실제 무한대

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수학 철학에서, 실제 무한의 추상화는 주어진, 실제 그리고 완성된 물체와 같이 무한의 공리를 포함하는 경우, 무한의 수용을 포함한다.여기에는 자연수 집합, 확장된 실수, 초무한 수 또는 심지어 무한 수열의 유리수가 포함될 수 있습니다.실제 무한은 비종단 프로세스(예: "이전 숫자에 1을 추가")가 마지막 요소가 없는 시퀀스를 생성하고 각 개별 결과가 유한하며 유한한 수의 스텝으로 달성되는 잠재적 무한과 대조된다.그 결과,^[1] 잠재적 무한대는 종종 한계 개념을 사용하여 공식화된다.

아낙시만더

잠재력 또는 부적절한 무한을 뜻하는 고대 그리스 용어는 실제 또는 적절한 무한 ^[2]경구와는 대조적으로 아피론이었다.Apeiron은 Peras(한계)오늘날 이러한 개념은 각각 잠재적으로 무한하고 실제로 무한하다는 것으로 나타납니다.

Anaximander (기원전 610–546)는 아피론이 만물을 구성하는 원리 또는 주요 요소라고 생각했다.분명히, '아피론'은 일종의 기본 물질이었다.플라톤의 유인철에 대한 개념은 더 추상적이며, 무한 가변성과 관련이 있다.플라톤이 '아피론'을 논하는 주요 대화는 후기 대화인 파르메니데스와 필레버스이다.

아리스토텔레스

아리스토텔레스는 무한에 대한 전임자들의 견해를 다음과 같이 요약한다.

오직 피타고라스인들만이 무한한 것을 감각의 대상들 사이에 놓고(이것들로부터 숫자를 분리할 수 있다고 생각하지 않는다), 그리고 하늘 밖에 있는 것은 무한하다고 주장합니다.반면 플라톤은 외부에 육체가 없다고 주장한다(형식은 어디에도 없기 때문에 외부에 존재하지 않는다). 그러나 무한은 감각의 대상뿐만 아니라 형태에도 존재한다.(아리스토틀)^[3]

이 주제는 아리스토텔레스가 수학과 물리학(자연의 연구)의 맥락에서 아피론에 대한 고려에 의해 제기되었습니다.

"인피니티는 사람들이 말하는 것과 정반대인 것으로 나타났습니다.무한은 '자신을 초월하는 것이 없는 것'이 아니라 '항상 자신을 초월하는 것을 가진 것'^[4]이다.

무한대의 존재에 대한 믿음은 주로 다섯 가지 ^[5]고려 사항에서 비롯됩니다.

1. 시간의 본질로부터 – 무한하기 때문이다.
2. 크기 분할 - 수학자들은 무한의 개념도 사용합니다.
3. 만약 생겨났다가 사라지지 않는다면, 그것은 단지 사물이 생겨나는 것이 무한하기 때문이다.
4. 왜냐하면 제한은 항상 어떤 것에서 한계를 발견하기 때문에, 만약 모든 것이 항상 자신과는 다른 무언가에 의해 제한된다면, 제한이 없어야 하기 때문이다.
5. 무엇보다도, 특히 적절하고 모든 사람이 느끼는 어려움을 보여주는 이유는 숫자뿐만 아니라 수학적 규모, 그리고 천국 밖에 있는 것들은 우리의 생각 속에서 결코 사라지지 않기 때문에 무한해야 한다는 것이다.

아리스토텔레스는 실제 무한은 불가능하다고 가정했다. 왜냐하면 만약 가능했다면, 어떤 것이 무한한 크기에 도달했을 것이고, "하늘보다 더 클 것"이기 때문이다.하지만, 그는 무한과 관련된 수학은 이러한 불가능에 의해 그 적용 가능성을 빼앗기지 않았다고 말했다. 왜냐하면 수학자들은 그들의 이론들을 위해 무한을 필요로 하지 않았고, 단지 유한하고 임의로 큰 ^[6]크기를 필요로 했기 때문이다.

아리스토텔레스의 잠재력-실제적 구별

아리스토텔레스는 물리학과 형이상학에서 무한의 주제를 다루었다.그는 실제 무한대와 잠재적 무한대를 구분했다.실제 무한대는 완성되고 확정되며 무한히 많은 요소로 구성됩니다.잠재적 무한성은 결코 완전하지 않습니다. 요소를 항상 추가할 수는 있지만 무한히 많은 것은 아닙니다.

"일반적으로 무한대에는 이런 존재 방식이 있습니다. 한 가지는 항상 다른 것, 그리고 각각의 것은 항상 유한하지만 항상 다릅니다."

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아리스토텔레스는 덧셈과 나눗셈을 구분했다.

그러나 플라톤은 대와 소라는 두 개의 무한대를 가지고 있다.

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「증가하는 것에 관해서, 무한대일 가능성이 있는 시리즈의 예로서 1, 2, 3으로 시작하는 시리즈에서는, 항상 차례차례의 번호를 추가할 수 있지만, 점점 더 많은 번호를 추가하는 프로세스는, 다 써 버리거나 ^{[citation needed]}완료할 수 없습니다.」

나눗셈에 관해서는 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16과 같이 잠재적으로 무한한 나눗셈 시퀀스가 시작될 수 있지만, 나눗셈 프로세스는 소진되거나 완료될 수 없습니다.

"분할 과정이 결코 끝나지 않는다는 사실은 이 활동이 잠재적으로 존재함을 보장하지만 무한대가 따로 존재하는 것은 아닙니다."

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아리스토텔레스는 또한 그리스 수학자들이 실제 무한과 잠재적 무한의 차이를 알고 있었지만, 그들은 "실제 무한은 필요하지 않고 그것을 사용하지 않는다"고 주장했다.III 2079 29).^[7]

스콜라, 르네상스 및 계몽 사상가

압도적으로 많은 수의 학자들이 인피니텀 act non datur라는 모토를 고수했다.즉, (개발 중, 부적절, "동기 범주적") 전위 무한대만 존재하며 (고정, 적절, "범주적") 실제 무한대는 존재하지 않습니다.그러나 영국에는 예외가 있었다.

중세 시대에는 모든 스콜라 철학자들이 반박할 수 없는 원칙으로서 아리스토텔레스의 "무한 실천적 비기준"^[8]을 옹호한 것으로 잘 알려져 있다.

실제 무한대는 수, 시간, 양에 존재한다.(J. 베이컨소프[9, 페이지 96])

르네상스 시대와 근대에 이르러서는 실제 무한에 찬성하는 목소리는 오히려 드물었다.

연속체는 실제로 무한히 많은 불가분자로 구성되어 있다(G. 갈릴레이 [9, 페이지 97]).

나는 진짜 무한에 매우 찬성한다. (G.W. 라이프니츠[9, 페이지 97])

하지만, 대부분의 전근대^{[citation needed]} 사상가들은 가우스의 유명한 인용문에 동의했다.

저는 수학에서는 절대 허용되지 않는 무한한 크기를 완성된 것으로 사용하는 것에 대해 이의를 제기합니다.무한은 단지 말하는 방법일 뿐이며, 진정한 의미는 어떤 비율은 무한히 가까운 반면 다른 비율은 ^[9]제한 없이 증가할 수 있다는 것이다. (C.F. 가우스[슈마허에게 보낸 편지, 1831년 7월 12일])

근대

실제 무한대는 이제 일반적으로 인정됩니다.급격한 변화는 19세기에 볼자노와 칸토어에 의해 시작되었다.

Bernard Bolzano, 세트의 개념을 소개했습니다(독일어:멩게)와 집합론을 도입한 게오르크 칸토르는 일반적인 태도에 반대했다.칸토르는 무한의 세 영역을 구분했다: (1) 신의 무한함, (2) 현실의 무한함, (3) 수학의 초한수와 집합.

어떤 유한한 무리보다 큰 무리, 즉 모든 유한한 집합(문제의 일원인)이 그 일부일 뿐이라는 특성을 가진 무리, 나는 무한한 무리라고 부른다. (B. 볼자노[2, 페이지 6])

따라서 나는 창조되지 않은 영원한 무한대 혹은 절대적인 존재와 창조된 무한대 혹은 트랜스니텀을 구별한다. 창조된 자연 속 어디에서나 실제 무한대가 사용되어야 한다. 예를 들어, 나의 확고한 신념에 따르면, 창조된 개인의 실제 무한대 수는 무한대이다.우주, 지구뿐만 아니라 우주, 그리고 아마도 모든 임의의 작은 확장 공간 조각에서도 마찬가지일 것이다.(Georg Cantor)(^[10]G. Cantor[8, 페이지 252])

숫자는 인간 정신의 자유로운 창조이다. (R. Dedekind [3a, 페이지 III])

한 가지 증거는 신의 개념에 기초한다.첫째, 신의 최고 완성도에서 우리는 초한의 창조 가능성을 추론하고, 그 후 그의 모든 우아함과 화려함에서 실제로 초한의 창조가 일어났음을 추론한다. (G. 칸토르[3, 페이지 400])

칸토어는 두 가지 유형의 실제 무한대를 구별했는데, 초한과 절대적 무한대에 대해 그가 확언한 것이다.

이러한 개념은 엄밀하게 구분되어야 하며, 전자는 확실히 무한하지만 증가할 수 있는 반면, 후자는 증가할 수 없기 때문에 수학적 개념으로 결정될 수 없습니다.예를 들어 이 실수는 판티이즘에서 발견된다.(G. Cantor, Wuber verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche, Gesammelte Abhandlungen mathischen and p. 375, 378)^[11]

현재의 수학 연습

수학자들이 그것을 이용하여 대수적 문구를 구성하는 방법을 배웠기 때문에, 실제 무한은 현재 일반적으로 받아들여지고 있다.예를 들어 기호 ${\$ \ $displaystyle$\ $obega$는 $"\$ $displaystyle$\ obega $}$는 completed (countable) infinity"를 나타내는 구두 설명과 함께 $기호{\displaystyle }$ {\ \ displaystyle \ obega }는 completed ( countable ) infinity 。이 기호는 모든 세트에 소변 요소로 추가할 수 있습니다.또한 덧셈, 곱셈 및 부등식을 정의하는 공리를 제공할 수도 있다. 구체적으로는n < { $displaystyle$ n < \ $obmega$}과 같은 식이 "완료된 무한대보다 작은 자연수"로 해석될 수 있도록 서수 산술이다. < + \ $displaystyle \ obmega$ < \ obmega +$1$ }과 같은 "상식" 문장도 가능하고 일관성이 있습니다.이론이 충분히 잘 발달하여 ${\displaystyle {that\mathrm{}}^{}}$ 2 \$$$displaystyle$$$\ $omega$ ^ {$$}$$,$$${\displaystyle {display}^{}}$ 2${\$ \$$$displaystyle$ \ omega ^ { \ $amega$ $}$ $등$ 다소 복잡한 대수식을 유효한 대수식으로 해석할 수 있고, 언어 서술이 주어지며, 사용할 수 있다.일관되고 의미 있는 방식으로 다양한 이론과 주장을 제시합니다.일관되고 의미 있는 방법으로 서수를 정의할 수 있는 능력은 논쟁의 많은 부분을 야기합니다; 무한대나 구성 가능성에 대해 어떤 개인적인 의견을 가지고 있든, 대수와 논리의 도구를 사용하여 무한대로 일하기 위한 풍부한 이론의 존재는 분명히 손에 있습니다.

직감파의 반대

실제 무한대에서 "실제"라는 용어의 수학적 의미는 확정, 완료, 확장 또는 ^[12]실존과 동의어이지만 물리적으로 존재하는 것으로 오인해서는 안 된다.그러므로 자연수가 확실한 집합을 형성하는지 실수가 존재하는지에 대한 질문은 무한한 것이 자연에 물리적으로 존재하는지에 대한 질문과는 무관하다.

크로네커 이후 직관주의 지지자들은 실제로 무한한 수학적 물체나 집합이 있다는 주장을 거부한다.결과적으로, 그들은 실제 무한의 존재를 가정하지 않는 방식으로 수학의 기초를 재구성한다.반면에, 건설적 분석은 정수의 완성된 무한대의 존재를 받아들인다.

직관주의자들에게 무한은 잠재력으로 설명된다; 이 개념과 동의어인 용어는 점점 ^[12]더 건설적이 되고 있다.예를 들어, Stephen Kleene은 튜링 기계 테이프의 개념을 "선형의 ^[13]'테이프', (잠재적으로) 양방향으로 무한하다"고 설명한다.테이프상의 메모리에 액세스 하기 위해서, 튜링 머신은 판독 헤드를 확실히 많은 스텝으로 이동합니다.따라서 테이프는 "잠재적으로" 무한대일 뿐이며, 다른 스텝을 밟을 수 있는 능력이 항상 있는 반면, 실제로는 무한대 자체에 ^[14]도달하지 않습니다.

수학자들은 일반적으로 실제 ^[15]무한대를 받아들인다.게오르크 칸토르는 절대 무한을 신과 동일시하며 실제 무한을 옹호한 가장 중요한 수학자이다.그는 자연수와 실수는 확실한 집합일 수 있고, 만약 누군가가 유클리드 피니티스의 공리를 거부한다면, 어떤 모순에도 관여하지 않기로 결정했다.

서수와 기수에 대한 오늘날의 전통적인 피니티즘적 해석은 그것들이 특별한 기호들의 집합과 진술이 만들어질 수 있는 연관된 형식 언어들로 구성된다는 것이다.그러한 진술은 모두 길이가 유한할 수밖에 없다.조작의 건전성은 공식 언어의 기본 원칙인 용어 대수, 용어 재작성 등에 기초한다.더 추상적으로, (확실한) 모델 이론과 증명 이론 모두 무한대를 다루는 데 필요한 도구를 제공합니다.무한대에 대한 기호를 사용하여 대수적으로 유효한 식을 기록하기 위해 무한대를 "믿을" 필요는 없습니다.

고전 집합론

실제 무한의 철학적 문제는 그 개념이 일관성 있고 인식적으로 건전한지에 관한 것이다.

고전적인 집합론은 실제로 완성된 무한의 개념을 받아들인다.그러나 수학의 최종주의 철학자들과 구성주의자들은 이 개념에 반대한다.

양수 n이 무한히 커지면 식 1/n은 0이 됩니다(또는 무한히 작아집니다).이런 의미에서 사람들은 부적절하거나 잠재적인 무한에 대해 말한다.선명하고 명확한 대조를 위해 방금 고려된 집합은 그 자체로 고정된 쉽게 마무리되고 잠긴 무한 집합이며, 그 이상도 이하도 아닌 정확하게 정의된 요소(자연수)가 무한히 많이 포함되어 있다. (A. 프렝켈 [4, 페이지 6])

따라서 실제 무한대의 정복은 코페르니쿠스 시스템, 상대성 이론, 또는 양자 및 핵물리학 못지 않게 혁명적인 우리 과학 지평을 확장하는 것으로 간주될 수 있다. (A. 프랭켈[4, 페이지 245]

모든 세트의 우주를 고정된 실체가 아닌 "성장"할 수 있는 실체로 보기 위해, 우리는 점점 더 큰 세트를 "생산"할 수 있다.[5, 페이지 118]

(브라우어)는 자유발전의 매개체로서 부정할 수 없는 진정한 연속체를 얻을 수 있다고 주장한다.즉, 연속체의 다른 점(e, pi 등)은 법률에 의해 정의되어 있는 점(준비되어 있는 점) 이외에, 연속체의 다른 점들은 준비되지 않고, 이른바 선택 시퀀스로서 전개된다(A. Frankel 등).[5, 페이지 255]

직감론자들은 정수의 임의의 배열에 대한 개념을 부정적으로 완성되고 확실한 것을 나타내는 것으로 거부한다.이러한 배열은 성장물체로만 간주되며 완성된 것은 아니다.(A. Fraenkel et al.)[5, 페이지 236]

그때까지, 아무도 무한대의 크기가 다르다는 가능성을 상상하지 못했고, 게다가 수학자들은 "실제 무한대"를 사용하지 않았다.뉴턴과 라이프니츠의 미분적분을 포함한 무한을 사용하는 주장은 무한 집합을 사용할 필요가 없다. (T. Jech [1])

프레게, 데데킨드, 칸토르의 거대한 동시 노력 덕분에, 무한자는 왕좌에 앉았고 완전한 승리를 누리게 되었다.과감한 비행으로 무한대는 아찔한 성공에 도달했다. (D. 힐버트[6, 페이지 169])

수학의 가장 활발하고 생산적인 분야 중 하나[...] 칸토르가 창조한 천국입니다. 아무도 우리를 수학 정신의 가장 존경할 만한 꽃이자 인간의 순수한 지적 활동의 탁월한 업적 중 하나입니다. (D)집합론에 대한 힐버트 [6]

마지막으로, 원래의 화제로 돌아가서 무한에 대한 우리의 모든 성찰에서 결론을 도출해 봅시다.전체적인 결과는 다음과 같습니다.무한은 어디에서도 실현되지 않는다.그것은 자연에 존재하지도 않고 우리의 이성적 사고의 토대로서 받아들여질 수도 없다. 즉 존재와 생각 사이의 놀라운 조화이다.(D)힐베르트 [6, 190])

무한한 총계는 단어의 어떤 의미에서도 존재하지 않는다(즉, 실제 또는 이상적).더 정확히 말하면, 무한의 총체에 대한 언급이나 언급은 문자 그대로 무의미하다. (A. 로빈슨[10, 페이지 507])

사실 형식주의와 그 밖의 다른 분야에서는 수학에 대한 우리의 이해와 물리적 세계에 대한 이해를 연결할 진정한 필요가 있다고 생각한다.

게오르크 칸토르의 위대한 메타 내러티브, 세트이론은 약 15년 동안 그가 거의 단독으로 만든 것으로 과학이론보다 하이아트를 더 닮았다. (Y. Manin [2])

따라서 표현수단의 절묘한 미니멀리즘은 칸토어에 의해 숭고한 목표를 달성하기 위해 사용된다: 무한, 혹은 오히려 무한의 이해. (Y. Manin [3])

칸토리아인들이 잊고 모순에 사로잡힌 것은 사실 무한은 없다.[Les mathématiques et la logique III, Rev. metaphys. sweety 14 (1906) p.316]

논의 대상이 언어적 실체[...]인 경우, 해당 실체의 집합은 논의의 결과로 달라질 수 있습니다.그 결과, 현재의 「자연수」는 어제의 「자연수」와 같지 않다(D).섬 [4]

숫자를 보는 데는 적어도 두 가지 다른 방법이 있다: 완성된 무한대와 불완전한 무한대...숫자를 불완전한 무한대로 간주하는 것은 숫자를 완성된 무한대로 간주하는 실행 가능하고 흥미로운 대안을 제공한다. 수학의 일부 영역에서 큰 단순화로 이어지고 계산 복잡성의 문제와 강한 연관성을 가지고 있다. (E. 넬슨[5])

르네상스 기간 동안, 특히 브루노와 함께, 실제 무한은 신으로부터 세계로 옮겨집니다.현대 과학의 유한한 세계 모형은 어떻게 실제 무한이라는 개념의 힘이 고전 물리학과 함께 사라졌는지를 명확하게 보여준다.이러한 관점에서, 지난 세기 말에 G. 칸토르에서 시작되었던 수학에 실제 무한을 포함시키는 것은 불쾌해 보인다.우리 세기의 지적인 전체적인 그림 속에서...실제 무한은 시대착오적인 인상을 준다. (P. 로렌젠[6])

「 」를 참조해 주세요.

• 한계(수학)
• 연속체의 카디널리티

레퍼런스

원천

• 맥튜터 수학의 역사 아카이브의 "인피니티"는 실제 무한의 문제를 포함한 무한의 개념의 역사를 다루고 있습니다.
• 아리스토텔레스, 물리학[7]
• 베르나르 볼자노, 1851년, 라이프치히 레클람의 패러독시엔 데 우엔드리헨
• Bernard Bolzano 1837, Wissenschaftslehre, Sulzbach.
• E. Zermelo(에드) 1966년 게삼멜테 Abhandlungen mathischen und philoshychen Hildesheim.의 게오르크 칸토르.
• 1960년 리처드 데데킨트, 신드는 자일런 다이 자일렌이었나? 비에베그, 브라운슈바이크.
• 아돌프 아브라함 프랭켈 1923 베를린 스프링거 디 멘겐레흐레의 아인라이퉁.
• 아돌프 아브라함 프렝켈, Y. 바힐렐, A.Levy 1984, 세트 이론 재단, 제2동, 암스테르담, North Holland, New York.
• 스티븐 C. Kleene 1952(1971년판, 제10쇄), North Holland Publishing Company, Amsterdam New York.ISBN 0-444-10088-1.
• H. Meschkowski 1981, Georg Cantor: Leben, Werk und Wirkung (2).Aufl.) BI, 만하임.
• H. Meschkowski, W. Nilson (Hrsg.) 1991, 게오르크 칸토르 – Briefe, Springer, 베를린.
• Abraham Robinson 1979, S. Koerner, S. Hrsg, North Holland, 암스테르담, S.A.J. Luxemburg, S.A.J. Luxemburg, S. J. Luxemburg.