트가 있습니다.

다른 모듈로의 일반화

다른 $모듈러스$ P ${\displaystyle$ P}를 사용하는 경우 파스칼의 삼각형을 사용하여 시에르피 ń스키 삼각형의 일반화를 생성할 수도 있습니다. $반복$ $P^{n}$ ${\displaystyle$ $n$ $}$ 은 Pn ${\$ P $^{n}$ 행이 $P^{n}$ $P^{n}$ 파스칼의 삼각형을 취하고 값 $P$ 로 P $P$ 로 숫자를 색칠하면 생성됩니다 $n$ $P$ n{\ $displaystyle$ n $}$ 이 무한대에 접근하면 $n$ 프랙탈이 생성됩니다.

삼각형을 $P^{2}$ $P^{2}$ ${\$ 유사 $P^{2}$ 삼각형의 테셀레이션으로 분할하고 원본에서 거꾸로 된 삼각형을 제거한 다음 이 단계를 더 작은 각 삼각형으로 반복하면 동일한 프랙털을 얻을 수 있습니다.

반대로 프랙탈은 삼각형으로 시작하여 이를 복제하고 ${\tfrac {n(n+1)}{2}}$ + ${\tfrac {n(n+1)}{2}}$ 2 ${\$ }을 배열하여 생성할 수도 있습니다. $}}}$ 같은 방향에 있는 새로운 도형을 $이전$ 도형의 꼭짓점이 닿는 더 큰 유사 삼각형으로 만든 다음 그 단계를 반복합니다.^[18]

고차원 아날로그

시에르핀스키 사면체 또는 테트릭스는 시에르피 ń스키 삼각형의 3차원 유사체로, 정사면체를 원래 높이의 절반으로 축소하고, 모서리가 맞닿은 이 사면체의 복사본 4개를 조립한 다음, 이 과정을 반복하여 형성됩니다.

변 길이 $L$ $L$ 의 초기 사면체로 구성된 정사면체는 반복될 때마다 전체 표면적이 일정하게 유지되는 특성을 $L$ 갖습니다. 변 길이 $L$ $L$ 의 (반복-0) 사면체의 초기 표면적은 L $23 {\$ L $^{2}{\sqrt {3}}$ 입니다 $L$ $L^{2}{\sqrt {3}}$ 다음 반복은 측면 길이 ${\tfrac {L}{2}}$ ${\tfrac {L}{2}$ 인 4부로 구성되어 ${\tfrac {L}{2}}$ 있으므로 총 면적은 ${\textstyle 4{\bigl (}{\tfrac {L}{2}}{\bigr )}^{2}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}}$ ${\textstyle 4{\bigl (}{\tfrac {L}{2}}{\bigr )}^{2}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}}$ = ${\textstyle 4{\bigl (}{\tfrac {L}{2}}{\bigr )}^{2}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}}$ 3 ${\$ textstyle 4{\bigl(}{\tfrac {L}{2}}{\bigr)}^{2}{\sqrt {3}} = L^{2}{\sqrt {3}}}입니다. 이후의 반복 작업은 다시 사본 수를 4배로 늘리고 측면 길이를 절반으로 줄여 전체 면적을 보존합니다. 한편, 공사의 부피는 모든 단계에서 절반으로 줄어들기 때문에 0에 가까워집니다. 이 공정의 한계는 부피도 표면도 없지만 Sierpinski 개스킷처럼 복잡하게 연결된 곡선입니다. Hausdorff ${\textstyle {\tfrac {\log 4}{\log 2}}=2}$ 은 ${\textstyle {\tfrac {\log 4}{\log 2}}=2}$ ⁡ 4 $log$ ⁡ $2$ = 2 {\textstyle {\tfrac {\log 4}{\log 2}}=2}입니다. 여기서 "log"는 자연 로그를 나타내고, 분자는 이전 반복의 각 복사본에서 형성된 모양의 복사본 수의 로그입니다. 그리고 분모는 이러한 복사본이 이전 반복에서 축소되는 요인의 로그입니다. 모든 점이 두 개의 외부 모서리에 평행한 평면에 투영되는 경우, 측면 길이 ${\tfrac {L}{\sqrt {2}}}$ ${\$ 의 정사각형을 겹치지 않고 ${\tfrac {L}{\sqrt {2}}}$ 정확히 채웁니다.^[19]

역사

1915년 바카와 시에르피 ń스키는 시에르피 ń스키 삼각형을 묘사했습니다. 그러나 이미 13세기 코스마테스크 상감 석조의 공통된 모티브로 유사한 패턴이 나타나고 있습니다.^[20]

아폴로니안 개스킷은 페르가의 아폴로니우스 (기원전 3세기)에 의해 처음 기술되었고 고트프리트 라이프니츠 (17세기)에 의해 추가로 분석되었으며, 20세기 시에르피 ń스키 삼각형의 곡선형의 선구자입니다.

어원

시에르피 ń스키 삼각형을 가리키는 "가스켓"이라는 단어의 사용은 모터에서 발견되는 것과 같은 개스킷을 가리키며, 때때로 프랙탈과 비슷하게 크기가 감소하는 일련의 구멍을 특징으로 합니다. 이 사용은 프랙탈이 "모터의 누출을 방지하는 부분"과 유사하다고 생각한 브누아 만델브로에 의해 만들어졌습니다.

참고 항목

시에르핀스키 삼각형과 같은 조합 구조를 가진 서로 접하는 원들의 집합인 폴로니아 개스킷
하우스도르프 차원별 프랙털 목록
시에르피 ń스키 카펫, 시에르피 ń스키의 이름을 딴 프랙탈로, 더 큰 정사각형에서 반복적으로 정사각형을 제거하여 형성되었습니다.
젤다의 전설 시리즈에 등장하는 유물인 트라이포스

참고문헌

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외부 링크

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절단된 매듭에서 트레마 제거에 의한 시에르핀스키 개스킷
시에르핀스키 개스킷과 하노이의 탑이 잘려진 곳
실시간 GPU를 통해 3D로 Sierpinski Triangle 생성
피타고라스 삼각형, Waclaw Sierpinski, Courier Corporation, 2003
A067771 순서 n의 시에르피 ń스키 삼각형에 있는 정점의 수. 에 OEIS
카오스 게임의 인터랙티브 버전

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v t 프랙탈스
특성.	프랙탈 치수 아수아드 박스카운팅 히구치 상관관계 하우스도르프 포장. 위상학 재귀 자기유사성
반복 함수 시스템.	반즐리 양치식물 칸토어 집합 코흐눈꽃 멩거 스펀지 시에르핀스키 카펫 시에르핀스키 삼각형 아폴로니아 개스킷 피보나치어 공간 채우기 곡선 블랑숑 곡선 드 람 곡선 민코프스키 용곡선 힐베르트 곡선 코흐 곡선 레비 C 곡선 무어 곡선 페아노 곡선 시에르피 ń스키 곡선 Z차 곡선 끈 티스퀘어 n- 빅섹 프랙탈 헥사플레이크 고스퍼 곡선 피타고라스 나무 위어스트라스 함수
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