어소드 차원

수학, 특히 프랙탈 기하학에서 Assouad 치수는 메트릭 공간의 하위 집합에 대한 프랙탈 치수의 정의입니다.이것은 Patrice Assouad에 의해 1977년 박사 논문에서 소개되었고 이후 1979년에 출판되었다.그것은 일찍이 Georges Bouligand에 의해 정의되었다.프랙탈을 연구하는 데 사용될 뿐만 아니라, Assouad 치수는 준정형 매핑과 내장 가능성 문제를 연구하는 데에도 사용되었다.마지막으로, 그것은 R에서ⁿ 알레프-2 랜덤 프랙탈의 존재를 확립하기 위해 사용되는 네 가지 주요 프랙탈 차원 중 하나이다.

정의.

$X$의${\displaystyle }$Assoud 차원 ${\displaystyle d_{}A}$( X$$) (${\displaystyle }$\ ${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$$X , $d _$ { A （ $X$） $）$$displaydisplaydisplay$ $。$ ( X , \ $varsigma )$는 모든 \ $displaystyle$s의$$ 최소치입니다$.$ (${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle ）}$${\displaystyle }$、 \ $displaystyle$$$$( X$$$, \$varsigma$ )$$${\displaystyle 。}$

(X, d){\displaystyle(X,d)} 미터 법 우주, 및 X{X\displaystyle}의 E{E\displaystyle} 사각형 부분 집합. r>;0{\displaystyle r>0}, N({\displaystyle N_{r}(E)}반경의 미터 법 열린 공보다 또는 그것을poss은 r이하의 수가 가장 적음을 나타낸다 r시다.ible지o 세트 $커버$를 엽니다$(\displaystyle$ E$).$E$(\displaystyle$ E$)$의 Assouad 치수는 양의 $C$(\$displaystyle$ C$)$와$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle \rho)$가 존재하는 $극소수\alpha {\displaystyle }$ $(\displaystyle$ \$alpha \geq$ 0$)$으로 정의되어 있기 때문에 다음과 같은 조건이 충족됩니다.

${\displaystyle 0<R\leq\rho,}$

다음 바운드가 유지됩니다.

$\displaystyle \sup _{x\in E}N_{r}(B_{R}(x)\cap E)\leq C\left({\frac {R}}\right)^{\alpha }}}.$

이 정의의 기초가 되는 직관은 "보통" 정수 치수 n을 가진 집합 E의 경우 반지름 R의 큰 공과 E의 교점을 덮는 데 필요한 반지름 r의 작은 공의 수가 다음과 같이 확장된다는 것이다.R/R)ⁿ

레퍼런스

추가 정보

• Assouad, Patrice (1979). "Étude d'une dimension métrique liée à la possibilité de plongements dans Rⁿ". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A-B. 288 (15): A731–A734. ISSN 0151-0509. 미스터532401
• 불리건드, M.G. (1928년)"앙상블 임프레머 et nombredimensionnel", Bullet des Sciences Mathématiques 52, 페이지 320–344.
• Fraser, Jonathan M. (2020). Assouad Dimension and Fractal Geometry. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108778459. ISBN 9781108478656.