용곡선

헤이웨이 드래곤 곡선

용곡선은 린덴마이어 시스템과 같은 재귀적 방법으로 근사할 수 있는 자기 유사 프랙탈 곡선군의 구성원입니다.용곡선은 용곡선이라고 불리는 다른 곡선이 있지만, 아마도 종이를 반으로 접어서 생기는 모양이라고 가장 일반적으로 생각될 것이다.

헤이웨이 드래곤

헤이웨이 드래곤(하터라고도 함)헤이웨이 드래곤 또는 쥬라기 공원 드래곤)은 NASA의 물리학자 존 헤이웨이, 브루스 뱅크스, 윌리엄 하터에 의해 처음 조사되었다.이것은 1967년 마틴 가드너에 의해 그의 Scientific American Column Mathematical Games에서 기술되었다.그것의 많은 특성들은 Chandler Davis와 Donald Knuth에 의해 처음 출판되었다.그것은 마이클 크라이튼 소설 쥬라기 ^[1]공원의 섹션 제목 페이지에 등장했다.

건설

곡선의 재귀적 구성

하이웨이 드래곤은 각 세그먼트를 직각의 두 세그먼트로 반복적으로 교체하고 오른쪽과 ^[2]왼쪽으로 번갈아 45° 회전함으로써 기준선 세그먼트에서 구성할 수 있습니다.

Heighway dragon은 복합 평면에서 다음과 같은 반복 기능 시스템의 제한 세트이기도 합니다.

f_{1}(z)=black {(1+i)z}{2}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}

S $S_{0}=\{0,1\}$ $S_{0}=\{0,1\}$ { $S_{0}=\{0,1\}$ , $S_{0}=\{0,1\}$ $}$ { $displaystyle S_{0$ } = \ { 0 , $S_{0}=\{0,1\}$ 1 \ $S_{0}=\{0,1\}$ } $S_{0}=\{0,1\}$ the 。

대신 실수의 쌍을 사용하면, 이것은 다음 두 가지 함수로 구성된 것과 같습니다.

f_{1}(x,y)=syslogfrac {1}{\syslogrt {2}}{\cos 45^{\sin }\sin 45^{\syslog}\\cos 45^{\sin }{\syslog}{\pmatrix}{\end}}}\cospmatrix}{\x}}}\x}\x}\x}\x

{\displaystyle f_{2}(x,y)=syslogfrac {1}{\syslogrt {2}}{\cos 135^{\sin }\sin 135^{\syslog}\\cos 135^{\pmatrix}{\end{pmatrix}}\x}}}\cos 135^{\csin 135^{\pmatrix}\csin 135^{\x}}\csys}\pmatrix}{\x}\csys}\csys}\

용을 접다

헤이웨이 용의 곡선은 종이를 접어서 만들 수 있는데, 이것이 원래 ^[1]발견된 방법입니다.종이 한 장을 오른쪽으로 반으로 접으세요.다시 오른쪽으로 반으로 접으세요.만약 스트립이 지금 펼쳐지고, 각각의 접힌 부분이 90도 회전이 되도록 구부러지지 않는다면, 턴 시퀀스는 RRL, 즉 헤이웨이 드래곤의 두 번째 반복이 될 것입니다.스트립을 다시 오른쪽으로 반으로 접으면 전개된 스트립의 턴 시퀀스가 헤이웨이 드래곤의 세 번째 반복인 RRLL이 됩니다.계속해서 띠를 오른쪽으로 반으로 접어서 헤이웨이 드래곤의 반복을 만듭니다(실제로 띠는 너무 두꺼워 4~5회 반복하면 급격히 접을 수 없습니다).

오른쪽(R)과 왼쪽(L)의 순서가 접힐 때의 이 일련의 종이 스트립의 접힘 패턴은 다음과 같습니다.

첫 번째 반복:r
두 번째 반복: R R L
세 번째 반복: R R L R L
네 번째 반복: R R R R L L L R R L L L

각 반복은 이전 반복을 복사한 후 R을 복사하고 L과 R 문자를 교환한 ^[1]역순으로 이전 반복의 두 번째 복사본을 복사하여 찾을 수 있습니다.

특성.

헤이웨이 용 곡선에서 많은 자기 유사성을 볼 수 있다.가장 분명한 것은 동일한 패턴이 45° 기울어져 $있고$ 감소율이 $\textstyle {\sqrt {2}}$ 스타일)인 반복이며, 이러한 자기유사성을 바탕으로 그 길이의 대부분은 단순한 유리수이다 $.$

길이

자기유사성

용곡선에 의한 평면 타일링

용곡선은 평면을 타일로 칠 수 있다.하나의 가능한 타일링은 선분부터 시작하는 용 재귀 정의를 사용하여 정사각형 타일링의 각 모서리를 용 곡선으로 바꿉니다.각 세그먼트를 확장하는 초기 방향은 정사각형 타일의 체커보드 색상, 수직 세그먼트를 검은색 타일과 흰색 타일로, 수평 세그먼트를 흰색 타일과 검은색 ^[3]타일로 각각 확장하여 결정할 수 있습니다.
비자기 교차 공간 채우기 곡선으로서 드래곤 곡선은 프랙탈 치수가 정확히 2이다.초기 세그먼트 길이가 1인 용곡선의 경우 면적이 평면의 ^[1]타일링에서 알 수 있듯이 1/2입니다.
용 곡선으로 덮인 집합의 경계는 프랙탈 치수와 함께 무한 길이를 가집니다. $(\displaystyle 2\log _{2}\clada \약 1.523627086202492,}$ 어디에 $\displayda = scfrac {1+(28-3scrt {87})^{1/3crt {87})^1/3}{3}}\약 1.69562076956$ 는 $\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.$ 3 $\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.$ - $\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.$ 2 - $\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.$ $.\displaystyle \displayda$ ^{ $3}-\displayda$ ^{ $2}-2=$ 의 실해입니다. $}$ ^[4]

트위드라곤

두 마리의 헤이웨이 드래곤으로 만들어진 트위드라곤 곡선

트위드라곤(Davis-Knuth Dragon이라고도 함)은 두 개의 헤이웨이 드래곤 곡선을 뒤로 배치하여 만들 수 있습니다.또한 다음과 같은 반복 기능 시스템의 제한 세트이기도 합니다.

f_{1}(z)=black {(1+i)z}{2}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1+i)z}{2}

여기서 초기 모양은 $S_{0}=\{0,1,1-i\}$ $S_{0}=\{0,1,1-i\}$ $=$ { $S_{0}=\{0,1,1-i\}$ , $S_{0}=\{0,1,1-i\}$ , $S_{0}=\{0,1,1-i\}$ - i $}$ { $displaystyle S_{0$ }=\{ $0,1$ ,1-i $S_{0}=\{0,1,1-i\}$ 로 정의됩니다.

Lindenmayer 시스템으로도 쓸 수 있습니다.첫 번째 문자열에 다른 섹션만 추가하면 됩니다.

90° 각도
초기 문자열 FX+FX+
문자열 다시 쓰기 규칙
- X † X+YF
- Y f FX-Y

테르드래곤

터드래곤 곡선

Terdragon 곡선을 생성하는 Lindenmayer 시스템의 여러 반복을 묘사한 조각입니다.
헨리 시게르만 지음

Terdragon은 Lindenmayer 시스템으로 작성할 수 있습니다.

각도 120°
첫 번째 문자열 F
문자열 다시 쓰기 규칙
- F f F+F-F

이는 다음과 같은 반복 기능 시스템의 제한 세트입니다.

f_{1}(z)=\displayda z

f_{2}(z)=black {i}{\blackrt {3}}z+\blackda

f_{3}(z)=\displayda z+\displayda ^{*}

{mbox{여기}}\displayda {1}{2}-{\frac {i}{2sqrt {3}}}:{\text{및}}}\displayda ^{*}=sqrc {1}{2}+{\frac {i}{2sqrt {3}}}}}}.

레비드래곤

Levy C 곡선은 때때로 Levy ^[5]Dragon으로 알려져 있다.

레비 C 곡선

변종

회전 각도를 90°에서 다른 각도로 변경할 수 있습니다.120°로 변경하면 삼각형 구조가 생성되고 60°는 다음과 같은 곡선이 생성됩니다.

용곡선, 60° 변형.자기유사성이 뚜렷이 드러난다.

이산 용곡선은 그림과 같이 용폴리오미노로 변환할 수 있다.개별 용 곡선과 마찬가지로 용 폴리오미노는 프랙탈 용 곡선에 한계로 접근합니다.

용 곡선은 수직 각도에서 4개의 방향이 가능한 두 개의 선으로 구성된 기본 반복 함수 집합에 속합니다.

곡선	드래곤 패밀리의 창조자 및 창조년
레비 곡선	에르네스토 체사로(1906), 게오르그 파베르(1910), 폴 레비(1914)
용곡선	존 헤이웨이(1966), 브루스 뱅크스(1966), 윌리엄 하터(1966)
데이비스 다이아몬드	챈들러 데이비스(1970), 도널드 J. 크누스(1970)
크누스 웨지	챈들러 데이비스(1970), 도널드 J. 크누스(1970)
유니콘 곡선	피터 반 로이(1989년)
라이온 곡선	베른트 레이너 왈(1989)

드래곤 폴리오미노

솔루션 세트의 용곡선 발생

선형 미분 방정식에 대한 일련의 해법을 얻으면, 중첩 원리 때문에 해법의 어떤 선형 조합도 원래의 방정식을 따를 것이다.즉, 기존 솔루션 세트에 함수를 적용하여 새로운 솔루션을 얻을 수 있습니다.모든 IFS가 선형 함수는 아니지만 반복 함수 시스템이 집합에서 새로운 점을 생성하는 방식과 유사합니다.개념적으로 유사한 맥락에서, 일련의 함수의 반복적인 적용에 의해 일련의 리틀우드 다항식을 얻을 수 있다.

리틀우드 다항식은 다항식이다. $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ ( $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ x ) $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ i $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ n $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ x $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ { $display style$ p ( $x$ ) = \ $sum$ _ { $i = 0$ } a _ { $i }$ x { $i$ } , 여기서 모든 $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ $a_{i}=\pm 1$ $a_{i}=\pm 1$ ± $a_{i}=\pm 1$ { $style a$ { i } = \ $pm$ 1 $a_{i}=\pm 1$

$|w|<1$ w < $|w|<1$ { $displaystyle$ w < $1$ }의 $|w|<1$ 경우 다음 기능을 정의합니다.

f_{+}(z)=1+wz

f_{-}(z)=1-wz

z=0부터 시작하여 이러한 함수를 d+1회 ^[6]반복하여 d차원의 모든 리틀우드 다항식을 생성할 수 있다.예: $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ + ( $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ - $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ ( 0 $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ ) $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ + ( $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ - $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ ) $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ 1 + $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ w - $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ ( { $displaystyle f_{$ - } ( f _ { - { - } ( 0 ) $=$ 1 + 1 $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$ w - 1 w ^ { $2$ } = 1 + 1 w }

w $=$ ( $w=(1+i)/2$ + $w=(1+i)/2$ ) / $w=(1+i)/2$ {\ $displaystyle$ w=( $1+i)/2$ 의 경우 위의 함수 쌍이 헤이웨이 드래곤의 IFS 공식과 동일함을 알 수 있습니다.즉, 특정 반복까지 반복된 헤이웨이 용은 w $w=(1+i)/2$ ( $w=(1+i)/2$ + $w=(1+i)/2$ ) / $(\style$ w= (1 $w=(1+i)/2$ + $i)/2$ $w=(1+i)/2$ 에서 평가된 모든 리틀우드 다항식의 집합을 설명합니다. 실제로 리틀우드 다항식의 루트 수가 충분히 많을 때, 드래곤 곡선과 유사한 구조가 나타납니다.이 ^[6]^[7]^[8]좌표들에 가까운 점들.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c ^d Tabachnikov, Sergei (2014), "Dragon curves revisited", The Mathematical Intelligencer, 36 (1): 13–17, doi:10.1007/s00283-013-9428-y, MR 3166985, S2CID 14420269
^ Edgar, Gerald (2008), "Heighway's Dragon", in Edgar, Gerald (ed.), Measure, Topology, and Fractal Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), New York: Springer, pp. 20–22, doi:10.1007/978-0-387-74749-1, ISBN 978-0-387-74748-4, MR 2356043
^ Edgar (2008), "Heighway's Dragon Tails the Plane", 페이지 74-75.
^ 에드거(2008), "하이웨이 드래곤 경계", 194-195페이지.
^ 를 클릭합니다Bailey, Scott; Kim, Theodore; Strichartz, Robert S. (2002), "Inside the Lévy dragon", The American Mathematical Monthly, 109 (8): 689–703, doi:10.2307/3072395, JSTOR 3072395, MR 1927621.
^ ^a ^b "The n-Category Café".
^ "Week285".
^ "The Beauty of Roots". 2011-12-11.

외부 링크

[tabachnikov-1] Tabachnikov, Sergei (2014), "Dragon curves revisited", The Mathematical Intelligencer, 36 (1): 13–17, doi:10.1007/s00283-013-9428-y, MR 3166985, S2CID 14420269

[2] Edgar, Gerald (2008), "Heighway's Dragon", in Edgar, Gerald (ed.), Measure, Topology, and Fractal Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), New York: Springer, pp. 20–22, doi:10.1007/978-0-387-74749-1, ISBN 978-0-387-74748-4, MR 2356043

[3] Edgar (2008), "Heighway's Dragon Tails the Plane", 페이지 74-75.

[4] 에드거(2008), "하이웨이 드래곤 경계", 194-195페이지.

[5] 를 클릭합니다Bailey, Scott; Kim, Theodore; Strichartz, Robert S. (2002), "Inside the Lévy dragon", The American Mathematical Monthly, 109 (8): 689–703, doi:10.2307/3072395, JSTOR 3072395, MR 1927621.

[ncafe-6] "The n-Category Café".

[7] "Week285".

[8] "The Beauty of Roots". 2011-12-11.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v t 프랙탈
특성.	프랙탈 치수 아수아드 박스 카운트 히구치 상관 관계 하우스도르프 포장. 토폴로지 재귀 자기유사성
반복 함수 시스템.	반슬리 양치류 칸토어 집합 코흐 눈꽃 멩거 스펀지 시에르핀스키 카펫 시에르핀스키 삼각형 아폴로 개스킷 피보나치어 공간 채우기 곡선 블랑망주 곡선 드람 곡선 민코프스키 용곡선 힐베르트 곡선 코흐 곡선 레비 C 곡선 무어 곡선 페아노 곡선 시에르핀스키 곡선 Z차 곡선 스트링 T-제곱 n플레이크 빅섹 프랙탈 헥사플레이크 고스퍼 곡선 피타고라스나무 바이어스트라스 함수
이상한 매력자	다분할계
L계	프랙탈 캐노피 공간 채우기 곡선 H 트리
이스케이프 타임 프랙탈	불타는 배 프랙탈 줄리아 세트 가득 찬 뉴턴 프랙탈 두아디토끼 랴푸노프 프랙탈 만델브로트 집합 미시우레비치 점 멀티봇 세트 뉴턴 프랙탈 트리콘 만델박스 만델구
렌더링 기술	버드하브 궤도 트랩 피커버 줄기
랜덤 프랙탈	브라운 운동 갈색나무 브라운 모터 프랙탈 풍경 레비 비행 침투 이론 자기 회피 보행
사람	마이클 반즐리 게오르크 칸토르 빌 고스퍼 펠릭스 하우스도르프 데스몬드 폴 헨리 개스톤 줄리아 헬게 폰 코흐 폴 레비 알렉산드르 랴푸노프 브누아 만델브로 하미드 나데리 예가네 루이스 프라이 리처드슨 바츠와프 시에르핀스키
다른.	"영국 해안은 얼마나 깁니다?" 해안선의 역설 프랙탈 아트 하우스도르프 차원에 따른 프랙탈 목록 자연의 프랙탈 기하학 (1982년 책) 프랙탈의 아름다움 (1986년 책) 혼돈: 새로운 과학 만들기 (1987년 책) 만화경 카오스 이론

v t 종이접기 수학
플랫 폴딩	큰-작은-작은-큰 보조군 접기 패턴 후지타 하토리 공리 가와사키 정리 마에카와 정리 지도 접기 냅킨 접힘 문제 정토 종이접기 요시자와 란들렛 시스템
스트립 폴딩	용곡선 플렉사곤 뫼비우스 띠 일반 종이접기 순서
삼차원 구조	미우라폴드 모듈러 종이접기 종이봉투 문제 단단한 종이접기 슈바르츠 랜턴 소노베 요시무라 좌굴
다면체	알렉산드로프 고유성 정리 만발한 플렉시블 다면체(브리카드 8면체, 스테펜의 다면체) 그물 소스 전개 별이 펼쳐지다
여러가지 종류의	접어서 자르는 정리 릴법
출판물	종이 접기 기하학 연습 기하학적 접기 알고리즘 수학에서의 접힘의 역사 종이접기 다면체 디자인 오리가믹스
사람	로저 C.알페린 마르게리타 피아졸라 벨로흐 로버트 코넬리 에릭 데메인 마틴 데메인 로나 구르케비츠 데이비드 A.허프만 톰 헐 코디후시미 후지타 후미아키 가와사키 도시카즈 로버트 J. 안나 루비우 마에카와 준 미우라 고료 조지프 오루크 타치 토모히로 이브 토렌스

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