전이(로직)

변환 규칙
명제 미적분학
추론 규칙
시사 소개/제거(모더스 폰) 바이콘드 도입/제거 접속사 도입/제거 분리 도입/제거 이절 / 가상 삼단논법 건설적/파괴적 딜레마 흡수/모더스 톨렌스/모더스 폰도 톨렌스 부정소개
교체규칙
연관성 동시성 분배성 이중 부정 드 모건의 법칙 전치 물질적 함축성 수출 토토로지
술어 논리학
추론 규칙
보편적 일반화/인스턴시 실존적 일반화 / 인스턴스화

명제 논리학에서, 전환은^[1][2][3] 만약 둘 다 부정된다면 논리적인 증거에서 조건부 진술의 결과로 선행 조건을 바꿀 수 있는 유효한 대체 규칙이다. "A가 B를 암시한다"는 진리에서 "B가 아닌 것을 암시한다"는 진리로, 그리고 반대로 추론하는 것이다.^[4][5] 그것은 추론모듈렌즈의 규칙과 매우 밀접하게 관련되어 있다. 는 것이 원칙이다.

${\displaystyle(P\to Q)\왼쪽 화살표(\neg Q\to \neg P)}$

여기서 $"[\displaystyle \Leftrightarrow$ $\}"$은 "증거로 교체할 수 있음"을 나타내는 금속 기호다.

형식 표기법

전이 규칙은 다음과 같은 시퀀스로 표현될 수 있다.

${\displaystyle(P\to Q)\vdash(\neg Q\to \neg P)}$

여기서 $⊢{\displaystyle }${\$displaystyle$$\vdash }$은$({\displaystyle }$는) 일부 논리 시스템에서$$ (${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ Q${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle$$(\$$neg Q$$to$ $\$$neg$ P$)}$이$(가)$의 통사적 결과라는 것을 의미하는 금속 기호다.

또는 추론의 원칙으로 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {P\to Q}{{\fore \neg Q\to \neg P}}$

여기서 규칙은 "${\displaystyle P}$→ Q ${\displaystyle P\to$ Q$\}"$의 인스턴스가 증빙 선상에 나타날 때마다 "${\displaystyle \mathrm{}q}$Q →${\displaystyle \mathrm{}p}$ P$${\$displaystyle \neg$Q\$to \neg$ P$};;$

또는 명제논리의 정리나 진실기능의 상호운용의 진술로서. 그 원리는 프린세스 매티카에서 러셀과 화이트헤드에 의해 명제논리의 정리로서 다음과 같이 명시되었다.

$(\displaystyle (P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P)}$

여기서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$과 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$은 일부 공식 시스템에서 표현된 제안이다$$.

전통논리학

전치 형태

추론된 명제에서는 그 결과물이 원안에서의 선행자의 모순이며, 추론된 명제의 선행은 원안 발의 결과의 모순이다. 물질적 함의 기호는 그 명제를 가상적 또는 "만약 P가 Q"와 같은 "if-then" 형태로서 나타낸다.

전위법칙( b)의 양변성명은 가상(→) 명제 사이의 관계를 말하는데, 각 명제는 전위적 및 결과적 용어를 포함한다. 논리적 추론의 문제로서, 하나의 명제의 조건을 바꾸거나 전환하기 위해서는 쌍방향 관계 양쪽의 명제 조건의 전환이 필요하다. 즉, (P → Q)를 (Q → Q)로 바꾸거나 (Q → P)로 바꾸려면 (~Q → ~P) 다른 명제를 (~P → ~Q)로 바꾸거나 (~P → ~Q)로 변환할 것을 요구한다. 그렇지 않으면, 한 명제의 조건을 다른 명제가 아닌 다른 명제의 조건을 변환하는 것은 그 명제의 조건의 충분한 조건과 필요한 조건을 위반하여, 그 규칙을 무효로 만들며, 여기에서 변경된 명제는 선행자를 부정하거나 불법 변환을 통해 결과물을 긍정하는 오류를 범한다는 것이다.

전환 규칙의 진실은 논리에 있어서 충분한 조건과 필요한 조건의 관계에 달려 있다.

충분한 조건

"만약 P가 Q이면 P"라는 명제에서 'P'의 발생은 'Q'의 발생에 대한 충분한 이유가 된다. 개인이나 계급으로서 'P'는 물질적으로 'Q'를 포함하지만, 'Q'와 'P'의 관계는 역제 명제 'If Q then P'가 반드시 충분한 조건을 가지지 않는 것이다. 충분한 조건에 대한 추론 규칙은 modus ponens인데, 이것은 조건부 함축에 대한 주장이다.

전제(1) : P이면 Q

전제(2): P

결론: 그러므로 Q

필요조건

전제 (1)의 역이 유효하지 않기 때문에, 'P'와 'Q'의 관계에 대해 언급할 수 있는 것은 'Q'가 없을 때는 'P'가 발생하지 않는다는 것, 즉 'Q'가 'P'에 필요한 조건이라는 것을 의미한다. 필요한 조건에 대한 추론 규칙은 modus tollens이다.

전제(1) : P이면 Q

전제(2): Q가 아님

결론: 그러므로 P가 아니다.

필요성과 충분성 예

충분히 필요한 조건을 대비하는 논리학자들이 전통적으로 사용한 예는 "만약 불이 있다면, 산소는 존재한다"는 문장이 있다. 산소화된 환경은 화재나 연소를 위해 필요하지만 단순히 산소화된 환경이 있다고 해서 반드시 화재나 연소가 일어나는 것은 아니다. 불이 산소의 존재를 규정한다고 유추할 수 있지만, 산소의 존재로부터 "산소가 있으면 불이 있다"는 역설을 추론할 수는 없다. 원래 명제로부터 유추할 수 있는 것은 "산소가 없다면 불이 있을 수 없다"는 것뿐이다.

명제의 관계

쌍추(bicondient)의 기호( propos propos)는 명제들 사이의 관계가 필요하면서도 충분함을 의미하며, "만약에 그리고 만약의 경우"로, 또는 "P가 아니라면 Q가 아닌 경우 Q가 'if and only if'로, P가 아니다"라는 예에 따라 구두로 표현된다.

필요조건과 충분조건은 전통논리의 개념과 즉각적인 추론 규칙의 측면에서 유추하여 설명할 수 있다. 범주형 명제인 "All S is P"에서 'S'라는 주어가 분포되어 있다고 하는데, 즉 그 표현에 있어서 그 계급의 모든 구성원이 소진되어 있다. 반대로 'P'라는 술어는 'P'의 모든 멤버가 하나의 클래스로서도 'S'의 멤버인지 확실하지 않기 때문에 그 표현에서 분산되거나 소진되었다고 말할 수 없다. 타당하게 추론할 수 있는 것은 "일부 P는 S"라는 것뿐이다. 따라서 'A형' 명제 "All P is S"는 원래 'A형 명제 "All S is P"에서 변환하여 추정할 수 없다. 추론할 수 있는 것은 "A형" 명제 "A형" (참고 (P → Q)와 (~Q → ~P) 모두 "A형 명제"라는 것뿐이다. 문법적으로는 "모든 인간은 인간이다"에서 "모든 인간은 인간이다"를 유추할 수 없다. A형 명제는 "모든 미혼남성은 미혼남성"의 추론에서처럼 주체와 술어가 모두 분포되어 있을 때 전환에 의해 즉시 추론할 수 있다.

전치 및 상치법

전통적인 논리에서는 추론 규칙으로 전환되는 추론 과정이 상쇄와 전조를 통한 범주형 명제에 적용되는데,^[6] 이러한 추론의 연속적인 즉시 추론은 원래 범주형 명제인 "All S is P"에 먼저 적용되며, "No S is non-P"를 양보한다. 원래 명제를 'E'형 명제로 전환하면 두 용어가 모두 분산된다. 그런 다음 오버스(Overse)가 변환되어 "No non-P is S"가 나타나 두 항 모두의 분포를 유지한다. No non-P is S"는 다시 역행하여 [contraposive] "All non-P is non-S"가 된다. 추론된 명제의 술어에 관한 대립의 정의에서는 아무 말도 하지 않기 때문에, 그것이 본래의 주제가 될 수도 있고 그 모순이 될 수도 있으며, 결과적인 'A'형 명제의 술어 용어는 다시 유통되지 않는 것이 허용된다. 이렇게 되면 두 개의 반대되는 결과가 되는데, 하나는 술어 용어가 분포되어 있는 것이고, 또 다른 하나는 술어 용어가 분포되어 있지 않은 것이다.^[7]

전치 및 대칭의 차이

전치법과 상치법을 혼동해서는 안 된다는 점에 유의한다. 대립은 주어진 범주형 명제로부터 또 다른 범주형 명제를 추론하는 즉각적인 추론의 한 유형이며, 이는 원래 술어의 모순을 주체로 한다. 추론된 명제의 술어에 관한 대립의 정의에서는 아무 말도 하지 않기 때문에, 그것이 본래의 주제일 수도 있고 모순될 수도 있다. 이것은 물질적 함의일 수도 있는 전이 제안의 형태 또는 가상의 진술과 대조된다. 차이점은 범주형 명제에 대한 그것의 적용에서 대립의 결과는 두 가지 반대라는 것이다.^[8] 즉, "No non-P is S"와 "All non-P is S"이다. 두 개의 상극의 구별은 상극의 "즉시 추론"^[9]을 전제로 하는 전이 원리에 흡수되어 없어지고, 또한 "상극의 법칙"^[10]이라고도 한다.

수학적 논리에서의 전이

전환(수학), 이론 설정 참조

교정쇄

프로포지션	파생
$P\오른쪽 화살표 Q}$	주어진
$\displaystyle \neg P\lor Q}$	물질적 함축성
$\displaystyle Q\lor \neg P}$	동시성
$\displaystyle \neg \neg Q\lor \neg P}$	이중 부정
$\displaystyle \neg Q\오른쪽 화살표 \neg P}$	물질적 함축성

고전 명제 미적분학에서는

명제논리에 대한 힐버트식 연역체계에서는 전위성의 한 면만 공리로 받아들이고, 다른 한 면은 정리라고 한다. 우리는 얀 우카시예비치(Jan Wukasiewicz)가 제안한 세 가지 공리 체계에서 이 정리의 증거를 설명한다.

A1. $1{\displaystyle }$ → (${\displaystyle (}$ →${\displaystyle \varphi }$) ${\$

A2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

${\displaystyle \mathrm{A3}}$. (${\displaystyle \neg \mathrm{}}$→ → ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$\ →${\displaystyle }$→ ) → ( ) → → ${\displaystyle \to }$ ) {\$\left(\lnot \pi \to \lnot \psi \right)\to \lto \(\psi \pi \rig)}}}$

(A3)는 이미 전치 방향 중 하나를 알려준다. 다른 쪽, (${\displaystyle \psi }$→ ${\displaystyle \varphi }$)${\displaystyle }$→ (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \varphi }$ →${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ → → → →$→$ ) {\$displaystyle (\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg$\psi )}, 아래에서 $증명$된 경우$:$

(DN1) $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}$→ p ${\displaystyle \neg \eg$p$\to p}$ $$- 이중 부정(한 방향)

($DN2{\displaystyle }$) p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$ $$- 이중 부정(다른 방향)

(HS1)${\displaystyle }$(${\displaystyle q}$→ ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle (}$p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle )}$→ (p → q ) →${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle r}$)${\displaystyle (q\to r)\to (p\to$ r$)}$ -$$ 하나의 가상적 삼단논법

($HS2$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle )}$→${\displaystyle }$(${\displaystyle q}$ →${\displaystyle r}$) →${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle r)\}}$ ${\displaystyle (p\to q)\to (p\to r)}$ - $$또 다른 형태의 가상적 삼단논법.

우리는 또한 가상의 삼단논법 메타테오렘의 방법을 몇 가지 증명 단계를 위한 속기로 사용한다.

그 증거는 다음과 같다.

(1) $q{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\to \neg \ng \ng$ q} ($$DN2) 인스턴스)

(2) (${\displaystyle q}$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ q ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle }$p${\displaystyle }$→ q ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ )${\displaystyle q}$ )${\displaystyle (q\to \neg \q)\to (p\to \neg \q)}($$HS1$)의 경우

(3)${\displaystyle }$( p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ q ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle (p\to q)\to$ (p\to q)\to ($p\to \neg \ng$ \$q)}$ $$((1) 및 (2) by modus ponens)

(4) $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$ $$(DN1) 인스턴스)

$(5$) $$($$ $\ p$→ $p$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$→${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\neg }}$ q ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$→ ($$ $¬ p$ → ${\displaystyle \to }$ → → → ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ q q q q q q q q${\displaystyle q}$ q q q q q q$q q$q q q q q q q q q q q q q q q$$q q q q q q q${\displaystyle }$q q q q q q q q q q q q q$$q

(6)${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ q ${\displaystyle q}$q${\displaystyle }$) ${\displaystyle \to }$ ( p${\displaystyle \mathrm{}p}$p →${\displaystyle \mathrm{}}$q q q ${\displaystyle q}$ q )${\displaystyle (p\to \neg \eg$ \$eg \to \neg$ \eg $\eg$ \ q \ $})}}$ (4), (5) by modus ponens)

(7)${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$→ (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ p ${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ q ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle (p\to q)\to$ (\$neg \to$ \to \to)\to $(\$neg $\ng$ \eg \ng \$q)}($3)부터 (6)까지)

(8) (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}$ p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ q ${\displaystyle q}$q${\displaystyle )\mathrm{}}$→ ( q${\displaystyle }$q →${\displaystyle \mathrm{})}$ ${\displaystyle p}$ )$${\$displaystyle (\neg \to$\neg $\eg$ \$eg$ \$q)\to (\neg q\to \neg$ p$)}$ (A3)의)$$

(9)${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$→ (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle q}$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ p${\displaystyle }$) ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg \to \neg$ p$)}$ (7) $$및 (8)에서 가상의 삼단논법 메타테오렘을 사용하여)

참고 항목

참조

추가 읽기

• 브로디, 보부치 A. "논리적인 용어의 영광" 철학 백과사전. 제5-6권, 페이지 61. 맥밀런, 1973년
• Irving M. Copi; Carl Cohen; Victor Rodych (9 September 2016). Introduction to Logic. Taylor & Francis. ISBN 978-1-315-51087-3.
• 코피, 어빙 상징 논리학. 맥밀런, 1979년 5판
• 이전, A.N. "로직, 전통" 1973년 맥밀란 제5권 철학 백과사전
• 스테빙, 수잔 논리의 현대적 도입. 하퍼, 1961년 제7판

외부 링크

• 잘못된 위치 변경(폴라시 파일)