물질적 함의(추론 규칙)

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2018년 12월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

변환 규칙
명제 미적분학
추론 규칙
시사 소개/제거(모더스 폰) 바이콘드 도입/제거 접속사 도입/제거 분리 도입/제거 이절 / 가상 삼단논법 건설적/파괴적 딜레마 흡수/모더스 톨렌스/모더스 폰도 톨렌스 부정소개
교체규칙
연관성 동시성 분배성 이중 부정 드 모건의 법칙 전치 물질적 함축성 수출 토토로지
술어 논리학
추론 규칙
보편적 일반화/인스턴시 실존적 일반화 / 인스턴스화

명제 논리학에서 물질적 함의는^[1][2] 유효한 대체 규칙으로, 조건부 진술이 선행자가 부정되는 절연으로 대체될 수 있다. 규칙은 P가 Q가 P ${\displaystyle P}$ $또는{\displaystyle }$Q {\$displaystyle$ Q$}$과(와) 논리적으로 동등하다는 것을 의미하며, 두 형태 중 하나가 다른 형태를 논리적으로 증명할 수 있다는 것을 의미한다. 즉, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) $참$이면 Q$${\$displaystyle$ Q$}$도 참이어야 $하는{\displaystyle }$ 반면, Q ${\displaystyle Q}$이(가) 참이면 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$도 참일 수 없으며$$, $P{\displaystyle }$ ${\displaystystyle P}$이 참이 아니면$$ 거짓일 수 있다$$.

$\displaystyle P\to Q\왼쪽 화살표 \neg P\lor Q}$

여기서 " ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow$ $\}"$은 "증명에서 교체할 수 있음"을 나타내는 금속학 기호이고 P와 Q는 주어진 논리적인 문장이다. 이를 설명하려면 다음 문구를 고려하십시오.

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$: 샘은 점심으로 오렌지를 먹었다. Q$${\$displaystyle Q}$ : 샘은 점심으로 과일을 먹었다$.$

그렇다면 '샘이 점심으로 오렌지를 먹었다'는 말은 '샘이 점심으로 과일을 먹었다'(${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\to Q}).$ 논리적으로 샘이 점심으로 과일을 먹지 않았다면 샘도 점심으로 오렌지를 먹을 수 없었을 것이다(상호작용에 의해). 그러나 샘이 점심으로 오렌지를 먹지 않았다고 말하는 것만으로 샘이 점심으로 (어떤 종류의) 과일을 먹었는지 아닌지는 알 수 없다.

부분증거

${\displaystyle P}$→ Q ${\displaystyle P\to Q}$이(가) 주어진다고 가정합시다$.$ 그러면 제외된 중간 법칙($즉{\displaystyle }$, P ${\displaystyle P}$이(가) 참이어야$$ 하거나$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 참이 아니어야 한다$$)로 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle P}$ ∨ P ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle P}$ ∨ P ${\\\displaystylease$ P {\p {\p\p\p\p}이$(가$ 있다.

Subsequently, since ${\displaystyle P\to Q}$, ${\displaystyle P}$ can be replaced by ${\displaystyle Q}$ in the statement, and thus it follows that ${\displaystyle \neg P\lor Q}$ (i.e. either ${\displaystyle Q}$ must be true, or ${\displaystyle P}$ must not be true).

예를 들어, 거꾸로, 우리는¬ P. 그렇다면...P{P\displaystyle}은 첫번째 disjunct을 배제하는, 그래서 우리는 Q{Q\displaystyle}이 사실이다. 또 짧게, P→ Q{P\to Q\displaystyle}.[3]그러나 P{P\displaystyle}, 그 때 이 계사 한정하지 거짓이다 왜냐하면, 첫번째 disj ∨ Q{\displaystyle \neg P\lor Q} 주어진다.unct $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$은 두 번째 분리 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $Q$$}$에 제약이 없는 참이다. 따라서 P →${\displaystyle }$Q ${\displaystyle$ P$\to Q}$에 대해서는 아무 것도 말할 수 없다$.$ 요약하자면, 거짓 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 경우 동등성은 관습적일$$ 뿐이며, 따라서 형식 증거는 부분적일 뿐이다.

이것은 또한 진실 표로 표현될 수 있다.

P	Q	¬P	P→Q	¬P ∨ Q
T	T	F	T	T
T	F	F	F	F
F	T	T	T	T
F	F	T	T	T

예

예는 다음과 같다.

곰이라면 헤엄칠 수 있다는 조건부 사실이 우리에게 주어진다. 그렇다면 진실의 표에 있는 4가지 가능성 모두 그 사실과 비교된다.

첫 번째: 곰이라면, 그것은 수영을 할 수 있다 — T

2번째: 곰이라면 수영을 할 수 없다 — F

셋째: 만약 곰이 아니라면, 곰은 수영을 할 수 있다 — T 왜냐하면 그것은 우리의 초기 사실과 모순되지 않기 때문이다.

4번째: 만약 곰이 아니라면, 곰은 수영을 할 수 없다 — T (위 내용)

따라서 조건부 사실은 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg$ P$\vee$Q$\}$로 변환될 수 있는데, $여기$서 P ${\displaystyle$ P$}$은 "곰이다"라는 $문장$이고 Q$${\$displaystyle Q$}은$$ "수영을 할 수 있다"는 문장이 된다.

참조