단위 간격

실제 선의 부분 집합으로 단위 간격

수학에서 단위 간격은 닫힌 간격 $[0,1],$ 즉 0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같은 모든 실수의 집합이다. 흔히 $I$ (자본 문자 I)로 표기된다. 실제 분석에서 그것의 역할 외에도, 단위 간격은 위상 분야의 호모토피 이론을 연구하는 데 사용된다.

문헌에서 "단위 간격"이라는 용어는 때때로 (0 $,1),$ $[0,1]$ 및 $(0,1$ ) 사이의 간격이 걸릴 수 있는 다른 모양에 적용된다 $.$ 그러나, $I$ 라는 표기법은 일반적으로 닫힌 간격 $[0,1]$ 에 대해 예약되어 있다.

특성.

단위 간격은 확장된 실수 라인에 대해 동형인 완전한 미터법 공간이다. 위상학적 공간으로서, 그것은 좁고, 수축 가능하며, 경로가 연결되어 있고, 국지적으로 연결되어 있다. 힐버트 큐브는 단위 간격의 복사본이 셀 수 없을 정도로 많은 위상학적 제품을 취함으로써 얻어진다.

수학적 분석에서 단위 간격은 경계선이 0과 1 두 점으로 구성된 1차원 해석 다지관이다. 표준 방향은 0부터 1까지입니다.

단위 간격은 완전히 순서가 정해진 집합과 완전 격자(단위 간격의 모든 부분 집합은 우월성과 최소값을 가진다)이다.

카디널리티

집합의 크기 또는 카디널리티는 집합이 포함하는 요소의 수입니다.

단위 간격은 실수 $\mathbb {R}$ ${\$ }의 하위 집합이지만 전체 집합과 동일한 크기 즉 연속체의 카디널리티를 갖는다 $\mathbb {R}$ 실수는 무한히 긴 선을 따라 점을 나타내기 위해 사용될 수 있기 때문에, 이는 해당 선의 일부인 길이 1의 선 세그먼트가 전체 선과 동일한 수의 점을 갖는다는 것을 의미한다. 더욱이 면적 1의 제곱과 동일한 수의 점을 가지고 있으며, 볼륨 1의 입방체로서, 심지어 무한의 n차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 을( 스페이스 필링 곡선 참조). $\mathbb {R} ^{n}$

위에 언급한 모든 집합의 원소 수(실수 또는 점)는 자연수의 수보다 엄격히 크기 때문에 셀 수 없다.

일반화

길이 2의 간격 $[-1,1]$ 은 삼각함수 사인 및 코사인, 쌍곡함수 tanh의 범위와 같이 길이 2와 음 단위로 구분되어 자주 발생한다. 이 구간은 역함수의 영역에 사용될 수 있다. 예를 들어, 𝜃이 $[-162/2, π/2]$ 로 제한될 때, $\$ {\ $displaystyle \sin \theta }$ 은(는) 이 간격에 있고 $\sin \theta$ arcsine은 여기서 정의된다.

때때로 "단위 간격"이라는 용어는 호모토피 이론에서 $[0,1]$ 이 하는 역할과 유사하게 수학의 다양한 가지에서 역할을 하는 물체를 가리키는 말로 쓰인다. 예를 들어, 떨림 이론에서 (아날로그) 단위 간격은 정점 집합이 $\{0,1\}$ { 0 $\{0,1\}$ $\{0,1\}$ $\{0,1\}$ $\{0,1\$ 이고 $\{0,1\}$ 소스가 0이고 대상이 1인 단일 에지 e를 포함하는 그래프다. 그런 다음 연속 지도 사이의 호모토피 개념과 유사한 떨림 동모형 간 호모토피 개념을 정의할 수 있다.

퍼지 논리

논리적으로 단위 간격 $[0,1]$ 은 부울 도메인 {0,1}의 일반화로 해석할 수 있는데, 이 경우 값 0이나 1만 취하는 것이 아니라 0과 1 사이의 모든 값을 가정할 수 있다. 대수적으로 부정(NOT)은 $1$ - $x$ 로 대체되고, 접속사(AND)는 곱셈( $xy$ )으로 대체되며, 분리(OR)는 De Morgan의 법칙에 따라 $1$ - $(1$ - x $)(1$ - $y$ )로 정의된다 $.$

이러한 값을 논리적 진리 값으로 해석하면 다값 논리가 산출되는데, 이것은 퍼지 논리와 확률론 논리의 기초를 형성한다. 이러한 해석에서, 가치는 명제가 어느 정도 진실인지 또는 명제가 진실일 확률의 진실의 "도"로 해석된다.

참고 항목

참조

1964년 로버트 G. 바틀, The Elements of Real Analysis, John Wiley & Sons.

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